精品解析：广东汕头市潮阳实验学校2026-2027学年第一学期第一次月考高三数学试卷

汕头市潮阳实验学校2026～2027学年度第一学期第一次月考 高三 数学试卷 一、单选题 1. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 2. 已知两个单位向量，的夹角为30°，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 棱台上、下底面均为有一个内角为的菱形，上、下底面边长分别为和，体积为，则该棱台的高为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如 果直线AF的斜率为,那么|PF|= A. B. 8 C. D. 16 7. 设函数，若将的图象沿x轴的负方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于x轴对称，则满足条件的的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 五名男生和五名女生排成一列，从左边第一个位置开始至右算到任何一个位置，男生的人数不比女生的人数少，且所有男生之间的顺序一定，这种排队方式共有（ ）种． A. 30240 B. 25200 C. 5040 D. 2520 二、多选题 9. 已知为虚数单位，复数，则下列说法不正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数 C. D. 10. 已知、是正数，且，下列叙述正确的有（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 是的极大值点 C. 当且仅当 D. 关于x的方程的解有6个 三、填空题 12. 双曲线的离心率为__________． 13. 数列满足，，则_______． 14. 现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是______. 四、解答题 15. 已知数列是等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，CD，BE是圆柱的两条母线． （1）求证：平面平面BCDE； （2）若，圆柱的母线长为，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值． 17. 随着消费者对环保、低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市场需求也在不断增加.新能源汽车主要有混合动力汽车、纯电动汽车、燃料电池汽车等类型.某汽车企业生产的型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达台，其中有台混合动力汽车，台纯电动汽车. （1）若从中随机抽检台汽车，用表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求的分布列及数学期望； （2）若从每日生产的台型汽车中随机地抽取台样本，用表示样本中混合动力汽车台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误差不超过的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠. 二项分布概率值 超几何分布概率值 0 0.05631 0.04929 1 0.18771 0.18254 2 0.28157 0.29051 3 0.25028 0.26134 4 0.14600 0.14701 5 0.05840 0.05396 6 0.01622 0.01307 7 0.00309 0.00206 8 0.00039 0.00020 9 0.00003 0.00001 10 0.00000 0.00000 总计 1.00000 1.00000 参考数据：（概率值精确到） 18. 已知椭圆C：的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若P为椭圆在第一象限上一点，的面积是的面积的倍，求P的坐标； （3）已知斜率为的直线在轴上的截距为，l与椭圆交于两点，是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 19. 已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程，并证明：； （2）是否存在，使得在上恒成立，并说明理由； （3）当时，探究函数的零点个数． （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕头市潮阳实验学校2026～2027学年度第一学期第一次月考 高三 数学试卷 一、单选题 1. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果. 【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍， 所以所求数据方差为 故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知两个单位向量，的夹角为30°，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直时数量积为列方程求解即可. 【详解】由单位向量，的夹角为，则， 由，可得， 即，可得，解得， 故选：B． 3. 棱台上、下底面均为有一个内角为的菱形，上、下底面边长分别为和，体积为，则该棱台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用台体体积公式直接求解即可. 【详解】上底面面积为，下底面面积为， 由， 得到，即，则 4. 已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由图象平移的对称性推出是奇函数，再推导得到函数周期为，最后将转化为已知区间的函数值计算即可。 【详解】因为的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称， 即函数为奇函数，所以，因为对，都有成立， 所以，所以， 所以函数的周期为，因为当时，， 所以. 5. 已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，由题意可得，解不等式即可得实数的取值范围. 【详解】由可得， 则即， 所以圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因为圆上有且只有两个点到直线的距离等于， 所以，即，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 6. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如 果直线AF的斜率为,那么|PF|= A. B. 8 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】设A（-2，t），∴，∴∴8 7. 设函数，若将的图象沿x轴的负方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于x轴对称，则满足条件的的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移关系及对称关系有对任意恒成立，从而得到，结合，确定参数值个数. 【详解】将的图象沿轴负方向平移个单位长度， 相当于把换为，所得函数为， 所得图象与关于轴对称，因此对任意恒成立， 所以，需有，化简得，即， 由，可得，即， 整数可取，共个，对应， 因此满足条件的的个数为. 8. 五名男生和五名女生排成一列，从左边第一个位置开始至右算到任何一个位置，男生的人数不比女生的人数少，且所有男生之间的顺序一定，这种排队方式共有（ ）种． A. 30240 B. 25200 C. 5040 D. 2520 【答案】C 【解析】 【分析】先不考虑男生顺序固定的条件，求解满足“任意前缀中男生人数不少于女生人数”的10人排队序列数(两类元素排列的前缀限制问题，可以用卡特兰数公式计算对应序列的结构数量)；男生顺序固定，所以在得到符合前缀条件的序列结构后，男生位置不需要再排列，仅需对女生位置进行全排列. 【详解】先只考虑5个男生位置和5个女生位置的安排，共有种性别排列． 对于不符合要求的排列，从左到右找出女生人数首次比男生人数多的位置， 将从第一个位置起到此位置的男、女位置互换，可得到含6个男生位置、4个女生位置的辅助排列． 反过来，对任一这样的辅助排列，取男生人数首次比女生人数多的位置， 将此前的男、女位置互换，可唯一恢复原来的不合要求的排列． 因此，不符合要求的性别排列数为， 符合要求的性别排列数为． 对于每一种符合要求的性别排列，5名男生的相对顺序已确定，只有1种安排； 5名女生可以任意排列，共有种安排． 所以符合题意的排队方式共有种． 二、多选题 9. 已知为虚数单位，复数，则下列说法不正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数虚部的定义即可判断A；根据共轭复数的定义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据复数的乘法运算即可判断D. 【详解】复数的虚部为，故A错误； 的共轭复数，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABD. 10. 已知、是正数，且，下列叙述正确的有（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故最大值为，A对； 对于B选项，由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，则为，B对； 对于C选项，因为， 解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，C错； 对于D选项，因为， 当且仅当且即时取等号， 此时最小值为，所以D对． 故选：ABD. 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 是的极大值点 C. 当且仅当 D. 关于x的方程的解有6个 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，利用奇函数定义，将转化为代入已知的的解析式，推导得到时的表达式，和选项给出的式子对比判断；对B，先对时的求导得到区间的极值点，再利用奇函数关于原点对称的性质推出处的极值性质，据此判断；对C，由判断；对D，先求出的所有实根，令后对每个分析方程对应的实根的个数，求和得到总解数后和选项对比判断. 【详解】对于A：已知是上的奇函数，当时，，得：， 由奇函数性质，得：，A正确； 对于B：时，，求导得：， 由得，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 对于C：当时，等价于，解得​；但当时，， 满足，但，不符合"当且仅当​"，C错误； 对于D：因为是定义在上的奇函数，所以，是一个零点； 当时，，求导得， 可知在单调递减，在单调递增，因此时的最小值为； 又时，时，因此在有且只有1个零点， 设其为，结合选项可知； 由奇函数性质可知，时，必存在零点， 即共有3个零点：，，， 故等价于或或， 时，，小于的最大值，共3个解； 时，因为，大于的最小值，共3个解； 时共3个解； 综上，的解共有个，D错误. 三、填空题 12. 双曲线的离心率为__________． 【答案】或 【解析】 【详解】当时，由，得，则，，得； 当时，由，得，则，，得； 综上，双曲线的离心率为或. 13. 数列满足，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】推导出数列中的奇数项成以为首项，以为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式可求得的值. 【详解】因为，则， 上述两式作差可得， 所以，数列中的奇数项成以为首项，以为公差的等差数列， 因此，. 故答案为：. 14. 现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是______. 【答案】## 【解析】 【分析】先设“取出第个袋子”为事件，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件，由全概率公式得，结合条件可得，进而可判断个袋子中的红球及白球数，再由条件概率公式可得结果. 【详解】设“取出第个袋子”为事件， “从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件， 则，且两两互斥，，， 对于第个袋子，白球数为，从第个袋子中连续取出三个球（每个球取后不放回）， 因此第三次取出的球为白球. 所以，由全概率公式， . 令，解得. 所以第个袋子：个红球个白球；第个袋子：个红球个白球； 第个袋子：个红球个白球；第个袋子：个红球个白球； 第个袋子：个红球. 设前两次取出白球为事件，第三次取出白球为事件，则. 又因为. . 所以. 故在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是. 四、解答题 15. 已知数列是等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据通项公式列方程求解； （2）采用分组求和方法即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d． 由题意得，解得， 所以． 数列的通项公式为． 【小问2详解】 由题意可得： 所以数列的前n项和为. 16. 如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，CD，BE是圆柱的两条母线． （1）求证：平面平面BCDE； （2）若，圆柱的母线长为，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为AB是底面圆的一条直径，是下底面圆周上异于A，B的动点， 所以， 又因为CD是圆柱的一条母线，所以底面ABC， 而底面ABC，所以， 因为平面平面BCDE，且， 所以平面BCDE， 又因为平面ACD，所以平面平面BCDE． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可； （2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点A作圆柱的母线AM，连接DM，EM． 因为底面底面DME，所以即求平面ADE与平面DME的夹角． 因为M，E在底面ABC的射影为A，B，且AB为下底面圆的直径， 所以EM为上底面圆的直径， 因为AM是圆柱的母线，所以平面DME， 因为DE平面DME，所以． 又因为EM为上底面圆的直径，所以， 因为平面，所以平面AMD， 因为平面AMD，所以，又因为平面平面， 所以为平面ADE与平面DME的夹角， 又因为在底面ABC的射影为，所以， 所以，又因为母线长为，所以， 又因为平面平面DME，所以， 所以， 所以， 即平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为． 17. 随着消费者对环保、低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市场需求也在不断增加.新能源汽车主要有混合动力汽车、纯电动汽车、燃料电池汽车等类型.某汽车企业生产的型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达台，其中有台混合动力汽车，台纯电动汽车. （1）若从中随机抽检台汽车，用表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求的分布列及数学期望； （2）若从每日生产的台型汽车中随机地抽取台样本，用表示样本中混合动力汽车台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误差不超过的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠. 二项分布概率值 超几何分布概率值 0 0.05631 0.04929 1 0.18771 0.18254 2 0.28157 0.29051 3 0.25028 0.26134 4 0.14600 0.14701 5 0.05840 0.05396 6 0.01622 0.01307 7 0.00309 0.00206 8 0.00039 0.00020 9 0.00003 0.00001 10 0.00000 0.00000 总计 1.00000 1.00000 参考数据：（概率值精确到） 【答案】（1） 对于有放回抽检，分布列如下： 0 1 2 期望； 对于不放回抽检，分布列如下： 0 1 2 . （2） 在相同的误差限制下，采用不放回抽取估计的结果更可靠. 【解析】 【分析】（1）有放回抽样，随机变量服从二项分布，根据二项分布列和数学期望求解；无放回抽样，随机变量服从超几何分布，根据组合数公式，写出概率、列分布列，再求出数学期望. （2）由条件可知，是一个随机变量，分有放回抽样和无放回抽样求出比较大小即可. 【小问1详解】 对于有放回抽检， 每次抽到混合动力汽车的概率为，且各次抽检结果是独立的， 设为有放回抽检的混合动力汽车的台数，则可取0，1，2， ；；. 的分布列如下： 0 1 2 则； 对于不放回抽检，各次抽检的结果不独立， 设为不放回抽检的混合动力汽车的台数，则服从超几何分布， 可取0，1，2， ；；. 的分布列如下： 0 1 2 则. 注：也可按照下面步骤作答. 的分布列为. 的分布列为. 【小问2详解】 样本中混合动力汽车的比例是一个随机变量，根据参考数据， 有放回抽取： 不放回抽取： 因为， 所以，在相同的误差限制下，采用不放回抽取估计的结果更可靠. 18. 已知椭圆C：的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若P为椭圆在第一象限上一点，的面积是的面积的倍，求P的坐标； （3）已知斜率为的直线在轴上的截距为，l与椭圆交于两点，是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用离心率和联立方程组即可求得，得出结果； （2）设,根据面积关系可得，代入椭圆方程即可得； （3）设直线,, 联立方程并利用韦达定理得出满足即可，解不等式可得答案. 【小问1详解】 由题意知,,即，且 又，解得; 即椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设, 则 因，可得， 代入椭圆方程得， 因P为椭圆在第一象限，则. 【小问3详解】 设直线,，如下图： 联立方程，整理可得， 因此, 因为，可得 易知若使得恒成立，即 因为则， 可得，即 所以 所以 19. 已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程，并证明：； （2）是否存在，使得在上恒成立，并说明理由； （3）当时，探究函数的零点个数． （参考数据：） 【答案】（1） 证明： ， 令， 则， 在上单调递增，且， 在上单调递减，在上单调递增， 为的极小值点，也是最小值点， ，即， 又，（取等条件不一致） （2）存在使在上恒成立．理由如下： 由在上恒成立，， ， 由得：， 设， 由得：，， ，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增 为的极小值点，也是最小值点， 令，，， ，记， ，单调递减 又， 时，，即，， 即时，恒成立， 使在上恒成立 （3）2个零点． 【解析】 【分析】（1）求导得切线斜率，写出切线方程，构造函数，令，求导，分析函数单调性，进行证明； （2）构造，求导找到最小值点，换元研究最小值，证存在使得最小值； （3）时，两端趋向正无穷，得到函数零点. 【小问1详解】 当时，， ， 在处的切线方程为：，即 证明略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时．由（2）知， 在上单调递减． ， ，， 当时，，，，使，即， 当时，，，使，即 ∴当时，有2个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $