第三章 不等式 章末整合提升——体系构建·素养培优-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

该高中数学讲义以“体系构建·素养培优”为核心，通过知识框架图整合不等式及其性质、基本不等式、一元二次不等式解法、实际应用四大专题，按“基础性质-方法应用-实际建模”递进呈现知识脉络，突出各模块内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向的方法指导，如用特殊值法判断不等式性质培养数学推理思维，通过光伏项目利润问题构建函数模型发展数学建模语言。含多选、解答及高考真题，基础生可掌握作差法等技巧，优生能探究参数讨论，助力教师实施精准分层教学，提升学生自主复习效率。

章末整合提升——体系构建·素养培优 　　 培优一　不等式及其性质 　　理解不等式的概念，掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整个高中数学，只要是涉及范围的问题，都和不等式有关. （1）〔多选〕下列命题正确的有（　AD　） A.若a＞1，则＜1 B.若a＋c＞b，则＜ C.对任意实数a，都有a2≥a D.若ac2＞bc2，且ac＞bc，则c＞0 （2）若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是（　B　） A.A≤B B.A≥B C.A＜B或A＞B D.A＞B （3）已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求ab，的取值范围. 解析：（1）因为a＞1，所以＜1，所以A正确；若a＋c＞b，可令a＝1，c＝1，b＝－1，则有＞，故B错误；对于C，可取a＝，则a2＜a，故C错误；因为ac2＞bc2，所以c2＞0，即c≠0，且a＞b，假设c＜0，则有ac＜bc与已知ac＞bc矛盾，所以c＞0，故D正确. （2）∵A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2）＝a2＋b2－ab＝（a－）2＋b2≥0，∴A≥B. （3）解：因为－2＜b＜－1，所以1＜－b＜2， 又因为2＜a＜3，所以2＜－ab＜6， 所以－6＜ab＜－2. 因为－2＜b＜－1，所以1＜b2＜4， 因为2＜a＜3，所以＜＜，所以＜＜2. 反思感悟 不等式及其性质的2个关注点 （1）作差法是比较两个实数大小的基本方法； （2）应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常选择特殊值法. 培优二　基本不等式 　　能利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式，掌握基本不等式的一些常见变形. （1）已知x＞1，且x－y＝1，则x＋的最小值是　3　； （2）已知－1＜x＜3，则y＝（1＋x）（3－x）的最大值是　4　. 解析：（1）∵x＞1，∴x－1＞0.又y＝x－1，∴x＋＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时，等号成立，则x＋的最小值是3. （2）∵－1＜x＜3，∴1＋x＞0，3－x＞0，∴≤＝2.∴（1＋x）（3－x）≤4，当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时取等号. 反思感悟 利用基本不等式求最值的注意点 （1）把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等； （2）注意寻求已知条件与目标函数之间的联系； （3）利用添项和拆项的配凑方法，使积（或和）产生定值.特别注意“1”的代换. 培优三　一元二次不等式的解法 　　通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系，掌握一元二次不等式及分式不等式的解法. （1）〔多选〕若关于x的不等式ax2－bx＋c＜0的解集为（－3，4），则（　　） A.a＞0 B.a＋b＝0 C.12a＋c＝0 D.b2－4ac＝49a2 （2）解下列关于x的不等式： ①－x2＋5x－4＞0； ②≥－2； ③m2x2＋2mx－3＜0. （1）解析：ACD　由不等式ax2－bx＋c＜0的解集为（－3，4），可得a＞0，且x1＝－3，x2＝4是一元二次方程ax2－bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系可得即b＝a，c＝－12a，即12a＋c＝0，a＋b＝2a＞0，b2－4ac＝a2＋48a2＝49a2.故选A、C、D. （2）解：①原不等式等价于x2－5x＋4＜0， ∵方程x2－5x＋4＝0的两根分别为x1＝1，x2＝4， ∴原不等式的解集为{x｜1＜x＜4}. ②不等式≥－2可化为＋2≥0，即≥0， 则原不等式等价于（x－11）（x－5）≥0且x－5≠0，解得x＜5或x≥11， 故≥－2的解集为{x｜x＜5或x≥11}. ③当m＝0时，－3＜0恒成立，解集为R. 当m≠0时，二次项系数m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式可化为（mx＋3）（mx－1）＜0. 当m＞0时，解不等式得－＜x＜， 当m＜0时，解不等式得＜x＜－. ∴当m＝0时不等式的解集为R； 当m＞0时，不等式的解集为{x｜－＜x＜}； 当m＜0时，不等式的解集为{x｜＜x＜－}. 反思感悟 一元二次不等式的解集问题 （1）不含参数的一元二次不等式的解集受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系； （2）含有参数的一元二次不等式的求解，常就“二次项系数”“判别式Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论. 培优四　不等式在实际问题中的应用 　　不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键. 某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，n（n∈N*）年内的总维修保养费用为（4n2＋20n）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入.假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元.（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本） （1）写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利. （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以72万元转让该项目； ②纯利润最大时，以8万元转让该项目. 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由. 解：（1）由题意得，y＝100n－（4n2＋20n）－144＝－4n2＋80n－144（n∈N*）， 令y＞0，得－4n2＋80n－144＞0，解得2＜n＜18， 所以从第3年起开始盈利. （2）若选择方案①，设年平均利润为y1万元，则y1＝＝80－4≤80－4×2＝32， 当且仅当n＝，即n＝6时等号成立，所以当n＝6时，y1取得最大值32， 此时该项目共获利32×6＋72＝264（万元）. 若选择方案②，纯利润y＝－4n2＋80n－144＝－4（n－10）2＋256， 所以当n＝10时，y取得最大值256，此时该项目共获利256＋8＝264（万元）. 以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年，而方案②需10年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展. 反思感悟 解决与不等式有关的实际应用问题的关注点 （1）审题要准，初步建模； （2）设出变量，列出函数关系式； （3）根据题设构造应用不等式的形式并解决问题. 　　 1.（2023·新高考Ⅰ卷1题）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（　　） A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} 解析：C　由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C. 2.（2025·全国Ⅱ卷4题）不等式≥2的解集是（　　） A.{x｜－2≤x≤1} B.{x｜x≤－2} C.{x｜－2≤x＜1} D.{x｜x＞1} 解析：C　由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x＜1，故选C. 3.〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（　　） A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 解析：BC　因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－（x＋y）2＝（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立，故C正确，D错误.故选B、C. 4.（2025·上海高考8题）设a，b＞0，a＋＝1，则b＋的最小值为　4　. 解析：因为a，b＞0，a＋＝1，所以b＋＝（b＋）（a＋）＝ab＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当ab＝1，即a＝，b＝2时，等号成立.故b＋的最小值为4. 5.（江苏高考）已知函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m＋6），则实数c的值为　9　. 解析：因为f（x）的值域为[0，＋∞），所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋－c＜0的解集为（m，m＋6），易得m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根，由根与系数的关系得解得c＝9. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $