第二章 常用逻辑用语 章末整合提升——体系构建·素养培优-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

该高中数学讲义以“体系构建·素养培优”为核心，通过知识框架图系统梳理充分条件、必要条件与充要条件、全称量词与存在量词等内容，按“定义理解-判断应用-综合证明”逻辑递进呈现知识脉络，突出概念间内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如充要条件证明题（证明m⁴ - n⁴=2n²+1的充要条件是m² - n²=1）培养逻辑推理素养，全称量词命题否定题（如“∀m∈R，方程x²+x - m=0无实根”的否定）提升数学语言表达能力。反思感悟总结定义法、集合法等技巧，基础生可掌握方法，优秀生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

章末整合提升——体系构建·素养培优 培优一　充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 　　若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. （1）〔多选〕下列命题中为真命题的是（　AD　） A.“x＞4”是“x＜5”的既不充分又不必要条件 B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C.“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实数根”的充要条件是“b2－4ac＞0” D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 （2）设p：实数x满足A＝{x｜x≤3a或x≥a（a＜0）}.q：实数x满足B＝{x｜－4≤x＜－2}，且q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为　{a｜a≤－4或－≤a＜0}　. 解析：（1）对于A，由于“x＞4”与“x＜5”互相不能推出，故A正确；对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；对于C，“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实数根”的充要条件是“b2－4ac≥0”，故C错误；对于D，因为b可以等于零，所以由a≠0不能推出ab≠0，故充分性不成立，由ab≠0可得a≠0且b≠0，即必要性成立，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确.故选A、D. （2）因为q是p的充分不必要条件，可得B⫋A，所以有或解得a≤－4或－≤a＜0.所以实数a的取值范围为{a｜a≤－4或－≤a＜0}. 反思感悟 充分、必要、充要条件的常用判断方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题. 提醒：判断条件p，q之间的关系时要注意条件之间关系的方向，要注意“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”的区别，同时，还要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义. 培优二　充要条件的探求或证明 　　在理解充分、必要与充要条件定义的基础上，能寻求一个命题成立的充分、必要或充要条件；掌握充要条件的证明方法. （1）〔多选〕不等式1≤｜x｜≤4成立的充分不必要条件可以为（　　） A.[－4，－1]　　　　　　　　B.[1，4] C.[－4，－1]∪[1，4] D.[－4，4] （2）已知m，n∈R，证明：m4－n4＝2n2＋1成立的充要条件是m2－n2＝1. （1）解析：AB　由不等式1≤｜x｜≤4，解得－4≤x≤－1，或1≤x≤4.∴不等式1≤｜x｜≤4成立的充分不必要条件可以为A、B.故选A、B. （2）证明：①充分性：因为m2－n2＝1，所以m2＝n2＋1， 所以m4－n4＝（m2＋n2）（m2－n2）＝m2＋n2＝n2＋1＋n2＝2n2＋1，所以m4－n4＝2n2＋1成立. ②必要性：因为m4－n4＝2n2＋1， 所以m4＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）2，所以m2＝n2＋1， 即m2－n2＝1，所以m2－n2＝1成立. 综上，m4－n4＝2n2＋1成立的充要条件是m2－n2＝1. 反思感悟 充要条件证明的两个思路 （1）直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性； （2）集合思想：记p：A＝{x｜p（x）}，q：B＝{x｜q（x）}，若A＝B，则p与q互为充要条件. 培优三　全称量词与存在量词 1.含有量词的命题进行否定时，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时条件不能改变，只对结论进行否定，还要注意更改量词. 2.判断全称量词命题与存在量词命题的真假，可利用特值（例）法进行研判，也可利用原命题与其命题的否定真假性相反进行判断. （1）〔多选〕下列命题中的真命题是（　AD　） A.∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B.任意x∈Z，x能同时被2和3整除 C.所有的自然数都是正数 D.∀x，y∈Z，（x－y）2＝x2－2xy＋y2 （2）命题“∀m∈R，方程x2＋x－m＝0没有实数根”的否定为　∃m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根　； （3）已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0.若p为假命题，则a的取值范围是[1，＋∞）. 解析：（1）A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，5不能同时被2和3整除，所以B是假命题；C中，0是自然数但不是正数，所以C是假命题.D中，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立，D为真命题.故选A、D. （2）易知原命题的否定是“∃m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根”. （3）∵p为假命题，∴􀱑p为真命题，即∀x＞0，x＋a－1≠0，∴x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.故a的取值范围是[1，＋∞）. 反思感悟 全称量词命题与存在量词命题问题的关注点 （1）对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论； （2）根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决. 　　 1.（2015·全国Ⅰ卷3题）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则􀱑p为（　　） A.∀n∈N，n2＞2n B.∃n∈N，n2≤2n C.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n 解析：C　根据存在量词命题的否定为全称量词命题，知􀱑p：∀n∈N，n2≤2n，故选C. 2.（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则（　　） A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析：B　对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题，􀱑p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题.综上，􀱑p和q都是真命题.故选B. 3.（2020·天津高考2题）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由a2＞a，解得a＞1或a＜0，据此可知a＞1是a2＞a的充分不必要条件.故选A. 4.（2014·上海高考15题）设a，b∈R，则“a＋b＞4”是“a＞2且b＞2”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　显然a＋b＞4无法推出a＞2且b＞2；若a＞2且b＞2，则a＋b＞4，因此，“a＋b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选B. 5.（湖北高考）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝⌀”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝⌀；若A∩B＝⌀，由Venn图（图略）可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁UC，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝⌀”的充要条件.故选C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $