第一章《集合》期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

苏教版必修第一册　第一章 集合　·　基础版　·　教师版 苏教版高中数学必修第一册　第一章《集合》 期中章节复习讲义 · 基础版（难度系数 0.60）　|　教师版（含解析） 适用范围：1.1 集合的概念与表示、1.2 子集、全集、补集、1.3 交集、并集。全章共 8 个知识点，每个知识点配 1 道例题与 1 道变式，另设 6 道课后巩固。建议用时 90 分钟。 一、知识梳理 知识点 1　集合的含义与元素的特征 1．集合的含义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（简称集），集合中的每一个对象称为该集合的元素。 2．元素的三个特征： （1）确定性：给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合是确定的； （2）互异性：同一个集合中的元素互不相同； （3）无序性：集合中的元素没有先后顺序。 3．元素与集合的关系：若 是集合 的元素，记作 ；若 不是集合 的元素，记作 。 4．常用数集：自然数集 （含 ）、正整数集 （或 ）、整数集 、有理数集 、实数集 。 易错提醒：集合中的元素必须互异，含参数的集合问题求出参数后一定要代回检验；元素个数相同的两个集合不一定相等。 知识点 2　元素与集合的关系 1．判断元素是否属于集合：看该元素是否满足集合中元素的共同特征，注意代表元素的一般形式与限制范围。 2．由 “” 求参数：把 与集合中的各元素逐一比较，分类讨论求出参数，再检验互异性与题设条件。 3．用描述法给出的集合，要先看清代表元素，如 中的元素是 ，而不是 。 知识点 3　集合的表示方法 1．列举法：把集合的元素一一列举出来写在大括号内，如 ；元素较多且有规律时可用省略号。 2．描述法：，竖线前写明元素的一般形式及取值范围，竖线后写明元素满足的条件。 3．Venn 图：用封闭曲线的内部表示集合，直观形象，常用于分析集合关系与计数。 易错提醒： 表示自变量 的取值集合，即 ； 表示函数值的集合，即 。二者表示不同的集合。 知识点 4　子集、真子集与集合相等 1．子集：若集合 中任意一个元素都是集合 的元素，则称 是 的子集，记作 （或 ）。 2．真子集：若 ，且 中至少有一个元素不属于 ，则称 是 的真子集，记作 。 3．集合相等：若 且 ，则 。 4．子集个数：含 个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空真子集。 5．规定：空集是任何集合的子集，即 ；空集是任何非空集合的真子集。 知识点 5　空集及其在含参问题中的作用 1．空集：不含任何元素的集合，记作 。注意 与 都不是空集。 2．含参的“”问题，必须首先讨论 的情形，这是最常见的失分点。 例如：若 ，则当 ，即 时，。 方法：讨论顺序为“先空集，后非空”，最后把各种情形的结果取并集。 知识点 6　交集与并集 1．交集：。 2．并集：。 3．性质：，，，； ，，，。 4．等价关系：。 5．用不等式表示的集合求交集、并集时，借助数轴，注意端点是否取到。 知识点 7　全集与补集 1．全集：研究问题所涉及的所有元素组成的集合，记作 。 2．补集：。 3．性质：，，。 4．德·摩根律：，。 知识点 8　集合中元素的个数与 Venn 图 1．有限集合的元素个数：。 2．实际问题中，用 Venn 图把“只属于 ”“只属于 ”“公共部分”“都不属于”分别标出，可避免重复计数。 二、典例精讲 知识点 1　集合的含义与元素的特征 【例 1】已知集合 ，若 ，求实数 的值。 【解析】因为 ，所以集合 的三个元素中至少有一个等于 ，分三种情况讨论。 （1）若 ，则 ，此时 ，，集合 中的元素 重复出现，不满足互异性，舍去。 （2）若 ，则 或 。当 时，，符合题意；当 时，，，集合 中元素 重复，舍去。 （3）若 ，则 ，解得 或 ，均已在上面被排除。 综上，。 【答案】 【变式 1】已知集合 ，若 ，求实数 的值。 【解析】因为 ，且 ，所以 或 。 （1）若 ，则 ，三个元素互不相同，符合题意。 （2）若 ，则 或 。当 时，，元素 重复，舍去；当 时，，符合题意。 综上， 或 。 【答案】 或 知识点 2　元素与集合的关系 【例 2】已知集合 ，用列举法表示集合 。 【解析】要使 为整数， 必须是 的整数约数，即 。 逐一求出 ：，对应 。 所以 ，共 个元素。 【答案】 【变式 2】已知集合 ，用列举法表示集合 。 【解析】与例 2 相比，这里要求 是自然数，且 本身也是自然数。 因为 ，所以 只能取 的正约数 ，对应 。 所以 。 【答案】 知识点 3　集合的表示方法 【例 3】用描述法表示“被 除余 的整数”组成的集合 ，并判断 、 是否属于 。 【解析】被 除余 的整数可写成 的形式，其中 ，所以 。 当 时，，所以 ；当 时，，所以 。 即 与 都属于集合 。 【答案】，， 【变式 3】已知集合 ，，判断集合 与 是否相等。 【解析】解方程 得 或 ，所以 。 满足 的自然数有 ，所以 。 因为 但 ，所以 。 【答案】 知识点 4　子集、真子集与集合相等 【例 4】已知集合 ，写出 的所有子集，并指出子集与真子集的个数。 【解析】按子集中元素的个数分类列举： 不含元素：；含 个元素：，，；含 个元素：，，；含 个元素：。 所以子集共 个，其中真子集有 个（去掉 本身）。 这一结果与公式一致：含 个元素的集合有 个子集， 个真子集。 【答案】子集 个，真子集 个 【变式 4】已知集合 ，求满足 的集合 的个数。 【解析】由 知 必为 的元素；由 知 的元素只能从 中选取。 因此 ，其中 是 的任意子集，而 共有 个子集。 所以这样的集合 共有 个。 【答案】 个 知识点 5　空集及其在含参问题中的作用 【例 5】已知集合 ，，若 ，求实数 的值。 【解析】由 知 ，而 中的元素为 ，故分三种情况。 （1）若 ，则 ， 或 。当 时，，，符合题意；当 时，，元素重复，舍去。 （2）若 ，则 ， 或 。当 时，，，符合题意；当 时，，，符合题意。 （3）若 ，则 ，，已舍去。 综上， 或 或 。 【答案】 或 或 【变式 5】已知集合 ，，用列举法表示集合 ，并求 中元素的个数。 【解析】集合 的元素是 的子集，按子集元素个数列举： ，，，，，，，。 所以 ，共 个元素。 【答案】 含 个元素 知识点 6　交集与并集 【例 6】设 ，，求 与 。 【解析】借助数轴： 表示 与 之间的部分（不含端点）， 表示从 开始向右的部分（含 ）。 两集合的公共部分是 ，所以 。 两集合合起来覆盖 的全部实数，所以 。 【答案】， 【变式 6】设 ，，求 与 。 【解析】在数轴上分别画出 与 。 中满足 的部分与 重合，故 。 中 的部分与 合并后为 或 ，故 。 【答案】， 知识点 7　全集与补集 【例 7】设全集 ，，，求 、 与 。 【解析】在 中去掉 的元素，得 。 ，在 中去掉这些元素，得 。 ，，故 。 可见 ，这正是德·摩根律。 【答案】，， 【变式 7】设全集 ，，，求 与 。 【解析】先写出全集 。 ，所以 。 ，所以 。 【答案】， 知识点 8　集合中元素的个数与 Venn 图 【例 8】某班共有 名学生，其中参加数学竞赛的有 人，参加物理竞赛的有 人，两项都参加的有 人。求两项都没有参加的人数。 【解析】设参加数学竞赛的学生组成集合 ，参加物理竞赛的学生组成集合 ，则 ，，。 由容斥原理，至少参加一项的人数为 。 所以两项都没有参加的人数为 。 【答案】 人 【变式 8】某班共有 名学生，其中喜欢篮球的有 人，喜欢足球的有 人，两项都喜欢的有 人。求两项都不喜欢的人数。 【解析】设喜欢篮球的学生组成集合 ，喜欢足球的学生组成集合 ，则 ，，。 至少喜欢一项的人数为 。 所以两项都不喜欢的人数为 。 【答案】 人 三、课后巩固 1．判断下列说法是否正确（正确的画“√”，错误的画“×”）。 （1）所有很小的正数可以组成一个集合； （2）集合 与集合 表示同一个集合； （3）方程 在实数范围内的解集是空集； （4）集合 与集合 相等。 【答案】（1）×　（2）√　（3）√　（4）√。【简析】（1）“很小”没有明确标准，不满足确定性；（2）集合元素具有无序性；（3）方程无实根；（4）解方程得 。 2．用列举法表示集合 。 【答案】。【简析】满足条件的自然数为 ，注意自然数集含 。 3．已知集合 ，求 的真子集的个数。 【答案】。【简析】含 个元素的集合有 个子集，真子集有 个。 4．设全集 ，，，求 与 。 【答案】，。【简析】，再在 中取其补集。 5．已知 ，，求 与 。 【答案】，。【简析】借助数轴，注意 处取到、 处不取到。 6．某班共有 人，参加合唱比赛的有 人，参加舞蹈比赛的有 人，两项都参加的有 人。求两项都没有参加的人数。 【答案】 人。【简析】至少参加一项的人数为 ，故两项都没参加的有 人。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏教版必修第一册　第一章 集合　·　基础版　·　学生版 苏教版高中数学必修第一册　第一章《集合》 期中章节复习讲义 · 基础版（难度系数 0.60）　|　学生版 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿＿＿ 适用范围：1.1 集合的概念与表示、1.2 子集、全集、补集、1.3 交集、并集。全章共 8 个知识点，每个知识点配 1 道例题与 1 道变式，另设 6 道课后巩固。建议用时 90 分钟。 一、知识梳理 知识点 1　集合的含义与元素的特征 1．集合的含义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（简称集），集合中的每一个对象称为该集合的元素。 2．元素的三个特征： （1）确定性：给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合是确定的； （2）互异性：同一个集合中的元素互不相同； （3）无序性：集合中的元素没有先后顺序。 3．元素与集合的关系：若 是集合 的元素，记作 ；若 不是集合 的元素，记作 。 4．常用数集：自然数集 （含 ）、正整数集 （或 ）、整数集 、有理数集 、实数集 。 易错提醒：集合中的元素必须互异，含参数的集合问题求出参数后一定要代回检验；元素个数相同的两个集合不一定相等。 知识点 2　元素与集合的关系 1．判断元素是否属于集合：看该元素是否满足集合中元素的共同特征，注意代表元素的一般形式与限制范围。 2．由 “” 求参数：把 与集合中的各元素逐一比较，分类讨论求出参数，再检验互异性与题设条件。 3．用描述法给出的集合，要先看清代表元素，如 中的元素是 ，而不是 。 知识点 3　集合的表示方法 1．列举法：把集合的元素一一列举出来写在大括号内，如 ；元素较多且有规律时可用省略号。 2．描述法：，竖线前写明元素的一般形式及取值范围，竖线后写明元素满足的条件。 3．Venn 图：用封闭曲线的内部表示集合，直观形象，常用于分析集合关系与计数。 易错提醒： 表示自变量 的取值集合，即 ； 表示函数值的集合，即 。二者表示不同的集合。 知识点 4　子集、真子集与集合相等 1．子集：若集合 中任意一个元素都是集合 的元素，则称 是 的子集，记作 （或 ）。 2．真子集：若 ，且 中至少有一个元素不属于 ，则称 是 的真子集，记作 。 3．集合相等：若 且 ，则 。 4．子集个数：含 个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空真子集。 5．规定：空集是任何集合的子集，即 ；空集是任何非空集合的真子集。 知识点 5　空集及其在含参问题中的作用 1．空集：不含任何元素的集合，记作 。注意 与 都不是空集。 2．含参的“”问题，必须首先讨论 的情形，这是最常见的失分点。 例如：若 ，则当 ，即 时，。 方法：讨论顺序为“先空集，后非空”，最后把各种情形的结果取并集。 知识点 6　交集与并集 1．交集：。 2．并集：。 3．性质：，，，； ，，，。 4．等价关系：。 5．用不等式表示的集合求交集、并集时，借助数轴，注意端点是否取到。 知识点 7　全集与补集 1．全集：研究问题所涉及的所有元素组成的集合，记作 。 2．补集：。 3．性质：，，。 4．德·摩根律：，。 知识点 8　集合中元素的个数与 Venn 图 1．有限集合的元素个数：。 2．实际问题中，用 Venn 图把“只属于 ”“只属于 ”“公共部分”“都不属于”分别标出，可避免重复计数。 二、典例精讲 知识点 1　集合的含义与元素的特征 【例 1】已知集合 ，若 ，求实数 的值。 解： 【变式 1】已知集合 ，若 ，求实数 的值。 解： 知识点 2　元素与集合的关系 【例 2】已知集合 ，用列举法表示集合 。 解： 【变式 2】已知集合 ，用列举法表示集合 。 解： 知识点 3　集合的表示方法 【例 3】用描述法表示“被 除余 的整数”组成的集合 ，并判断 、 是否属于 。 解： 【变式 3】已知集合 ，，判断集合 与 是否相等。 解： 知识点 4　子集、真子集与集合相等 【例 4】已知集合 ，写出 的所有子集，并指出子集与真子集的个数。 解： 【变式 4】已知集合 ，求满足 的集合 的个数。 解： 知识点 5　空集及其在含参问题中的作用 【例 5】已知集合 ，，若 ，求实数 的值。 解： 【变式 5】已知集合 ，，用列举法表示集合 ，并求 中元素的个数。 解： 知识点 6　交集与并集 【例 6】设 ，，求 与 。 解： 【变式 6】设 ，，求 与 。 解： 知识点 7　全集与补集 【例 7】设全集 ，，，求 、 与 。 解： 【变式 7】设全集 ，，，求 与 。 解： 知识点 8　集合中元素的个数与 Venn 图 【例 8】某班共有 名学生，其中参加数学竞赛的有 人，参加物理竞赛的有 人，两项都参加的有 人。求两项都没有参加的人数。 解： 【变式 8】某班共有 名学生，其中喜欢篮球的有 人，喜欢足球的有 人，两项都喜欢的有 人。求两项都不喜欢的人数。 解： 三、课后巩固 1．判断下列说法是否正确（正确的画“√”，错误的画“×”）。 （1）所有很小的正数可以组成一个集合； （2）集合 与集合 表示同一个集合； （3）方程 在实数范围内的解集是空集； （4）集合 与集合 相等。 2．用列举法表示集合 。 3．已知集合 ，求 的真子集的个数。 4．设全集 ，，，求 与 。 5．已知 ，，求 与 。 6．某班共有 人，参加合唱比赛的有 人，参加舞蹈比赛的有 人，两项都参加的有 人。求两项都没有参加的人数。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $