第二章 一元二次函数、方程和不等式单元卷（提升）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26）高一下·山西朔州·期末）设 ， ，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东临沂·期末）若命题“，”是真命题，则可能等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（26-27高一·全国·课后作业）一种产品的年产量第一年为件，第二年比第一年增长，第三年比第二年增长，且，，.若年平均增长，则有. A． B． C． D． 4．（26-27高三上·山西晋中·阶段检测）已知为正实数，则的最小值为 A． B． C． D．3 5．（26-27高一·全国·课后作业）设a，b为不等的正数，且，，则有（  ） A．M=N B．M＜N C．M＞N D．M≥N 6．（26-27高三上·辽宁丹东·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期末）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C．或 D． 8．（2025·重庆·高考真题）若，且，则的最小值是. A． B．3 C．2 D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一上·江西上饶·期末）下列关于不等式的解集讨论正确的是（    ） A．当时，的解集为 B．当时，的解集为 C．当时，的解集为 D．无论a取何值时，的解集均不为空集 10．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 11．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知，若方程的两个根是，则的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（26-27高一上·重庆九龙坡·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 13．（26-27高一·全国·课后作业）若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是_______． 14．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知实数，满足且，则的最小值是______. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）（1）试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 16．（26-27高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正实数. (1)求证：. (2)若，求证：. 17．（25-26高二下·广东潮州·阶段检测）某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车．经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车x万台需投入资金万元，且，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000（单位∶元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完． （1）求m的值，并写出2021年该款摩托车的年利润Z（单位∶万元）关于年产量x（单位∶万台）的函数解析式； （2）当2021年该款摩托车的年产盘x为多少时，Z年利润最大？最大年利润是多少？ （年利润=销售所得-投入资金-设备改造费） 18．（26-27高一上·全国·课后作业）已知. (1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 19．（25-26高二下·河南三门峡·期末）观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足 ，求的最小值． 解：∵， ∴， 当且仅当，结合得，时等号成立， ∴的最小值为． 请类比以上方法，解决下面问题： (1)已知正实数x，y满足，求 的最小值； (2)已知正实数x，y满足 ，求的最小值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26）高一下·山西朔州·期末）设 ， ，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解：∵a>b，c>d;∴设a=1，b=-1，c=-2，d=-5,选项A，1-（-2）>-1-（-5），不成立;选项B，1（-2）>（-1）（-5），不成立;取选项C，，不成立,故选D 考点：不等式的性质 点评：本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题 2．（25-26高二下·山东临沂·期末）若命题“，”是真命题，则可能等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据转化为求的最小值，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由题意得， 因为当，，当且仅当时等号成立，则D选项符合题意. 故选：D. 3．（26-27高一·全国·课后作业）一种产品的年产量第一年为件，第二年比第一年增长，第三年比第二年增长，且，，.若年平均增长，则有. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用第三年的年产量列等式，变形得，然后利用基本不等式可得出与的大小关系. 【详解】该种产品第二年的年产量为，第三年的年产量为， 若年平均增长率为，则该种产品第三年的年产量为， 所以，，整理得， 由基本不等式得，， 当且仅当时，等号成立，因此，，故选B. 【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，同时考查了增长率的概念，解题的关键就是根据题意列等式，并利用基本不等式构建出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 4．（26-27高三上·山西晋中·阶段检测）已知为正实数，则的最小值为 A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】试题分析：,当且仅当时取等号，故选D. 考点：基本不等式. 【方法点晴】本题主要考查的基本不等式，属于中档题.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双勾函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型. 5．（26-27高一·全国·课后作业）设a，b为不等的正数，且，，则有（  ） A．M=N B．M＜N C．M＞N D．M≥N 【答案】C 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】由， 又a，b为不等的正数，所以M＞N. 故选：C 6．（26-27高三上·辽宁丹东·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式“1”的妙用以及基本不等式的应用逐项判断可求出结果. 【详解】对于A，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 对于B，因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，且， 所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：D. 7．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期末）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据分母恒正可将不等式转化为对恒成立，结合二次函数图象可得，解不等式求得结果. 【详解】对恒成立 原不等式等价于对恒成立 即对恒成立 ，解得： 的取值范围为 故选 【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够将根据二次函数图象得到判别式小于零. 8．（2025·重庆·高考真题）若，且，则的最小值是. A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据，将代入，即可求解. 【详解】因为， 所以． 而，且 所以，当且仅当时等号成立. 【点睛】本题主要考查了转化的思想及等式的变形，属于中档题. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一上·江西上饶·期末）下列关于不等式的解集讨论正确的是（    ） A．当时，的解集为 B．当时，的解集为 C．当时，的解集为 D．无论a取何值时，的解集均不为空集 【答案】CD 【分析】由一元二次不等式的解法逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A，当时，原不等式为，解得，故A不正确； 对于B，当时，原不等式为，解得或，故B不正确； 对于C，当时，原不等式为，解得或，故C正确； 对于D，由二次函数，开口向上，所以无论a取何值时，不等式均有解，故D正确； 故选：CD. 10．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的解集判断对应二次函数的开口判断A，再根据是方程的根，利用韦达定理可得，从而可解BC选项中的不等式，再根据1不在解集得不等式判断D. 【详解】关于x的不等式的解集为或， 所以二次函数的开口方向向上，即，故选项A正确； 因为是方程的根，所以，解得， 所以也即，解得，故选项B正确； 不等式等价于，也即， 解得或，故选项C错误； 因为或，所以，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了一元二次不等式的逆向思维，一元二次不等式的解法，理解二次函数、一元二次方程与不等式之间的关系是解题的关键. 11．（26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知，若方程的两个根是，则的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据基本不等式及韦达定理可解得结果. 【详解】由的两个实根是，，即，， ∴， 又， ∴，即，当且仅当时等号成立. ∴，可能值为C、D. 故选：CD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（26-27高一上·重庆九龙坡·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】9 【分析】由基本不等式中“1”有代换半求最小值. 【详解】∵正实数a，b满足， ∴，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：9. 13．（26-27高一·全国·课后作业）若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】当时，直接代入计算，当时，根据开口和判别式列不等式求解. 【详解】当时，不等式为，不等式无解； 当时，，解得 综合得 故答案为： 14．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知实数，满足且，则的最小值是______. 【答案】 【分析】由，化为，根据求出的取值范围，把化为只含有的式子，根据的取值范围求出的最小值． 【详解】解：由，可得， ， ， 解不等式可得，， 则， ， 当且仅当即时上式取等号， 的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意拼凑法的运用技巧，属于中档题． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）（1）试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用法作差，即可得到答案. （2）利用待定系数法可得，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】（1）因为， . （2）令. ，解得 . ， . 又， . 故的取值范围为. 16．（26-27高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正实数. (1)求证：. (2)若，求证：. 【答案】(1) 因为a，b，c都是正数，所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以； (2) ， 当且仅当时等号成立. ∴. 【分析】（1）利用基本不等式证明即可； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）略 （2）略 17．（25-26高二下·广东潮州·阶段检测）某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车．经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车x万台需投入资金万元，且，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000（单位∶元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完． （1）求m的值，并写出2021年该款摩托车的年利润Z（单位∶万元）关于年产量x（单位∶万台）的函数解析式； （2）当2021年该款摩托车的年产盘x为多少时，Z年利润最大？最大年利润是多少？ （年利润=销售所得-投入资金-设备改造费） 【答案】（1），；（2），此时. 【分析】（1）由题设中的生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元可求，利用销售额减去成本可得函数解析式； （2）根据（1）中的解析式可求年利润最大值以及何时取最大值. 【详解】（1）当时，，故. 当时，; 当时，， 故. （2）当时，， 故当时，在上的最大值为. 当时，，当且仅当时等号成立. 因为，故，此时. 答：当2021年该款摩托车的年产盘万台时，Z年利润最大且最大年利润为. 18．（26-27高一上·全国·课后作业）已知. (1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由如下： 若对任意，恒成立，则满足题意的函数的图象如图所示，    由图象可知，此时应该满足，则， 不等式组无解， 不存在实数满足：对任意，恒成立. 【分析】（1）由二次函数对应方程的可求得结果； （2）根据二次函数图象分析可构造不等式组，由不等式组无解可确定不存在满足条件的. 【详解】（1）由题意知：只有当二次函数与直角坐标系中的轴无交点时，才能满足题意； 其相应方程此时应满足，解得：， 实数的取值范围为. （2）略 19．（25-26高二下·河南三门峡·期末）观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足 ，求的最小值． 解：∵， ∴， 当且仅当，结合得，时等号成立， ∴的最小值为． 请类比以上方法，解决下面问题： (1)已知正实数x，y满足，求 的最小值； (2)已知正实数x，y满足 ，求的最小值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）类比已知解题方法，将变为，展开后结合基本不等式，即可求得答案; （2）将化为，将变形为，类比所给解题方法，结合基本不等式，求得答案. 【详解】（1）由正实数x，y满足得: ， 当且仅当，结合得，时等号成立， ∴的最小值为9． （2）正实数x，y满足,得， 故， ∴ ， 当且仅当，结合得，时等号成立， ∴的最小值为． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $