第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

不等式单元测试（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求出分式不等式的解集即可. 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以该不等式的解集为. 2．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 3．已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 4．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 5．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意有，当且仅当，即时取等号，所以，结合以及两个不等式等号成立的条件可求出的值，从而可求得答案 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号 ，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，其中第一个不等式等号成立的条件为， 第二个不等式等号成立的条件为，所以当，时，取最小值，此时 故选：A 二、多选题 6．已知实数，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，因为，所以. 选项B，若，，满足，但不满足. 选项C，因为，所以，则，所以. 选项D，若，，不满足. 7．已知正数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最小值是4 B．的最小值是1 C．的最小值是1 D．的最大值是 【答案】AD 【分析】利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】由题知，，. 对于选项A，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是，故B错误； 对于C，由，得，即， 所以， 所以当时，取得最小值是，故C错误； 对于D，由C知，，， 所以， 所以当时，取得最大值是，故D正确. 8．已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 10．解不等式________. 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法以及一元二次不等式求解方法解不等式即可. 【详解】要使分式有意义，需满足分母不为0，即， 对任意，恒有，当且仅当时等号成立， 所以不等式的解等价于， 即，解得：或， 所以不等式的解集为：. 11．当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 四、解答题 12．已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式求解积的最大值； （2）结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，再利用基本不等式求和的最小值； （3）先对所求式进行化简，再结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【详解】（1）， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为1． （2），， ，，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． （3）， ， ， ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． 13．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数（）． (1)若的解集为，解关于x的不等式； (2)若对任意的恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解集和韦达定理可得a，b，c的关系，及，代入目标不等式化简可解； （2）根据不等式恒成立可得和，利用判别式所得关系放缩目标式，然后换元，分离常数后，利用基本不等式可得. 【详解】（1）因为的解集为， 所以，，，得，（）， 所以等价于， 又，所以，解得， 即关于x的不等式的解集为． （2）因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以，， 所以， 所以，时等号成立． 令，又， 所以，即，所以， 所以， 令（），当时，； 当时，，当且仅当时，等号成立． 所以的最大值为． 14．（2022秋·辽宁大连·高三大连八中校考期中）命题，使成立．是否存在实数a，使命题p为真命题？如果存在，求出实数a的取值范围，如果不存在，请说明理由． 【答案】存在，实数a的取值范围 【分析】构造函数，，由已知条件将问题转换为，利用基本不等式求，分类讨论求，构造不等式即可得求出实数a的取值范围. 【详解】存在实数a，使得命题p为真命题，理由如下： 命题，使成立， 令，， 则问题转化为， 当且仅当，即时等号成立，故 ，对称轴为，开口向上 （1）当，即时，函数在上单调递增， ，解得：，此时无解； （2）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得：，即 （3）当，即时，函数在上单调递减， ，解得：，此时； 综上可知，实数a的取值范围为： 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若,，总有成立，故； （2）若,，有成立，故； （3）若,，有成立，故； （4）若,，有，则的值域是值域的子集 ． 试卷第6页（共9页） 试卷第7页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $ · 不等式单元测试 · 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 4．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B．4 C． D．8 二、多选题 6．已知实数，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．已知正数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最小值是4 B．的最小值是1 C．的最小值是1 D．的最大值是 8．已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题 9．已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 10．当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 11不等式的解集为 . 四、解答题 12．已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 13．已知函数（）． (1)若的解集为，解关于x的不等式； (2)若对任意的恒成立，求的最大值． 14．命题，使成立．是否存在实数a，使命题p为真命题？如果存在，求出实数a的取值范围，如果不存在，请说明理由． 试卷第2页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $