专题05 函数概念与性质全章5考点13题型（期中复习讲义）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题05 函数概念与性质 1 2 2 3 考点一 函数的概念、三要素与同一函数 3 考点二 函数的表示法与分段函数 3 考点三 函数的单调性 4 考点四 函数的奇偶性 4 考点五 单调性与奇偶性综合应用 4 5 题型一 ：函数的概念与同一函数的判断 5 题型二 ：函数定义域的求解 7 题型三 ：函数解析式的求法 9 题型四 ：分段函数的求值与求参 11 题型五 ：判断与证明函数的单调性 13 题型六 ：根据函数的单调性求参数 14 题型七 ：求函数的最值/值域 16 题型八 ：判断函数的奇偶性 17 题型九 ：利用奇偶性求值或求参 20 题型十 ：利用函数奇偶性求解析式 22 题型十一 ：利用单调性和奇偶性解不等式 23 题型十二 ：利用单调性和奇偶性比较大小 26 题型十三 ：函数性质的综合应用 28 31 基础固本练（限时：15分钟） 31 综合进阶练（限时：15分钟） 34 苏教版必修第一册第五章《函数概念与性质》是高一上学期期中重难点专题，在期中试卷中，选择、填空、解答题均高频出现。解答题常考求函数定义域值域、函数单调性证明、奇偶性判断，中档题居多，部分小题有一定区分度。 1. 命题考点分布 函数的概念与函数三要素（定义域、值域、对应关系）、函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）、分段函数、函数单调性与单调区间、函数奇偶性、单调性与奇偶性综合应用是期中高频考点；求定义域忽略限制条件、单调区间书写错误、证明单调性格式不规范、奇偶性忽略定义域关于原点对称为本专题主要失分点。 2. 命题角度特点 基础题：求函数定义域、简单函数值域、识别函数图象、判断简单函数奇偶性，侧重概念理解； 中档题：分段函数求值、分段函数与不等式；单调性的判断与证明；利用单调性、奇偶性解抽象不等式； 命题联动：常和不等式、集合综合命题；抽象函数结合奇偶性、单调性求解参数或不等式。 3. 主要失分点 ①求定义域时，漏掉分母不为 0、偶次根式被开方数≥0 等限制条件； ②混淆 “区间” 和 “集合”，多个单调区间之间不能用 “” 连接； ③证明函数单调性，直接看图说话，没有用定义严格推导； ④判断函数奇偶性，不先检验定义域是否关于原点对称； ⑤分段函数求值，找不准对应的分段区间，代入解析式出错。 识记 1. 记住函数的定义，函数三要素：定义域、对应关系、值域； 2. 熟记求定义域常见限制条件；记住增函数、减函数定义，奇函数、偶函数定义； 3. 掌握函数三种表示方法，理解分段函数含义。 理解 1. 理解函数概念：任意一个自变量，有唯一与之对应；理解同一函数的判定条件； 2. 理解单调性的几何意义（图象升降），奇偶性的图象特征（偶函数关于 y 轴对称，奇函数关于原点对称）； 3. 理解函数单调性定义证明的完整步骤；理解奇偶函数定义域必须关于原点对称。 应用 1. 会求各类函数的定义域，会求简单函数值域；会判断两个函数是否为同一函数； 2. 掌握分段函数求值、解分段函数不等式； 3. 能用定义证明简单函数单调性，会求单调区间； 4. 会判断函数奇偶性，综合单调性 + 奇偶性求解抽象不等式、求参数。 考点一 函数的概念、三要素与同一函数 1. 函数定义：设是非空实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，则称为从集合到集合的一个函数，记作。 2. 三要素：定义域（自变量的取值集合）、对应关系、值域（函数值的集合）。 3. 同一函数判定：定义域相同，并且对应关系完全相同，两个函数才是同一函数，与字母符号无关。 4. 求定义域常见约束： ①分式：分母； ②偶次根式：被开方数； ③零次幂：底数。 ⚠️易混易错 1.函数核心：每一个只能对应唯一的；一个可以对应多个。 2.判断同一函数，必须同时检查定义域与对应关系，只看解析式不看定义域容易误判。 3.求定义域是求自变量的取值集合，结果必须写成集合或者区间形式。 考点二 函数的表示法与分段函数 1. 函数三种表示方法：解析法、列表法、图象法。 2. 分段函数：在定义域不同子集上，对应不同解析式；分段函数是一个函数，不是多个函数。 3. 分段函数求值：先判断自变量属于哪一段定义域，再代入该段对应的解析式计算；解分段不等式需要分段讨论。 ⚠️易混易错 1.分段函数各段的定义域分界点要分清，不要代入错误区间的解析式。 2.分段函数的定义域是各段自变量取值的并集，值域是各段函数值范围的并集。 3.分段点处要检验左右取值，避免重复或者遗漏。 考点三 函数的单调性 1. 增函数定义：设函数的定义域为，区间，任取，当，都有，则在区间上单调递增。 2. 减函数定义：任取，当，都有，则在区间上单调递减。 3. 定义法证明单调性五步：①取值；②作差；③变形（因式分解、通分等）；④判断差的正负；⑤得出结论。 4. 叫做函数的一个单调区间。 ⚠️易混易错 1.多个不连续的单调区间，中间不能写并集符号∪，用 “逗号” 或者 “和” 隔开。 2.证明单调性不可以直接看图象，必须严格使用定义作差推导。 3.单调性是针对区间而言。若函数仅在部分区间递增，不能笼统说 “函数是增函数”，必须写明对应区间；当函数在整个定义域单调递增时，可以称该函数为增函数。 考点四 函数的奇偶性 1. 前提条件：函数的定义域必须关于原点对称，不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。 2. 偶函数：对于定义域内任意，都有，图象关于轴对称。 3. 奇函数：对于定义域内任意，都有，图象关于原点对称；若奇函数在处有定义，则。 4. 奇偶性与单调性规律：偶函数在对称区间单调性相反；奇函数在对称区间单调性相同。 ⚠️易混易错 1.判断奇偶性第一步先检验定义域是否关于原点对称，忽略这一步会直接出错。 2.不能判定函数是奇函数，仅仅是奇函数在 0 处有定义的必要条件。 3.利用奇偶性转化时，注意负号运算，不要漏加括号。 考点五 单调性与奇偶性综合应用 1. 利用奇偶性把转化为或者；再借助单调性脱去外壳，转化自变量大小关系。 2. 解抽象函数不等式流程：①利用奇偶统一到同一侧；②利用单调性去掉；③不要忘记带上定义域约束。 3. 已知奇偶、单调性求参数，利用定义或者图象性质建立等式求解，求出参数后代回检验定义域。 ⚠️易混易错 1.脱去符号的时候，自变量必须落在函数的定义域之内，不能漏掉定义域限制。 2.偶函数满足，这个变形在解抽象不等式经常使用。 3.求出参数之后，务必回代检验奇偶性条件是否全部成立。 题型一 ：函数的概念与同一函数的判断 典例1 （26-27高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 💡破题要诀 1. 判断同一函数：判断两个函数是否为同一函数，需同时满足定义域相同且对应关系（解析式）相同。 · 定义域优先原则：先求定义域，若定义域不同，直接排除。 · 等价变形：化简解析式时必须保证等价，不能改变定义域（如 与 不是同一函数）。 · 性质一致：同一函数的所有性质（单调性、奇偶性、周期性等）必须完全一致，可作为辅助验证，不能作为首要判断条件。 2. 判断是否为函数：判断一个对应关系是否为函数，需验证对定义域内任意 ，都有唯一确定的 与之对应。 · 唯一性检验：注意区分函数与方程。例如 不表示函数，因为一个 对应两个 。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选）下列函数为同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数. 【详解】对于A，的定义域为，且， 的定义域为，且，则两函数为同一函数，故A正确； 对于B，，由得，故的定义域为， ，由得或，故的定义域为， 则两函数不为同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为，解得， 的定义域为，解得， 故两个函数的定义域均为，且， 则两函数为同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，且对应法则相同，值域也相同， 则两函数为同一函数，故D正确. 故选：ACD 2．（26-27高一上·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A．式子可表示自变量为、因变量为的函数 B．若，则 C．函数的图象与直线最多有1个交点 D．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素 【答案】BC 【分析】逐一分析各选项，利用函数定义、函数求值和函数性质判断对错． 【详解】解：对于A，有不等式组无解，故A错误； 对于B，因为，所以，故，故B正确； 对于C，根据函数的概念知，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点，当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有1个交点，所以函数的图象与直线最多有1个交点，故C正确； 对于D，取函数，其值域为，故D错误． 故选：BC． 题型二 ：函数定义域的求解 典例2 （25-26高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式和根式有意义列不等式组求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：C 💡破题要诀 1. 求具体函数的定义域：找限制条件（分母不为0、偶次根号下非负、对数真数大于0、零次幂底数不为0等），列不等式组求解。 · 结果必须写成集合或区间的形式。 2. 求抽象函数的定义域： · 若已知 的定义域为 ，求 的定义域，则令 解出 的范围。 · 若已知 的定义域，求 的定义域，则由给出的范围求出的值域。 · 定义域永远指自变量 的取值范围。 · 复合函数中内层函数的值域是外层函数的定义域。 迁移应用 1．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【详解】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）（多选）以下判断，其中是正确判断的有（   ） A．与表示同一函数 B．命题，恒成立为真命题，则的一个充分条件的是. C．函数的图象与直线的交点有1个 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】由两函数的定义域不相同判断A；求出命题为真时参数的取值范围，即可判断 B；根据函数的定义判断C；将问题转化为对恒成立；分别在和两种情况下，结合二次函数性质可构造不等式组根据函数定义域的求法求解判断D. 【详解】对于A：函数的定义域为，的定义域为， 所以与不是同一函数，故A错误； 对于B：若命题，恒成立为真命题， 则，解得， 因为，所以的一个充分条件是，正确； 对于C：若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个， 若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点； 所以函数的图象与直线的交点最多有1个，错误； 对于D：因为函数的定义域为， 所以不等式对恒成立， 当时，不等式为，满足题意； 当时，，解得， 综上所述：，故D正确. 故选：BD 题型三 ：函数解析式的求法 典例3 （25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】根据求函数解析式的三种方法：待定系数法，配凑法，解方程组法，分别求解（1）（2），（3）小题. 【详解】（1） （待定系数法）∵是一次函数，可设， 由题可知：，即， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）(配凑法)， 又， 当且仅当即时等号成立. 设则，∴， ∴函数的解析式为. （3）(解方程组法)∵，① ∴，② 由得，∴. ∴函数的解析式为. 💡破题要诀 1. 待定系数法：已知函数类型（如一次、二次函数）时，设出解析式，代入条件求系数。 2. 换元法与配凑法：换元法令 反解 代入求 ；配凑法将表达式配凑成关于 的形式。 · 换元后务必注明新元的取值范围，即新函数的定义域。 3. 方程组法：已知 与 或 的关系式时，构造方程组求解。 · 求出解析式后养成代回原式检验的习惯。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法求函数解析式． 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（1）已知，求的解析式． （2）已知函数是二次函数，且，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将换为得到方程组，解得即可； （2）设，根据求出，再由得到方程组，求出、的值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 即，解得； （2）设，因为，所以， 即， 所以， 又， 即， 即，所以，解得， 所以 题型四 ：分段函数的求值与求参 典例4 （25-26高一上·江苏扬州·期中）设函数，若，则（   ） A．0或2 B．0或3 C．2 D．0或2或3 【答案】A 【分析】由和分别计算求解即可. 【详解】当时，，得， 当时，，得（舍去）或， 所以0或2， 故选：A 💡破题要诀 1. 求值：先判断自变量落在哪个区间，再代入对应解析式，从内到外逐层计算。 · 画图辅助，利用图象直观判断解的个数和位置。 2. 求参：已知函数值求参数的值时，需分类讨论，分别令各段表达式等于已知值。 · 解出后必须检验是否在该段区间内，避免增根或漏解。 迁移应用 1．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知函数，则的解是（   ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【答案】AC 【分析】讨论的取值，然后得到对应方程，并求解即可得结果. 【详解】因为， 所以，当时，，即， 当时，，即， 故选：AC. 2．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，则__________，若，则a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用分段函数解析式求，进而求即可；设，根据分段函数的解析式，求出时，的取值范围，进而在分情况讨论求出的范围即可. 【详解】根据分段函数解析式有：，； 令，则，原式化为 当时，有，即，解得，即； 当时，有，即，所以，即. 若， 当时，有，即，解得； 当时，有，显然此时无解； 若， 当时，有，即，解得； 当时，有，，解得 综上所述：若，则a的取值范围是：. 故答案为：； 题型五 ：判断与证明函数的单调性 典例5 （25-26高一上·广东肇庆·期中）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 💡破题要诀 1. 定义法：设 ，作差 判断符号。 · 步骤为：取值、作差、变形（因式分解或通分）、定号、下结论。 · 作差后变形要彻底，便于判断符号。 2. 图象法：观察函数图象的升降趋势。 · 复合函数单调性遵循"同增异减"。 · 单调性必须在定义域内的某个区间上讨论，不能跨区间合并。 迁移应用 1．（25-26高一上·河北保定·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则在上单调递增； ，因式分解得，解得定义域为或，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此，在上单调递减；在上单调递增. 结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：B 2．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2) 在上的单调递减， 设，所以，， 所以， 所以，即， 所以在上的单调递减. 【分析】（1）由题意可知，函数的图象经过点，代入求解即可. （2）由函数单调性的定义求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象过点，所以， 解得， 所以的解析式为 （2）略 题型六 ：根据函数的单调性求参数 典例6 （25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 💡破题要诀 利用定义或分段函数性质：利用单调性定义建立关于参数的不等式。 · 分段函数在 上单调，需保证各段单调且衔接点处大小关系正确。 · 切勿遗漏端点值的检验。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）函数在区间上不是单调减函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分离常数得出，根据在区间上不是单调减函数便可得出，从而得出实数的取值范围． 【详解】在上不是单调减函数， ，解得 故答案为： 2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数 满足：对任意时， 当时，都有 成立，则实数a的取值范围是（   ） A．( ,2] B． C．[2,+∞) D．[1,2] 【答案】B 【分析】由题意得，函数在上单调递增，进而结合分段函数单调性求解即可. 【详解】由题意得，函数在上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 题型七 ：求函数的最值/值域 典例7 （25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 💡破题要诀 1. 单调性法与配方法：单调性法利用区间单调性求最值；配方法适用于二次函数或可化为二次函数的函数。 · 先求定义域，在定义域内求值域。 · 注意区分"最值"与"值域"的概念。 2. 基本不等式法、换元法与数形结合法：基本不等式法适用于形如 的函数；换元法将复杂函数转化为简单函数；数形结合法利用图象求值域。 · 换元后务必注意新元的取值范围。 迁移应用 1．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【详解】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 2．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知幂函数与一次函数的图象都过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）设，，即可得到方程组，求出、、的值，即可得解； （2）首先求出解析式，结合二次函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数的最值. 【详解】（1）设，， 依题意可得，解得， 所以， （2）由（1）得，， 则，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 当时，，当时，， 所以区间上的最大值为，最小值为. 题型八 ：判断函数的奇偶性 典例8 （25-26高一上·重庆·期中）下列函数在区间上单调递增且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶的定义逐项判断每个函数的奇偶性，利用函数的解析式可判断每个函数的单调性. 【详解】对于A，令，定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又在区间上单调递减，故A错误； 对于B，令，定义域为， 又，所以函数为偶函数， 又在区间上单调递增，故B错误； 对于C，令，定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又在区间上单调递减，故C错误； 对于D，令，定义域为， 又，所以函数为奇函数， 当时，，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 💡破题要诀 1. 定义域检验：首先求定义域，判断是否关于原点对称，若不对称则非奇非偶。 · 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。 2. 解析式验证：若定义域对称，计算 并与 或 比较。 · 口诀：奇函数 ，偶函数 。 · 若既是奇函数又是偶函数则 且定义域关于原点对称。 · 判断分段函数奇偶性需分段验证。 迁移应用 1．（25-26高一上·上海·期中）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【分析】对于①：根据题意结合奇偶性的定义分析判断即可；对于②：根据奇偶性的性质分析判断即可. 【详解】对于①：设、是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数， 且，可得， 可得，， 因为，可知为奇函数， ，可知为偶函数，故①为真命题； 对于②：设，，， 可知、、均是定义域上的奇函数， 且，，， 所以、、均是定义域上的奇函数，故②是真命题； 故选：A. 2．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数，对任意的，且当时，． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)设函数，判断的奇偶性并说明理由． 【答案】(1)； (2) 在上单调递减； 设，因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，故在上单调递减. (3) 令得：，所以 ，所以， 所以 是奇函数. 【分析】（1）利用赋值法计算求解； （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性； （3）利用赋值结合奇函数定义可证明. 【详解】（1）令得：； （2）略 （3）略 题型九 ：利用奇偶性求值或求参 典例9 （25-26高一上·云南昭通·期中）若幂函数为偶函数，则__________. 【答案】 【分析】由幂函数的定义得，解出，并根据为偶函数，进行检验，得到的值. 【详解】因为为幂函数，则，解得或. 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，所以. 故答案为：. 💡破题要诀 1. 求值：利用奇偶性定义 建立方程。 · 已知 求 可直接利用奇偶性关系。 2. 求参：函数含参数且为奇/偶函数时，利用定义式恒成立比较系数求参数。 · 奇函数若在 处有定义，则 ，可快速求参或求值。 · 利用特殊值法可快速缩小参数范围。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）设是上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，直接求出结果即可. 【详解】因为是上的奇函数，所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解； （2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集； （3）令，则可转化为关于的函数，分别讨论与，即可求得的值. 【详解】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， 所以，，； （2）由（1）可知， 任取，则，， 则， 所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数， 故由式可得， 所以，即， 解得或，故不等式的解集为； （3）， 所以 ， 令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为. 当时，则时，，解得； 当时，则时，，解得，舍去； 综上，可知． 题型十 ：利用函数奇偶性求解析式 典例10 （26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，所以， 所以． 💡破题要诀 1. 转化法求解析式：求哪个区间的解析式就设该区间内的 ，则 在已知区间内，代入已知解析式，再利用奇偶性转化。 · 步骤为：设 在所求区间 → 则 在已知区间 → 代入已知解析式 → 利用奇偶性写出 。 2. 注意特殊情况： · 若函数是奇函数且在 处有定义需补充 。 · 最后需写出完整的分段解析式。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再结合奇函数的性质可得出的值； （2）利用奇函数的性质可求出函数在时的解析式，再由可得出函数在上的解析式. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，当时，， 则，故. （2）当时，，则， 由于函数是上的奇函数，故， 因此. 2．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据的单调性，按的不同取值分类讨论即可. 【详解】（1）因为为偶函数，当时，， 当，有，则， 所以． （2）当时，．因为的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，在上单调递减， 则； 当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，在上单调递增，则． 综上，． 题型十一 ：利用单调性和奇偶性解不等式 典例11 （25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数性质，把函数不等式转化为代数不等式求解，根据其解集进行判断. 【详解】对函数， 由或，故函数定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 又时，在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以. 由或. 由或或. 所以不等式组的解集为. 故选：BC 💡破题要诀 1. 转化不等式：利用奇偶性将不等式转化为 的形式。 · 若不等式形如 ，可利用奇偶性化为 。 2. 脱去函数符号：利用单调性脱去 得到 （或 ）。 · 注意定义域限制，脱去 后需满足 和 都在定义域内。 · 最终解集需与定义域取交集。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是________. 【答案】或或. 【分析】根据条件可知一正一负，然后结合图象以及函数的奇偶性分别求解出对应解集，由此可知结果. 【详解】因为，所以或， 因为是偶函数，是奇函数， 所以时，，时，，时，，时，； 所以时，，时，，时，，时，， 所以当时，解得：或， 当时，解得：. 所以不等式的解集为或或. 故答案为：或或 2．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， (1)若，其中 （i）求，的解析式； （ii）若对于任意，都有，求实数a的取值范围. (2)若函数在上单调递增，求不等式的解集. 【答案】(1)（i），；（ii） (2) 【分析】（1）（i）将替换为，再利用奇偶性得出关于的方程组求解； （ii）令，结合单调性定义得出在上单调递减，再分、、三种情况讨论； （2）将不等式化为，结合的奇偶性和单调性求解. 【详解】（1）（i）因，则， 因是奇函数，是偶函数，则， 则， 得，； （ii），即， 令，则在上单调递减， 当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，则，得，舍； 当时，则，得； 故实数a的取值范围为； （2），则 ， 又定义域为关于原点对称，则是偶函数， 因在上单调递增，则在上单调递减， 等价于，即， 则，即或，得或， 故不等式的解集为. 题型十二 ：利用单调性和奇偶性比较大小 典例12 （25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可. 【详解】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B 💡破题要诀 1. 利用奇偶性转化：利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内。 · 若 是偶函数，则 。 · 若 是奇函数，则 。 2. 利用单调性比较：再利用单调性比较函数值大小。 · 比较大小的关键是将自变量都转化到已知单调性的区间内，通常利用对称性实现转化。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用单调性定义确定函数单调性，再利用单调性、偶函数性质比较大小. 【详解】由对任意的，都有不等式，得函数在上单调递增， 由是R上的偶函数，得在上单调递减，而， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上均单调递增，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，结合函数的单调性与奇偶性，结合选项，逐项化简、判断，即可求解. 【详解】由是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 且在上均递增，则在上递减，在上递增， 对于A，由，可得， 但与的符号不能确定，所以和大小不确定， 即与大小不确定，所以A不正确； 对于B，由，因为， 又由， 因为，所以，所以 B正确； 对于C，由，则， 可得，即，所以C正确； 对于D，由， 且， 因为，可得，所以， 所以，所以D错误. 故选：BC. 题型十三 ：函数性质的综合应用 典例13 （25-26高一上·江苏苏州·期中）设是定义在上的函数，对任意，均有，当时，，则当，时，______． 【答案】 【分析】由题可得的周期为4，求出时的的解析式，利用函数周期性求得答案. 【详解】由，得， 所以，即函数是周期为4的周期函数. 当时，， ，又， 所以， 当，时，则， ， 又， . 故答案为：. 💡破题要诀 1. 周期性应用：若 则周期为 。 · 常见变形 或 周期为 。 2. 对称性应用：若 则关于 对称；若 则关于点 对称。 · 画图辅助将抽象问题具体化，利用图象的对称性和周期性分析。 · 注意周期性、对称性、奇偶性之间的相互转化关系。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定函数在上的单调性，再结合对称性比较大小. 【详解】函数的定义域为R，由函数的图象关于对称，得， 又当时，恒成立，则函数在上单调递增， 因此，即，所以. 故选：C 2．（25-26高一上·江苏·期中）（多选）已知，下列说法正确的是（    ） A．的解集为 B．存在实数，使函数有三个零点 C．对任意，存在实数，使方程恒有两解且为定值 D．若，则 【答案】ACD 【分析】解不等式可判断A；根据解析式判断出单调性，结合的图象可判断B；方程整理得，求出，对任意，令，可判断C；求出、、，判断出是以3为周期的周期函数，利用周期性可判断D. 【详解】对于A，由得，解得， 可得的解集为，故A正确； 对于B，，， 当时，单调递增， 且时，，时，， 当时，单调递增， 且时，，时，， 令，得 令，当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 当时，单调递减，， 其图象如下， 所以不存在实数，使函数有三个零点，故B错误； 对于C，方程整理得， 若有两解，需判别式，且， 对任意，令，则， 此时方程为， 即方程，有两解，， 所以存在实数，使方程恒有两解且为定值0，故C正确； 对于D，， ， ， 所以是以3为周期的周期函数， 且，，，， 则，故D正确. 故选：ACD. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B 2．（26-27高一上·全国·期中）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解即可. 【详解】由解析式得 ，解得且，即函数定义域为. 3．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知函数定义域求得的定义域，再由在的定义域内求得的范围即可得答案． 【详解】函数的定义域为，即， ，则的定义域为， 由，得． 的定义域为． 4．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 5．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 【答案】A 【详解】换元求解 【点睛】令，则， 6．（25-26高一上·重庆·期中）若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】利用方程组法计算函数解析式再求值即可. 【详解】由，可知，联立解得， 所以，则. 故选：D 7．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）下列函数中与函数是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次判断各选项中函数的定义域和解析式，与已知函数均相同的即为结果. 【详解】的定义域为； 对于A：的定义域为， 与解析式不同，故A错误； 对于B：的定义域为，与的定义域不同，故B错误； 对于C：的定义域为，与的定义域不同，故C错误； 对于D：的定义域为，与解析式相同，故D正确. 8．（26-27高一上·湖南·期中）设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 则该函数在上单调递减，所以， 9．（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 10．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 11．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 12．（26-27高一上·安徽·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27高一上·安徽·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则的值是1或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据自变量所对应范围直接计算出函数值可判断A；分类讨论求解出自变量的值可判断B；分别求解出两段函数的值域，然后取并集可得结果可判断C；分别计算出每段函数所对应不等式的解集，然后取并集可得结果可判断D. 【详解】对于选项A，因为，则，故A正确； 对于选项B，当时，，解得（舍去），当时，，解得或（舍去），所以的值是，故B错误； 对于选项C，当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故C正确； 对于选项D，当时，，解得，当时，，解得，所以的解集为，故D正确. 2．（26-27高一上·河北·期中）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】先根据函数的奇偶性和单调性的定义及性质，分别求出与的表达式，再据此判断其奇偶性和单调性. 【详解】由题可知，，， 对A选项，，定义域为，关于原点对称， 又因为， 函数为偶函数，故A错误， 对B选项，，定义域为， 关于原点对称，且， 所以函数为奇函数，故B正确， 对C选项，，当时，令， 则， 所以，所以函数在上单调递减，C正确， 对D选项，，当时，令， 则， 所以，所以函数在上为增函数，D正确. 3．（26-27高一上·江西·期中）（多选）已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A D，通过举例可以判断，对于BC，由函数奇偶性和单调性即可判断. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增，由奇函数性质可知在上单调递增， 偶函数在区间上单调递增， 对于A：取， 则，故A错误； 对于B：由题意得，且， ， 所以，即，故B正确； 对于C：，所以， 所以，故C正确； 对于D，取， ，， 所以，故D错误. 4．（26-27高一上·四川·期中）（多选）已知函数与的图象如图所示，则（ ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．方程有2个解 【答案】ACD 【分析】根据图象可判断与的单调性和奇偶性，即根据奇偶性的定义和单调性的定义求解AC，举反例即可求解B，根据函数图象，结合方程可判断D. 【详解】由图象可知，分别为偶函数，奇函数， 对于A选项，的定义域为，关于原点对称， 因为，所以为奇函数，故A正确； 对于B选项，不妨取，则， ，但，，，故B错误； 对于C选项，设，由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以，即在上单调递减，故C正确； 对于D选项，由图象知，有两个互为相反数的零点，不妨设为， 则由可得或， 由图象可知，和分别有且只有一个解， 故方程有2个解，故D正确. 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）（多选）已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 【答案】ABC 【分析】对于A，根据奇偶性的定义进行判断即可；对于B，先判断时函数的单调性，再根据奇偶性判断 时的单调性即可；对于C，根据函数的单调性及奇偶性求值域即可判断；对于D，举出反例进行判断即可. 【详解】对于A，，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，当时，， 由反比例函数性质可知，函数在上为增函数，且， 又为上的奇函数，函数在上为增函数，在上单调递增， 对任意的，，都有，故B正确； 对于C，当时，， 函数在上为增函数，在上的值域为； 当 时，， 函数在上为增函数，在上的值域为， 综上所述，的值域是，故C正确； 对于D，令，则，， ，即，故D不正确. 6．（25-26高一上·河北唐山·期中）（多选）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 【答案】ABD 【分析】利用代入法，结合函数单调性的性质、偶函数的定义和性质、最值的定义逐一判断即可. 【详解】，定义域为， 选项A：因为，所以A正确。 选项B：因为，所以B正确。 选项C：， 因为函数在上单调递减，且此时， 所以函数在上单调递增，所以C错误。 选项D：由A知是偶函数，的图象关于纵轴对称， 由上可知：在上单调递增， 所以当时，， 又因为，的图象关于纵轴对称， 所以在区间上的最小值为1，所以D正确. 7．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性. 【答案】(1) (2)单调递增. 取任意，且， 则. 因为，所以. 因为，所以，即. 所以. 所以函数在区间上单调递增. 【分析】（1）由奇函数求出的值，由求出的值，即可写出函数解析式； （2）由定义法确定函数在区间上的单调性即可. 【详解】（1）由题意可知，所以， 又因为，所以，则. 则. 又，为奇函数，满足题意. 所以. （2）略 8．（26-27高一上·江西·期中）函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)为偶函数，证明如下： 令，，则， 结合（1）有，即，所以为偶函数． (3) 【分析】（1）令，可得，再令，即可求出； （2）令，，进而根据偶函数的定义，即可得到结论； （3）先根据得到，从而将不等式转化为，再结合函数的单调性和奇偶性转化为，且，，进而求解即可得到答案． 【详解】（1）由对任意，有， 令，则，解得， 令，则，解得． （2）略 （3）由，则， 由，得，即， 结合（2）知为偶函数，又因为在上是增函数， 所以，且，，解得，且，， 所以的取值范围为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数概念与性质 1 2 2 3 考点一 函数的概念、三要素与同一函数 3 考点二 函数的表示法与分段函数 3 考点三 函数的单调性 4 考点四 函数的奇偶性 4 考点五 单调性与奇偶性综合应用 4 5 题型一 ：函数的概念与同一函数的判断 5 题型二 ：函数定义域的求解 6 题型三 ：函数解析式的求法 7 题型四 ：分段函数的求值与求参 7 题型五 ：判断与证明函数的单调性 8 题型六 ：根据函数的单调性求参数 9 题型七 ：求函数的最值/值域 9 题型八 ：判断函数的奇偶性 10 题型九 ：利用奇偶性求值或求参 11 题型十 ：利用函数奇偶性求解析式 11 题型十一 ：利用单调性和奇偶性解不等式 12 题型十二 ：利用单调性和奇偶性比较大小 13 题型十三 ：函数性质的综合应用 13 14 基础固本练（限时：15分钟） 14 综合进阶练（限时：15分钟） 16 苏教版必修第一册第五章《函数概念与性质》是高一上学期期中重难点专题，在期中试卷中，选择、填空、解答题均高频出现。解答题常考求函数定义域值域、函数单调性证明、奇偶性判断，中档题居多，部分小题有一定区分度。 1. 命题考点分布 函数的概念与函数三要素（定义域、值域、对应关系）、函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）、分段函数、函数单调性与单调区间、函数奇偶性、单调性与奇偶性综合应用是期中高频考点；求定义域忽略限制条件、单调区间书写错误、证明单调性格式不规范、奇偶性忽略定义域关于原点对称为本专题主要失分点。 2. 命题角度特点 基础题：求函数定义域、简单函数值域、识别函数图象、判断简单函数奇偶性，侧重概念理解； 中档题：分段函数求值、分段函数与不等式；单调性的判断与证明；利用单调性、奇偶性解抽象不等式； 命题联动：常和不等式、集合综合命题；抽象函数结合奇偶性、单调性求解参数或不等式。 3. 主要失分点 ①求定义域时，漏掉分母不为 0、偶次根式被开方数≥0 等限制条件； ②混淆 “区间” 和 “集合”，多个单调区间之间不能用 “” 连接； ③证明函数单调性，直接看图说话，没有用定义严格推导； ④判断函数奇偶性，不先检验定义域是否关于原点对称； ⑤分段函数求值，找不准对应的分段区间，代入解析式出错。 识记 1. 记住函数的定义，函数三要素：定义域、对应关系、值域； 2. 熟记求定义域常见限制条件；记住增函数、减函数定义，奇函数、偶函数定义； 3. 掌握函数三种表示方法，理解分段函数含义。 理解 1. 理解函数概念：任意一个自变量，有唯一与之对应；理解同一函数的判定条件； 2. 理解单调性的几何意义（图象升降），奇偶性的图象特征（偶函数关于 y 轴对称，奇函数关于原点对称）； 3. 理解函数单调性定义证明的完整步骤；理解奇偶函数定义域必须关于原点对称。 应用 1. 会求各类函数的定义域，会求简单函数值域；会判断两个函数是否为同一函数； 2. 掌握分段函数求值、解分段函数不等式； 3. 能用定义证明简单函数单调性，会求单调区间； 4. 会判断函数奇偶性，综合单调性 + 奇偶性求解抽象不等式、求参数。 考点一 函数的概念、三要素与同一函数 1. 函数定义：设是非空实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，则称为从集合到集合的一个函数，记作。 2. 三要素：定义域（自变量的取值集合）、对应关系、值域（函数值的集合）。 3. 同一函数判定：定义域相同，并且对应关系完全相同，两个函数才是同一函数，与字母符号无关。 4. 求定义域常见约束： ①分式：分母； ②偶次根式：被开方数； ③零次幂：底数。 ⚠️易混易错 1.函数核心：每一个只能对应唯一的；一个可以对应多个。 2.判断同一函数，必须同时检查定义域与对应关系，只看解析式不看定义域容易误判。 3.求定义域是求自变量的取值集合，结果必须写成集合或者区间形式。 考点二 函数的表示法与分段函数 1. 函数三种表示方法：解析法、列表法、图象法。 2. 分段函数：在定义域不同子集上，对应不同解析式；分段函数是一个函数，不是多个函数。 3. 分段函数求值：先判断自变量属于哪一段定义域，再代入该段对应的解析式计算；解分段不等式需要分段讨论。 ⚠️易混易错 1.分段函数各段的定义域分界点要分清，不要代入错误区间的解析式。 2.分段函数的定义域是各段自变量取值的并集，值域是各段函数值范围的并集。 3.分段点处要检验左右取值，避免重复或者遗漏。 考点三 函数的单调性 1. 增函数定义：设函数的定义域为，区间，任取，当，都有，则在区间上单调递增。 2. 减函数定义：任取，当，都有，则在区间上单调递减。 3. 定义法证明单调性五步：①取值；②作差；③变形（因式分解、通分等）；④判断差的正负；⑤得出结论。 4. 叫做函数的一个单调区间。 ⚠️易混易错 1.多个不连续的单调区间，中间不能写并集符号∪，用 “逗号” 或者 “和” 隔开。 2.证明单调性不可以直接看图象，必须严格使用定义作差推导。 3.单调性是针对区间而言。若函数仅在部分区间递增，不能笼统说 “函数是增函数”，必须写明对应区间；当函数在整个定义域单调递增时，可以称该函数为增函数。 考点四 函数的奇偶性 1. 前提条件：函数的定义域必须关于原点对称，不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。 2. 偶函数：对于定义域内任意，都有，图象关于轴对称。 3. 奇函数：对于定义域内任意，都有，图象关于原点对称；若奇函数在处有定义，则。 4. 奇偶性与单调性规律：偶函数在对称区间单调性相反；奇函数在对称区间单调性相同。 ⚠️易混易错 1.判断奇偶性第一步先检验定义域是否关于原点对称，忽略这一步会直接出错。 2.不能判定函数是奇函数，仅仅是奇函数在 0 处有定义的必要条件。 3.利用奇偶性转化时，注意负号运算，不要漏加括号。 考点五 单调性与奇偶性综合应用 1. 利用奇偶性把转化为或者；再借助单调性脱去外壳，转化自变量大小关系。 2. 解抽象函数不等式流程：①利用奇偶统一到同一侧；②利用单调性去掉；③不要忘记带上定义域约束。 3. 已知奇偶、单调性求参数，利用定义或者图象性质建立等式求解，求出参数后代回检验定义域。 ⚠️易混易错 1.脱去符号的时候，自变量必须落在函数的定义域之内，不能漏掉定义域限制。 2.偶函数满足，这个变形在解抽象不等式经常使用。 3.求出参数之后，务必回代检验奇偶性条件是否全部成立。 题型一 ：函数的概念与同一函数的判断 典例1 （26-27高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 判断同一函数：判断两个函数是否为同一函数，需同时满足定义域相同且对应关系（解析式）相同。 · 定义域优先原则：先求定义域，若定义域不同，直接排除。 · 等价变形：化简解析式时必须保证等价，不能改变定义域（如 与 不是同一函数）。 · 性质一致：同一函数的所有性质（单调性、奇偶性、周期性等）必须完全一致，可作为辅助验证，不能作为首要判断条件。 2. 判断是否为函数：判断一个对应关系是否为函数，需验证对定义域内任意 ，都有唯一确定的 与之对应。 · 唯一性检验：注意区分函数与方程。例如 不表示函数，因为一个 对应两个 。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选）下列函数为同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27高一上·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A．式子可表示自变量为、因变量为的函数 B．若，则 C．函数的图象与直线最多有1个交点 D．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素 题型二 ：函数定义域的求解 典例2 （25-26高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 求具体函数的定义域：找限制条件（分母不为0、偶次根号下非负、对数真数大于0、零次幂底数不为0等），列不等式组求解。 · 结果必须写成集合或区间的形式。 2. 求抽象函数的定义域： · 若已知 的定义域为 ，求 的定义域，则令 解出 的范围。 · 若已知 的定义域，求 的定义域，则由给出的范围求出的值域。 · 定义域永远指自变量 的取值范围。 · 复合函数中内层函数的值域是外层函数的定义域。 迁移应用 1．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）（多选）以下判断，其中是正确判断的有（   ） A．与表示同一函数 B．命题，恒成立为真命题，则的一个充分条件的是. C．函数的图象与直线的交点有1个 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 题型三 ：函数解析式的求法 典例3 （25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 💡破题要诀 1. 待定系数法：已知函数类型（如一次、二次函数）时，设出解析式，代入条件求系数。 2. 换元法与配凑法：换元法令 反解 代入求 ；配凑法将表达式配凑成关于 的形式。 · 换元后务必注明新元的取值范围，即新函数的定义域。 3. 方程组法：已知 与 或 的关系式时，构造方程组求解。 · 求出解析式后养成代回原式检验的习惯。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（1）已知，求的解析式． （2）已知函数是二次函数，且，求的解析式． 题型四 ：分段函数的求值与求参 典例4 （25-26高一上·江苏扬州·期中）设函数，若，则（   ） A．0或2 B．0或3 C．2 D．0或2或3 💡破题要诀 1. 求值：先判断自变量落在哪个区间，再代入对应解析式，从内到外逐层计算。 · 画图辅助，利用图象直观判断解的个数和位置。 2. 求参：已知函数值求参数的值时，需分类讨论，分别令各段表达式等于已知值。 · 解出后必须检验是否在该段区间内，避免增根或漏解。 迁移应用 1．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知函数，则的解是（   ） A．-1 B．0 C．2 D．3 2．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，则__________，若，则a的取值范围是__________. 题型五 ：判断与证明函数的单调性 典例5 （25-26高一上·广东肇庆·期中）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 定义法：设 ，作差 判断符号。 · 步骤为：取值、作差、变形（因式分解或通分）、定号、下结论。 · 作差后变形要彻底，便于判断符号。 2. 图象法：观察函数图象的升降趋势。 · 复合函数单调性遵循"同增异减"。 · 单调性必须在定义域内的某个区间上讨论，不能跨区间合并。 迁移应用 1．（25-26高一上·河北保定·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 题型六 ：根据函数的单调性求参数 典例6 （25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 利用定义或分段函数性质：利用单调性定义建立关于参数的不等式。 · 分段函数在 上单调，需保证各段单调且衔接点处大小关系正确。 · 切勿遗漏端点值的检验。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏苏州·期中）函数在区间上不是单调减函数，则实数a的取值范围是______． 2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数 满足：对任意时， 当时，都有 成立，则实数a的取值范围是（   ） A．( ,2] B． C．[2,+∞) D．[1,2] 题型七 ：求函数的最值/值域 典例7 （25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 💡破题要诀 1. 单调性法与配方法：单调性法利用区间单调性求最值；配方法适用于二次函数或可化为二次函数的函数。 · 先求定义域，在定义域内求值域。 · 注意区分"最值"与"值域"的概念。 2. 基本不等式法、换元法与数形结合法：基本不等式法适用于形如 的函数；换元法将复杂函数转化为简单函数；数形结合法利用图象求值域。 · 换元后务必注意新元的取值范围。 迁移应用 1．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知幂函数与一次函数的图象都过点，且. (1)求与的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型八 ：判断函数的奇偶性 典例8 （25-26高一上·重庆·期中）下列函数在区间上单调递增且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 定义域检验：首先求定义域，判断是否关于原点对称，若不对称则非奇非偶。 · 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。 2. 解析式验证：若定义域对称，计算 并与 或 比较。 · 口诀：奇函数 ，偶函数 。 · 若既是奇函数又是偶函数则 且定义域关于原点对称。 · 判断分段函数奇偶性需分段验证。 迁移应用 1．（25-26高一上·上海·期中）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 2．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数，对任意的，且当时，． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)设函数，判断的奇偶性并说明理由． 题型九 ：利用奇偶性求值或求参 典例9 （25-26高一上·云南昭通·期中）若幂函数为偶函数，则__________. 💡破题要诀 1. 求值：利用奇偶性定义 建立方程。 · 已知 求 可直接利用奇偶性关系。 2. 求参：函数含参数且为奇/偶函数时，利用定义式恒成立比较系数求参数。 · 奇函数若在 处有定义，则 ，可快速求参或求值。 · 利用特殊值法可快速缩小参数范围。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）设是上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 题型十 ：利用函数奇偶性求解析式 典例10 （26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 转化法求解析式：求哪个区间的解析式就设该区间内的 ，则 在已知区间内，代入已知解析式，再利用奇偶性转化。 · 步骤为：设 在所求区间 → 则 在已知区间 → 代入已知解析式 → 利用奇偶性写出 。 2. 注意特殊情况： · 若函数是奇函数且在 处有定义需补充 。 · 最后需写出完整的分段解析式。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式． 2．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 题型十一 ：利用单调性和奇偶性解不等式 典例11 （25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 转化不等式：利用奇偶性将不等式转化为 的形式。 · 若不等式形如 ，可利用奇偶性化为 。 2. 脱去函数符号：利用单调性脱去 得到 （或 ）。 · 注意定义域限制，脱去 后需满足 和 都在定义域内。 · 最终解集需与定义域取交集。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是________. 2．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， (1)若，其中 （i）求，的解析式； （ii）若对于任意，都有，求实数a的取值范围. (2)若函数在上单调递增，求不等式的解集. 题型十二 ：利用单调性和奇偶性比较大小 典例12 （25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 利用奇偶性转化：利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内。 · 若 是偶函数，则 。 · 若 是奇函数，则 。 2. 利用单调性比较：再利用单调性比较函数值大小。 · 比较大小的关键是将自变量都转化到已知单调性的区间内，通常利用对称性实现转化。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上均单调递增，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D． 题型十三 ：函数性质的综合应用 典例13 （25-26高一上·江苏苏州·期中）设是定义在上的函数，对任意，均有，当时，，则当，时，______． 💡破题要诀 1. 周期性应用：若 则周期为 。 · 常见变形 或 周期为 。 2. 对称性应用：若 则关于 对称；若 则关于点 对称。 · 画图辅助将抽象问题具体化，利用图象的对称性和周期性分析。 · 注意周期性、对称性、奇偶性之间的相互转化关系。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏·期中）（多选）已知，下列说法正确的是（    ） A．的解集为 B．存在实数，使函数有三个零点 C．对任意，存在实数，使方程恒有两解且为定值 D．若，则 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（26-27高一上·全国·期中）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 6．（25-26高一上·重庆·期中）若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 7．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）下列函数中与函数是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·湖南·期中）设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 12．（26-27高一上·安徽·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27高一上·安徽·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则的值是1或 C．的值域为 D．的解集为 2．（26-27高一上·河北·期中）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 3．（26-27高一上·江西·期中）（多选）已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·四川·期中）（多选）已知函数与的图象如图所示，则（ ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．方程有2个解 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）（多选）已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 6．（25-26高一上·河北唐山·期中）（多选）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 7．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性. 8．（26-27高一上·江西·期中）函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $