第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元自测·提升卷）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学第二章“一元二次函数、方程和不等式”单元提升卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖不等式性质、函数最值、命题真假等核心知识，适配单元复习，强化运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|不等式性质（1题）、命题真假（2题）、解集（3题）、比较大小（6题）|单选基础巩固，多选（9-11题）综合考查分类讨论，如含参不等式解集判断| |填空题|3题/15分|最值（12题）、整数解（13题）、函数图像与几何（14题）|结合等边三角形（14题）体现几何直观，强化数学眼光| |解答题|5题/77分|函数最值（15题）、代数式比较（16题）、恒成立问题（17、19题）|18题逆向应用解集求参数，15题结合基本不等式，突出数学思维与应用意识，贴合高考命题趋势|

第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 3．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 6．已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 8．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 10．（多选）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 11．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，且x，y都是正数，则的最大值是_______． 13．若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 14．1、已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 16．（15分）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 17．（15分）设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 18．（17分）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 19．（17分）已知. (1)求的最小值 ， (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 3 5 6 A B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AB AD AC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.400 1.2≤1<3或3≤1<-214.6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解折14由3所以x-320所以2x+2-与6 222x-305g+6-8+6=14 当且仅当26x-3)=8 =x-3即x=5时，函数取到最小值14. 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2=x+2y22V2y (2)()因为正数x,y,由基本不等式得 解得y≤2（当且仅当x=2y=1时取等号）， 所以y的最大值2： *2-4 xy厂2xy1 4y x 当且仅当x=y时，即x=2y=1取等号， 2,1 故xy的最小值为4. 16.(15分) 【解析】(1)-6<a<8,2<b<3, .-12<2a<16. .-10<2a+b<19: (2):2r+5x+9-(x+5x+6)=2+3>0 x2+5x+6<2x2+5x+9 17.(15分) 【解析】(1)若命题：x∈Ry>0是真命题，则3x∈R,不等式-mx2+mx-1>0成立， 当m=0时，-1>0，显然不成立： 时，函数'=-mr'+m- 当m* 为二次函数， 2/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若-m>0即m<0,则抛物线开口向上，显然符合题意： 若-m<0即m>0,需使△=m2-4m>0,解得m>4, 综上，m<0或m>4. 故命题：3x∈Ry>0是假命题时，0≤m≤4： (2)存在0<x<4,使得r+mr-1≥（←m+)2+3 成立， 即对于x∈(04使-m+4≤0有解。 即m≥4=x+在x04到上能成立，所以m≥6+克， 4 4 ,x+-≥2，x×-=4 4 因为xVx 4,当且仅当=x即x=2时等号成立， 所以m≥4. 18.(17分) 【解析】(1)原不等式可化为：t-10x+25=(x-5}<0 故该不等式的解集为☑； (2)不等式+hx+c>0的解集为d-2<x< y=ax+bx+c 这说明抛物线 开口向下， 同时，-2和1是方程c+br+c=0的两个实数根， 3/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a<0 -2+1=-b-1=-b→b-1h=0 利用韦达定理得： aa -2x1=9→-2=9→c=-2a 0 a 代入要求解的不等式cx2+ax+b≥0中， 得：-2a2+a+a≥0， 因为a<0, 所以2x2-x-1≥0， 或x21 解得：x≤2 故不等式cx2+ax+b≥0的解集为 19.(17分) 【解折】4)a+b=(a+b2+分=5++0≥5+4=9 a b a b b Aa 当且仅当a=6,即a=3:b=6时取等号· 因此可得：a+b的最小值为9. (2)若不等式m-2-b≤a 恒成立，即m-2sa+b 恒成立，只需满是：m-2s(a+b)m 根据(1)的计算结果可知：a+b的最小值为9. 即得：m-2s9 即：-9≤m-2≤9，解得：-7≤m≤11. 415 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故m的取值范围为 -7,1] 5/5 第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 2．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 3．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得：或， 又因为，所以不等式组的解集为. 4．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 5．下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 【答案】D 【详解】对A，因为，即，即，故A错误； 对B，当时，此时，故B错误； 对C，若，则，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对D，因为， 又因为，故成立，故D正确. 故选：D. 6．已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 7．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 8．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 10．（多选）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 11．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【详解】对于选项，，因为，所以， 当或时，，则，即， 当时，，，则，选项正确 对于B选项，当为正数，为负数时不成立，选项错误； 对于选项，若，，则，所以，选项正确； 对于D选项，若，，当时，，选项错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，且x，y都是正数，则的最大值是_______． 【答案】 【详解】由x，y都是正数， 则，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是． 13．若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 【答案】或 【详解】由，得； 当时，所有的整数解为，所以； 当时，所有的整数解为，所以； 综上，的取值范围是或. 14．1、已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 【答案】 【详解】设，令，则， 所以等边三角形的边长； 又，所以，所以等边三角形的高为； 由等边三角形性质，得，即，解得，或，又，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 16．（15分）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 17．（15分）设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则抛物线开口向上，显然符合题意； 若即，需使，解得， 综上，或. 故命题：是假命题时，； （2）存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 18．（17分）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】(1) ；(2) 【详解】（1）原不等式可化为：， 故该不等式的解集为； （2）不等式的解集为 ， 这说明抛物线开口向下， 同时，和是方程的两个实数根， 利用韦达定理得：， 代入要求解的不等式中， 得：， 因为， 所以， 解得： 故不等式的解集为 . 19．（17分）已知. (1)求的最小值 ， (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)9 (2) 【详解】（1）， 当且仅当，即，时取等号. 因此可得：的最小值为. （2）若不等式恒成立，即恒成立，只需满足：， 根据（1）的计算结果可知：的最小值为. 即得：，即：，解得：. 故的取值范围为 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $