第一章集合期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

苏教版必修第一册　第一章 集合　·　拔高版　·　学生版 苏教版高中数学必修第一册　第一章《集合》 期中章节复习讲义 · 拔高版（难度系数 0.45）　|　学生版 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿＿＿ 适用范围：1.1 集合的概念与表示、1.2 子集、全集、补集、1.3 交集、并集。全章共 8 个知识点，每个知识点配 1 道例题与 1 道变式，另设 5 道综合提升。建议用时 100 分钟。 一、知识梳理 本章知识可归结为三条主线：①元素的“三性”（确定性、互异性、无序性）；②集合间的关系（子集、真子集、相等）；③集合的运算（交、并、补）。解题常用的思想方法是分类讨论、数形结合、等价转化与补集思想。 知识点 1　集合的含义与元素的互异性 1．集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体；元素具有确定性、互异性、无序性。 2．互异性是含参问题的“检验关卡”：由 分类求出参数后，必须把参数代回，检验集合中各元素是否互不相同。 3．常用数集：（含 ）、、、、；元素与集合的关系用 或 表示。 方法提炼：若集合中的元素含参数，则“分类求值、代回检验”是必做步骤，漏掉检验是本章最常见的失分原因。 知识点 2　集合的表示与集合相等的判定 1．列举法便于观察元素，描述法便于概括规律，Venn 图便于直观分析，三者可按需选用。 2．描述法 中，竖线前是代表元素及其范围，竖线后是元素满足的条件；判断元素是否属于集合，就是判断它是否满足 。 3．判断两个描述法给出的数集是否相等，常用“化归同一形式”：把两个集合的元素都写成关于同一个整数 的表达式，再作比较。 4．证明 的标准格式：先证 （任取 ，推出 ），再证 。 方法提炼：（）表示全体奇数； 与 分别表示被 除余 、余 的整数，二者合起来正是全体奇数。 知识点 3　子集、真子集与含参子集（方程型） 1．： 中任意一个元素都是 的元素；： 且 中至少有一个元素不属于 。 2．子集个数：含 个元素的集合，每个元素都有“取”与“不取”两种选择，故有 个子集、 个真子集、 个非空真子集。 3．若 由方程 给出，则必须讨论 （此时 ）与 （此时 ）两种情形。 4． 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；注意 、 都不是空集。 方法提炼：含参子集问题的第一步永远是“看能否为空”，空集情形往往被漏掉，导致答案缺失。 知识点 4　不等式型含参子集与端点讨论 1．若 ，则 ，即 。 2．解题三步：先定空集，再定端点（列不等式组），最后把各情形的结果取并集。 3．端点能否取到取决于原集合中的不等号：带等号的端点可取，不带等号的端点不可取；题目中出现 时，一个集合的端点恰好等于另一个集合的端点，也属于“不相交”。 易错提醒：由 列端点不等式时， 的左端点应“不小于” 的左端点，方向写反是另一个高频错误。 知识点 5　全集、补集与由补集反求集合 1．，，，。 2．由补集反求原集合： 中的元素就是 中除去 后剩下的元素，即 。 3．德·摩根律：，。 4．若 是方程的解集，由 的元素可确定方程的系数，注意用代入法或根与系数的关系并检验。 知识点 6　交集、并集与等价转化 1．，。 2．等价转化：。这一组关系是把“集合关系”转化为“运算结果”的桥梁。 3． 与 都可化归为 ，从而进入“空集讨论 + 端点比较”的固定流程。 4．不等式型集合的交、并一律借助数轴，端点“实心取、空心不取”。 5．应用：有限集元素个数满足 ，实际问题可用 Venn 图分块计数。 知识点 7　含参二次方程型子集的分类讨论 1．若 且 ，则 的元素个数由判别式决定： 时 ； 时 为单元素集； 时 含两个元素。 2．分类路径：先由 得 ；再由 求单元素情形；最后令 的两个元素恰为 的元素（用根与系数的关系或直接代入）。 3．每种情形求出参数后都要检验：判别式是否真的满足、求出的集合是否恰好等于目标集合。 方法提炼：先“算判别式定元素个数”，再“定元素求参数”，最后“回代检验”，可避免多解与漏解。 知识点 8　集合相等中的元素对应 1．两个集合相等，则它们的元素完全相同，可建立一一对应关系；常用“特殊元素优先”：先看 、 落在哪个集合，再定对应。 2．含分式的集合要注意分母不为 ；求出的参数必须代回，检验互异性与集合中元素的个数。 3．常见结构： 型问题，先由“右边有 ”确定 ，再由“左边含 、右边含 ”锁定 。 二、典例精讲（每知识点 1 例 1 变式） 知识点 1　集合的含义与元素的互异性 【例 1】已知集合 ，若 ，求实数 的值。 解： 【变式 1】已知集合 ，若 ，求实数 的值及集合 。 解： 知识点 2　集合的表示与集合相等的判定 【例 2】已知集合 ，，证明：。 解： 【变式 2】已知集合 ，，判断 与 的关系。 解： 知识点 3　子集、真子集与含参子集（方程型） 【例 3】已知 ，，若 ，求实数 组成的集合 。 解： 【变式 3】已知 ，，若 ，求实数 组成的集合 。 解： 知识点 4　不等式型含参子集与端点讨论 【例 4】已知 ，，若 ，求实数 的取值范围。 解： 【变式 4】已知 ，，若 ，求实数 的取值范围。 解： 知识点 5　全集、补集与由补集反求集合 【例 5】设全集 ，，若 ，求实数 的值。 解： 【变式 5】设全集 ，，若 ，求实数 、 的值。 解： 知识点 6　交集、并集与等价转化 【例 6】已知 ，，若 ，求实数 的值。 解： 【变式 6】已知 ，，且 ，，求实数 、 的值。 解： 知识点 7　含参二次方程型子集的分类讨论 【例 7】设 ，，若 ，求实数 的取值范围。 解： 【变式 7】设 ，，若 ，求实数 的取值范围。 解： 知识点 8　集合相等中的元素对应 【例 8】设 ，若集合 ，求 的值。 解： 【变式 8】已知集合 ，，若 ，求实数 、 的值。 解： 三、综合提升 1．已知集合 中只有一个元素，求实数 的值。 2．已知 ，，，若 且 ，求实数 的值。 3．设 是实数集的非空子集，若对任意 ，都有 ，则称 为“封闭集”。 （1）若 ，求 中除 以外的另外两个元素； （2）判断：是否存在只含有一个元素的封闭集？请说明理由。 4．已知 ，，若 ，求实数 的取值范围。 5．某学校对 名学生进行调查，其中喜欢数学的有 人，喜欢物理的有 人，两科都不喜欢的有 人。求两科都喜欢的人数。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏教版必修第一册　第一章 集合　·　拔高版　·　教师版 苏教版高中数学必修第一册　第一章《集合》 期中章节复习讲义 · 拔高版（难度系数 0.45）　|　教师版（含解析） 适用范围：1.1 集合的概念与表示、1.2 子集、全集、补集、1.3 交集、并集。全章共 8 个知识点，每个知识点配 1 道例题与 1 道变式，另设 5 道综合提升。建议用时 100 分钟。 一、知识梳理 本章知识可归结为三条主线：①元素的“三性”（确定性、互异性、无序性）；②集合间的关系（子集、真子集、相等）；③集合的运算（交、并、补）。解题常用的思想方法是分类讨论、数形结合、等价转化与补集思想。 知识点 1　集合的含义与元素的互异性 1．集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体；元素具有确定性、互异性、无序性。 2．互异性是含参问题的“检验关卡”：由 分类求出参数后，必须把参数代回，检验集合中各元素是否互不相同。 3．常用数集：（含 ）、、、、；元素与集合的关系用 或 表示。 方法提炼：若集合中的元素含参数，则“分类求值、代回检验”是必做步骤，漏掉检验是本章最常见的失分原因。 知识点 2　集合的表示与集合相等的判定 1．列举法便于观察元素，描述法便于概括规律，Venn 图便于直观分析，三者可按需选用。 2．描述法 中，竖线前是代表元素及其范围，竖线后是元素满足的条件；判断元素是否属于集合，就是判断它是否满足 。 3．判断两个描述法给出的数集是否相等，常用“化归同一形式”：把两个集合的元素都写成关于同一个整数 的表达式，再作比较。 4．证明 的标准格式：先证 （任取 ，推出 ），再证 。 方法提炼：（）表示全体奇数； 与 分别表示被 除余 、余 的整数，二者合起来正是全体奇数。 知识点 3　子集、真子集与含参子集（方程型） 1．： 中任意一个元素都是 的元素；： 且 中至少有一个元素不属于 。 2．子集个数：含 个元素的集合，每个元素都有“取”与“不取”两种选择，故有 个子集、 个真子集、 个非空真子集。 3．若 由方程 给出，则必须讨论 （此时 ）与 （此时 ）两种情形。 4． 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；注意 、 都不是空集。 方法提炼：含参子集问题的第一步永远是“看能否为空”，空集情形往往被漏掉，导致答案缺失。 知识点 4　不等式型含参子集与端点讨论 1．若 ，则 ，即 。 2．解题三步：先定空集，再定端点（列不等式组），最后把各情形的结果取并集。 3．端点能否取到取决于原集合中的不等号：带等号的端点可取，不带等号的端点不可取；题目中出现 时，一个集合的端点恰好等于另一个集合的端点，也属于“不相交”。 易错提醒：由 列端点不等式时， 的左端点应“不小于” 的左端点，方向写反是另一个高频错误。 知识点 5　全集、补集与由补集反求集合 1．，，，。 2．由补集反求原集合： 中的元素就是 中除去 后剩下的元素，即 。 3．德·摩根律：，。 4．若 是方程的解集，由 的元素可确定方程的系数，注意用代入法或根与系数的关系并检验。 知识点 6　交集、并集与等价转化 1．，。 2．等价转化：。这一组关系是把“集合关系”转化为“运算结果”的桥梁。 3． 与 都可化归为 ，从而进入“空集讨论 + 端点比较”的固定流程。 4．不等式型集合的交、并一律借助数轴，端点“实心取、空心不取”。 5．应用：有限集元素个数满足 ，实际问题可用 Venn 图分块计数。 知识点 7　含参二次方程型子集的分类讨论 1．若 且 ，则 的元素个数由判别式决定： 时 ； 时 为单元素集； 时 含两个元素。 2．分类路径：先由 得 ；再由 求单元素情形；最后令 的两个元素恰为 的元素（用根与系数的关系或直接代入）。 3．每种情形求出参数后都要检验：判别式是否真的满足、求出的集合是否恰好等于目标集合。 方法提炼：先“算判别式定元素个数”，再“定元素求参数”，最后“回代检验”，可避免多解与漏解。 知识点 8　集合相等中的元素对应 1．两个集合相等，则它们的元素完全相同，可建立一一对应关系；常用“特殊元素优先”：先看 、 落在哪个集合，再定对应。 2．含分式的集合要注意分母不为 ；求出的参数必须代回，检验互异性与集合中元素的个数。 3．常见结构： 型问题，先由“右边有 ”确定 ，再由“左边含 、右边含 ”锁定 。 二、典例精讲（每知识点 1 例 1 变式） 知识点 1　集合的含义与元素的互异性 【例 1】已知集合 ，若 ，求实数 的值。 【解析】由 ，分两种情况讨论。 （1）若 ，则 ，此时 ，集合 ，不满足互异性，舍去。 （2）若 ，则 ，即 ，解得 或 （已舍去）。 当 时，，，集合 ，两个元素互不相同，符合题意。 综上，。 【答案】 【变式 1】已知集合 ，若 ，求实数 的值及集合 。 【解析】由 ，且 ，分两种情况讨论。 （1）若 ，则 ，此时 ，元素重复，舍去。 （2）若 ，则 ，解得 （舍去）或 。 当 时，，三个元素互不相同，符合题意。 综上，，。 【答案】， 知识点 2　集合的表示与集合相等的判定 【例 2】已知集合 ，，证明：。 【解析】证明两个集合相等，需分别证明 与 。 ① 先证 ：任取 。若 ，因 ，故 ；若 ，因 ，故 。所以 。 ② 再证 ：任取 ，则 （）。若 为偶数，设 （），则 ；若 为奇数，设 （），则 。所以 。 由①②得 。 【答案】 【变式 2】已知集合 ，，判断 与 的关系。 【解析】对任意 ，，而 ，所以 ，故 。 对任意 ，，而 ，所以 ，故 。 综上，。 【答案】 知识点 3　子集、真子集与含参子集（方程型） 【例 3】已知 ，，若 ，求实数 组成的集合 。 【解析】集合 中的元素是方程 的解，必须对 是否为 分类讨论。 （1）当 时，方程无解，，而 ，符合题意。 （2）当 时，。由 得 ；由 得 。 综上，。 【答案】 【变式 3】已知 ，，若 ，求实数 组成的集合 。 【解析】（1）当 时，方程无解，，符合题意。 （2）当 时，。由 得 ；由 得 。 综上，。 【答案】 知识点 4　不等式型含参子集与端点讨论 【例 4】已知 ，，若 ，求实数 的取值范围。 【解析】（1）当 时，，即 ，此时 显然成立。 （2）当 时，，且 的端点需满足 与 ，解得 ，与 取交集得 。 综合（1）（2）得 。 【答案】 【变式 4】已知 ，，若 ，求实数 的取值范围。 【解析】（1）当 时，，此时 成立。 （2）当 时，。要使 ，只能 完全落在 的左侧或右侧，即 或 ，解得 或 ，与 取交集得 。 综合（1）（2）得 或 。 【答案】 或 知识点 5　全集、补集与由补集反求集合 【例 5】设全集 ，，若 ，求实数 的值。 【解析】由补集的定义， 中的元素就是 中不属于 的元素，所以 。 因为 是方程 的根，代入得 ，解得 。 检验：当 时，方程为 ，即 ，解集恰为 ，符合题意。 【答案】 【变式 5】设全集 ，，若 ，求实数 、 的值。 【解析】由补集的定义得 ，即 与 是方程 的两个根。 把 代入得 ，把 代入得 ，两式相减得 ，，再代回得 。 所以 ，。 【答案】， 知识点 6　交集、并集与等价转化 【例 6】已知 ，，若 ，求实数 的值。 【解析】解方程 得 或 ，所以 。 又 ，所以 。 由 得 ，故 或 ，解得 或 。 检验： 时 ； 时 ，均符合题意。 【答案】 或 【变式 6】已知 ，，且 ，，求实数 、 的值。 【解析】由 知 且 。 把 代入 ，得 ，，此时 ，符合 。 把 代入 ，得 ，，此时 ，符合题意。 所以 ，。 【答案】， 知识点 7　含参二次方程型子集的分类讨论 【例 7】设 ，，若 ，求实数 的取值范围。 【解析】解方程得 。由于 ， 可能为 、、、。 （1）若 ，则 ，即 ，解得 。 （2）若 ，则 ，即 。当 时，方程为 ，，符合题意。 （3）当 时，由根与系数的关系， 且 ，解得 。 （4） 不可能：若 则 ，此时 ，与 矛盾。 综上， 或 。 【答案】 或 【变式 7】设 ，，若 ，求实数 的取值范围。 【解析】解方程得 。 （1）若 ，则 ，即 ，符合题意。 （2）若 ，则 。当 时，方程为 ，，符合题意。 （3）若 ，则两根之和应为 ，与方程两根之和为 矛盾，不可能；若 ，则两根之和为 ，也不可能。 综上，。 【答案】 知识点 8　集合相等中的元素对应 【例 8】设 ，若集合 ，求 的值。 【解析】由集合相等知两集合的元素完全相同。因为右边含有 ，所以 。 左边含有 ，而 ，，故左边等于 的元素只能是 ，即 ，从而 。 于是右边为 ，左边为 ，比较两个非零元素得 ，故 ，。 检验：，符合题意。 所以 。 【答案】 【变式 8】已知集合 ，，若 ，求实数 、 的值。 【解析】由 ，得 或 或 。 （1）若 ，则 ，元素重复，不合题意。 （2）若 ，则 （ 已舍）。此时 ，。由 得 ，即 ，此时 ，符合题意。 （3）若 ，则 ，，。比较得 或 。由 得 （舍）或 （此时 无意义，舍）；由 得 ，即 （舍）。故此情形无解。 综上，，。 【答案】， 三、综合提升 1．已知集合 中只有一个元素，求实数 的值。 【答案】 或 。【简析】当 时，方程为 ，，符合题意；当 时，需 ，即 ，此时 ，符合题意。本题易漏掉 的情形。 2．已知 ，，，若 且 ，求实数 的值。 【答案】。【简析】，。由 知 或 ；由 知 且 。故只能 ，代入得 ， 或 。当 时 ，与 矛盾；当 时 ，符合题意。 3．设 是实数集的非空子集，若对任意 ，都有 ，则称 为“封闭集”。 （1）若 ，求 中除 以外的另外两个元素； （2）判断：是否存在只含有一个元素的封闭集？请说明理由。 【答案】（1） 与 ；（2）不存在。【简析】（1）由 得 ；由 得 ；由 又得 ，故另外两个元素为 与 。（2）若 ，则 ，整理得 。因为 ，该方程无实数根，故不存在只含一个元素的封闭集。（注意 时 无意义，也应排除。） 4．已知 ，，若 ，求实数 的取值范围。 【答案】。【简析】 恒成立。 等价于 且 ，即 。可借助数轴验证：当 时 ，与 有公共端点 ；当 时 ，与 有公共端点 ，故两端点均可取到。 5．某学校对 名学生进行调查，其中喜欢数学的有 人，喜欢物理的有 人，两科都不喜欢的有 人。求两科都喜欢的人数。 【答案】 人。【简析】设喜欢数学的学生组成集合 ，喜欢物理的学生组成集合 ，则至少喜欢一科的有 人。由容斥原理 ，得 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $