突破03 有理数的运算（含巧算、规律计算）（期中训练）2026-2027学年人教版数学七年级上册

突破03 有理数的运算（含巧算、规律计算） 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 有理数混合运算 题型02 有理数简便运算 题型03 拆项法（重点） 题型04 倒数法 题型05 绝对值方程 题型06 含乘方的有理数计算 题型07 裂项相消法（常考点） 题型08 数字规律 题型09 等式规律（难点） 题型10 表格规律（重点） 题型11 图形规律 题型12 数阵规律 题型13 新定义运算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 有理数综合运算 3.有理数加减混合运算的方法 ①将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和形式. ②运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简 4.省略和式中的加号和括号 进行有理数的加减混合运算时，利用减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算同一成加法运算，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如可以写成 5.数轴上两点之间的距离：数轴上，点，分别表示数，，则，两点之间的距离为线段的长度， 【针对训练】 【典例】计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）先利用负数指数幂的运算法则化简，再进行计算即可得到答案； （2）先利用乘法分配律，再利用整式加减法运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练】阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算． （1）分析三种方法的解答过程可得答案； （2）根据解答过程可得答案； （3）类比解法③的方法求解即可． 【详解】（1）解：以上三种不同的解法中，没有除法分配律，故解法①是错误的；解法②和③解答过程正确； 故答案为：①； （2）解：解法②和③解答过程正确，解法③比较简便， 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 典例精析 题型一 有理数混合运算 【典例1】计算∶ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)15 (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）根据有理数的除法及加减法可进行求解； （3）先算乘方，后算乘除，再算加减即可求解； （4）先算乘方，然后再根据有理数的运算进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型二 有理数简便运算 【典例2】用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数加减运算和加法运算律即可求解； （）先把除法转化为乘法，然后根据有理数乘法分配律即可求解； （）根据有理数乘法运算律即可求解； （）利用加法分配律逆运算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，有理数的运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型三 拆项法 【典例3】阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题干给定的方法，利用拆项法进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型四 倒数法 【典例4】阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的； (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】(1)解法一错误 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算与有理数的乘法运算律，解题关键是牢记运算法则． （1）根据运算律运用错误直接判定即可； （2）根据题干中的两种运算方法，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）解：解法一：原式的倒数为： ， 所以原式； 解法二： ． 题型五 绝对值方程 【典例5】解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，根据正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：当时，， 不成立； 当时，， 解得； 当时，， 不成立； 综上，． 题型六 含乘方的有理数计算 【典例6】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法即可，有括号的先计算括号里面． 【详解】 解：原式 题型七 裂项相消法 【典例7】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式：______________________； (2)利用规律计算：的值； (3)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可； （2）根据（1）中的等式相加，计算即可得到答案； （3）根据（2）的方法，计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ． （3）解： ． 题型八 进制规律计算 【典例8】综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 【答案】(1)18 (2) (3)转换为四进制数为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为二进制的方法列式计算即可； （3）根据十进制转换为四进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数， 故答案为：； （2）解：十进制数25转换为二进制数， ， 故答案为：； （3）解：，即， ， 79转换为四进制数为； 题型九 等式规律 【典例9】阅读材料，求值：． 解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值； （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 本题考查了乘方计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即； （2）解：设， 将等式两边同时乘以3得： 将下式减去上式得 即． 题型十 表格规律 【典例10】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3 (2)6，5，4 (3)；或 【分析】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或． 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，, 故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，， 故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 故答案为：；或． 题型十一 图形规律 【典例11】我们定义一种新运算，规定：图表示，图形 表示，则 +的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查有理数加减混合运算，新定义，理解新定义是解题的关键． 根据新的定义列出算式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：7． 题型十二 数阵规律 【典例12】定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 题型十三 新定义运算 【典例13】对于有理数、两个数．若定义． 例如，，则．回答下面问题： (1)的运算结果为___________． (2)设，，，，则的值为___________． (3)若在这些数中，任意选取两个数进行“”运算，则所有运算结果中最大的值是___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了定义新运算、有理数加减的混合运算、绝对值、有理数的大小比较，理解新定义是解题的关键． （1）利用新定义计算即可； （2）根据新定义可得，再比较有理数的大小即可得出答案； （3）由题意得，这些数中最大的两个数分别为和，且，根据新定义分析可得，当选取的两个数其中一个小于时，则这两个数进行“”运算的值一定小于，据此即可解答． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴的值为； 故答案为：； （3）解：由题意得，这些数中最大的两个数分别为和，且， 当选取的两个数其中一个小于时，则这两个数进行“”运算的值一定小于， ∴所有运算结果中最大的值是． 1．下列各组数中，相等的一组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】解：A选项：，，两数相等； B选项：，，两数不相等； C选项：，，两数不相等； D选项：，，两数不相等． 2．把写成省略加号和括号的形式后的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．若的运算结果为负数，则内的数字可以为（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】由被除数与商的符号确定除数的符号范围，结合除数不为0的条件快速筛选选项． 【详解】解：∵ 被除数为，的运算结果为负数， ∴ 内的数为正数，且不为0． ∵ A、B选项中的数为负数， ∴ 不符合要求.∵ 0不能作除数， ∴ C选项不符合要求， ∵ D选项中的1为正数， ∴ 符合要求． 4．数的近似数为，那么数的真实值的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四舍五入的法则解答即可． 【详解】解：近似数精确到百分位， ∵ 当千分位数字时，向百分位进1可得到， ∴ 的最小值为， ∵ 当千分位数字时，舍去千分位及后续数位可得到， ∴ ， ∴  ． 5．我们可用数轴直观研究有理数及其运算．如图，将物体从点向左平移5个单位到点，可以表示这一变化过程的算式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定起点表示的数，根据数轴上点向左平移用减法列式即可． 【详解】解：由数轴可知点表示的数为2， ∵将物体从点向左平移5个单位到点B， ∴表示这一变化过程的算式为2−5． 6．定义关于任意正整数m，n的一种新运算：．若规定，则（     ） A．32 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据新运算规则可得，据此求出，再根据计算即可． 【详解】解：∵对任意正整数，，且， ∴， ∴． 7．现规定一种新的运算：，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 8．若，则_____． 【答案】1 【分析】利用平方以及绝对值的非负性，可得，的值，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 9．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则输出的结果是________． 【答案】 【分析】根据程序流程图可知，运算规则为，若计算结果小于则输出，否则将结果作为新的重新代入计算． 【详解】解：当时，， ， 不满足输出条件，需将重新输入 当 时，， ， 满足输出条件， 所以最后输出的结果是． 10．对于任意有理数a，b，c，d，定义运算：，请根据运算规则，计算的值． 【答案】 【详解】解：因为， 所以． 11．一列数，其中，则（     ） A． 1 B． C．2026 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图表示的是，根据这种表示法，可推算出图所表示的算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据红正黑负的定义，统计图 2 中算筹数量即可. 【详解】解：由题意可知，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图 2 中红色算筹有3根，表示，黑色算筹有6根，表示， 图 2 表示的算式是. 13．如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点可能是（     ） A．M或N B．N或P C．M或R D．P或R 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的乘法与加法运算的含义，分四种情况讨论即可． 【详解】解：当原点在点时， ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， 当时，， ∴不符合题意，舍去； 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴, ∴， ∴符合题意， 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上所述，此原点应是在或点． 14．规定是一种特殊运算符号，且，…，则的值为（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新运算的定义，将分子分母转化为连乘形式，约分后计算结果． 【详解】解：由题意得，， ． ． 15．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有，，三个点，其中到的距离为3，到的距离为8，记，，所对应的数的和为m，原点到的距离为2，则m的值为_________． 【答案】 或 【分析】根据数轴上点的排列顺序及两点间距离，由原点到点的距离为2，确定点表示的数为2或，分两种情况计算的值； 【详解】解：由题意可知，点，，从左到右依次排列， ∵原点到的距离为2， ∴点表示的数为或， ∵到的距离为3，到的距离为8， ∴当点表示的数为时，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点表示的数为时，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 综上所述，的值为或． 16．数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则，，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空：__________； （2）若，，则__________． 【答案】 2 0 【分析】根据新定义等价于，结合有理数乘方运算求出对应值即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； (2)∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即. 17．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． (1)若折叠纸面，表示的点与表示3的点重合，则表示15的点与表示__________的点重合； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合（A在B的左侧，且折点与（1）折点相同），求点A和点B表示的数； (3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点是点，并且，求点C表示的数． 【答案】(1) (2)A点表示，B点表示1014； (3)或 【分析】（1）求出折叠中心，根据折叠中心到两个点的距离相等，进行求解即可； （2）根据折叠中心到两个点的距离相等，以及两点间的距离公式进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，折叠中心表示的数为， ， 故表示15的点与表示的点重合； （2）解：由（1）知，折叠中心表示的数为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合，A在B的左侧， ∴点表示的数为；点表示的数为； （3）解：∵，点A、B表示的数分别是、10， ∴点表示的数为或， ∴点表示的数为或. 18．将算式中的若干个“”修改成为“”后，算式的计算结果为，则不同的修改方式有（     ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据修改前后的结果差求出被修改符号的数的和，再分类枚举符合条件的组合． 【详解】解：∵ ， ∴ 修改前后的结果差为， ∵ 每把一个数前的“”改为“”，结果增加该数的倍， ∴ 所有被修改的数的和为， 需从到中选取若干个不同的正整数，和为，分类如下： 单个数字：，共种； 两个数字：，，，共种； 三个数字：，，共种； 四个及以上不同正整数的最小和为，无符合条件的组合， 总共有种． 19．幻圆是幻方的一种变形，如图是一个最简单的2阶幻圆的模型，现将，，，，0，1，2，4．这8个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（　　） A．2或 B．2或 C．1或 D．1或 【答案】A 【分析】根据所给条件推出，的可能取值即可求解． 【详解】解：如图，设外圆空圈里的数为，里圆空圈里的数为， ， 由于每个数恰好属于两组（例如上外圈同时属于外圈和竖线），所以四个组的总和为：， ∴每组的和为：， ∴根据竖线：， ∴根据内圈：， ∴根据外圈：， ，或， 当时：， 当时：， 的值为2或． 20．已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值的几何意义求出两个绝对值和的最小值，结合乘积为确定的取值范围，进而求得的最小值． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上点到1和4的距离之和． 当时，距离和取得最小值，即， 同理，表示数轴上数对应的点到5和的距离之和． 当时，距离和取得最小值，即， ，且， ，． ，． 当，时，的最小值为． 21．如图，某点从数轴上的点出发，第次向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，以此类推，经过次移动后该点到原点的距离为个单位长度，则符合条件的的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据移动规律可知当为偶数时，所在点表示的数为，据此即可解答． 【详解】解：第次向右移动个单位长度至点，点表示的数为， 第次从点向左移动个单位长度至点，点表示的数为， 第次从点向右移动个单位长度至点，点表示的数为， 第次从点向左移动个单位长度至点，点表示的数为， 由此可知当为偶数时，所在点表示的数为， 此时第次移动后所在点表示的数为，到原点的距离相等， ， 解得， ， 符合条件的的和为． 22．对于一个各个数位上的数字互不相同的四位正整数（，，，是正整数，且，，，），如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且满足，则称这个四位数为“绝对平衡数”，则最小的“绝对平衡数”是________；将“绝对平衡数”的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位数，若且存在正整数，使得，则满足条件的“绝对平衡数”的最大值与最小值之差是________． 【答案】 【分析】要找最小的“绝对平衡数”，从最小千位开始，再让百位尽可能小，求出十位、个位数字，验证条件即可； 由得，设，，可知只能为1，2，3，化简，由得到，可知，列出所有可能性，找出最大值和最小值，相减即可． 【详解】解：要使四位正整数最小，千位最小取，再让百位尽可能小，取； 根据条件，得，代入： ， 即， 解得：或（舍去） ∴， 因此最小的“绝对平衡数”是； 由得， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴只能为1，2，3， ，交换后， 则：， ∵，， ∴， ∵， ∴ 由得， 即， 根据只能为1，2，3且列出所有可能性， u v 满足 满足 满足 满足 1 满足 2 满足 由可知只有符合要求， 则， 要是四个数都在1至9内，b可为， 对应的数为， 这些数中最大的是，最小的是， ∴满足条件的“绝对平衡数”的最大值与最小值之差是． 23．某智能巡检机器人沿一条笔直轨道（将轨道画成如图所示的数轴）执行巡检任务，机器人从点出发，第1次向右移动1个单位长度，第2次向左移动2个单位长度，第3次向右移动3个单位长度，第4次向左移动4个单位长度．依此移动，机器人每秒移动2个单位长度．轨道上有一处故障点，点在点的左侧，且与点的距离为4个单位长度，则机器人在出发后_______秒能第一次到达故障点． 【答案】18 【分析】先确定故障点A对应的数轴数值为，解题目标是找到机器人第一次到达数值时的总移动路程，再根据速度计算时间．明确机器人移动的规律：奇数次移动向右，对应位移为正，偶数次移动向左，对应位移为负，第n次移动的距离是n个单位长度．先逐次计算每次移动后机器人所在的位置，找到第一次位置为时对应的移动次数，再计算这些次移动的总路程．因为速度为每秒2个单位长度，所以用总路程除以速度即可得到所需时间． 【详解】解：故障点A在数轴上对应的数是，我们按移动顺序逐步分析机器人的位置： 第1次：从0向右移1个单位，到达位置1，累计移动总路程为1； 第2次：从1向左移2个单位，到达位置，累计移动总路程为； 第3次：从向右移3个单位，到达位置2，累计移动总路程为； 第4次：从2开始向左移动4个单位，到达位置，累计移动总路程为； ……， 第n次：当n为奇数时，到达位置为，当n为偶数时，到达位置为， ∵目标位置是， ∴， 解得， 此时机器人累计需要移动的总路程为：， 已知机器人每秒移动2个单位长度， 因此总时间为 秒，就是第一次到达故障点的时间． 24．数轴上点，分别表示有理数，，这两点之间的距离记为，即．例如：和两点之间的距离为．求的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，原式表示数轴上点到点，，，的距离之和，奇数个点时距离和在中间点处取得最小值，计算中间点处的距离和即可得到结果． 【详解】解：的几何意义是数轴上一点到个点，，，，的距离之和， 一共有个点，为奇数个， 当取最中间的点时，距离之和最小， 最中间的点是第个点，即， 将代入原式得： 原式 ． 25．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C在数轴上所表示的数分别是a，b，c． (1)若点A所表示的数是，则点C所表示的数是______． (2)若点A，B所表示的数互为相反数，求c的值． (3)的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点之间的距离，那么的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数1的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上表示数a的点与表示数的点之间的距离． ①若，求b的值． ②若数轴上，表示数x的点P在点A和点B之间；且，．求a，b，c的值． 【答案】(1)7 (2)5 (3)①的值为6或14；② 【分析】（1）由题意在刻度尺上的距离等于在数轴上的距离，根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据互为相反数的两个数在原点的两侧且到原点的距离相等，得到原点的位置，再根据两点间的距离进行求解即可； （3）①分两种情况进行讨论求解即可；②根据绝对值的几何意义，得到当表示数x的点P在点A和点B之间时，，进而得到，结合，求出，再根据两点间的距离求出a，b的值即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，， ∴点表示的数为； （2）解：∵点A，B所表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即在刻度处， ∴； （3）解：①由题意，， 到2的距离的2倍等于到2的距离， 当2在之间时，则到2的距离为，到2的距离为， ∴4刻度处表示2， ∴的值为6； 当2在的左侧时，则到2的距离等于的长， ∴，； 综上：的值为6或14； ②∵表示数x的点P在点A和点B之间， ∴， ∵， ∴， ∴或， 又∵，且在的左侧， ∴当时，均为负数，不符合题意； ∴， ∵， ∴. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破03 有理数的运算（含巧算、规律计算） 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 有理数混合运算 题型02 有理数简便运算 题型03 拆项法（重点） 题型04 倒数法 题型05 绝对值方程 题型06 含乘方的有理数计算 题型07 裂项相消法（常考点） 题型08 数字规律 题型09 等式规律（难点） 题型10 表格规律（重点） 题型11 图形规律 题型12 数阵规律 题型13 新定义运算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 有理数综合运算 3.有理数加减混合运算的方法 ①将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和形式. ②运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简 4.省略和式中的加号和括号 进行有理数的加减混合运算时，利用减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算同一成加法运算，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如可以写成 5.数轴上两点之间的距离：数轴上，点，分别表示数，，则，两点之间的距离为线段的长度， 【针对训练】 【典例】计算． (1) (2) 【变式训练】阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 典例精析 题型一 有理数混合运算、 【典例1】计算∶ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 有理数简便运算 【典例2】用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 拆项法 【典例3】阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算： 题型四 倒数法 【典例4】阅读下列材料：计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的； (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：． 题型五 绝对值方程 【典例5】解方程：； 题型六 含乘方的有理数计算 【典例6】计算： 题型七 裂项相消法 【典例7】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式：______________________； (2)利用规律计算：的值； (3)直接写出的值． 题型八 进制规律计算 【典例8】综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 题型九 等式规律 【典例9】阅读材料，求值：． 解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 题型十 表格规律 【典例10】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 题型十一 图形规律 【典例11】我们定义一种新运算，规定：图表示，图形 表示，则 +的值为 ． 题型十二 数阵规律 【典例12】定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 题型十三 新定义运算 【典例13】对于有理数、两个数．若定义． 例如，，则．回答下面问题： (1)的运算结果为___________． (2)设，，，，则的值为___________． (3)若在这些数中，任意选取两个数进行“”运算，则所有运算结果中最大的值是___________． 1．下列各组数中，相等的一组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．把写成省略加号和括号的形式后的式子是（     ） A． B． C． D． 3．若的运算结果为负数，则内的数字可以为（     ） A． B． C．0 D．1 4．数的近似数为，那么数的真实值的范围是（     ） A． B． C． D． 5．我们可用数轴直观研究有理数及其运算．如图，将物体从点向左平移5个单位到点，可以表示这一变化过程的算式为（     ） A． B． C． D． 6．定义关于任意正整数m，n的一种新运算：．若规定，则（     ） A．32 B．4 C． D． 7．现规定一种新的运算：，则_________． 8．若，则_____． 9．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则输出的结果是________． 10．对于任意有理数a，b，c，d，定义运算：，请根据运算规则，计算的值． 11．一列数，其中，则（     ） A． 1 B． C．2026 D． 12．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图表示的是，根据这种表示法，可推算出图所表示的算式是（     ） A． B． C． D． 13．如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点可能是（     ） A．M或N B．N或P C．M或R D．P或R 14．规定是一种特殊运算符号，且，…，则的值为（     ） A．2027 B． C． D． 15．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有，，三个点，其中到的距离为3，到的距离为8，记，，所对应的数的和为m，原点到的距离为2，则m的值为_________． 16．数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则，，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空：__________； （2）若，，则__________． 17．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． (1)若折叠纸面，表示的点与表示3的点重合，则表示15的点与表示__________的点重合； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合（A在B的左侧，且折点与（1）折点相同），求点A和点B表示的数； (3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点是点，并且，求点C表示的数． 18．将算式中的若干个“”修改成为“”后，算式的计算结果为，则不同的修改方式有（     ）种 A． B． C． D． 19．幻圆是幻方的一种变形，如图是一个最简单的2阶幻圆的模型，现将，，，，0，1，2，4．这8个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（　　） A．2或 B．2或 C．1或 D．1或 20．已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 21．如图，某点从数轴上的点出发，第次向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，以此类推，经过次移动后该点到原点的距离为个单位长度，则符合条件的的和为（     ） A． B． C． D． 22．对于一个各个数位上的数字互不相同的四位正整数（，，，是正整数，且，，，），如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且满足，则称这个四位数为“绝对平衡数”，则最小的“绝对平衡数”是________；将“绝对平衡数”的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位数，若且存在正整数，使得，则满足条件的“绝对平衡数”的最大值与最小值之差是________． 23．某智能巡检机器人沿一条笔直轨道（将轨道画成如图所示的数轴）执行巡检任务，机器人从点出发，第1次向右移动1个单位长度，第2次向左移动2个单位长度，第3次向右移动3个单位长度，第4次向左移动4个单位长度．依此移动，机器人每秒移动2个单位长度．轨道上有一处故障点，点在点的左侧，且与点的距离为4个单位长度，则机器人在出发后_______秒能第一次到达故障点． 24．数轴上点，分别表示有理数，，这两点之间的距离记为，即．例如：和两点之间的距离为．求的最小值为__________． 25．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C在数轴上所表示的数分别是a，b，c． (1)若点A所表示的数是，则点C所表示的数是______． (2)若点A，B所表示的数互为相反数，求c的值． (3)的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点之间的距离，那么的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数1的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上表示数a的点与表示数的点之间的距离． ①若，求b的值． ②若数轴上，表示数x的点P在点A和点B之间；且，．求a，b，c的值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $