精品解析：广东省江门市福泉奥林匹克学校2026-2027学年七年级上学期第一次学情自测数学试题（9月）

江门市福泉奥林匹克学校2026-2027学年第一学期9月月考 七年级数学 （时间：90分钟 满分：120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 有理数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2026 3. 如表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） 北京 上海 天津 重庆 A. 北京 B. 上海 C. 天津 D. 重庆 4. 潜水艇所在的海拔高度是米，在它的上方10米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 40米 D. 60米 5. 下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉的质量中合格的是（ ） A. 10.1千克 B. 9.7千克 C. 11.2千克 D. 9.2千克 7. 将写成省略加号的和的形式为（ ） A. B. C. D. 8. 有理数m、n在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法：①一定是正数；②若满足，则一定不是负数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④如果，那么．其中正确的说法有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 满足的的值的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 无数个 D. 不存在 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 比较大小： （1）3________； （2）________．（用“”或“”或“”填空） 12. 如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______． 13. 数轴上A点表示的数是，B点到4的距离是4，则线段________． 14. 如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 15. 如图，图①的数轴上方有个方块，记图①为；图②的数轴上方有个方块，数轴的下方有个方块，记图②为；图③的数轴上方有个方块，下方有个方块，记图③为；同理，记图④为，按此规律，第个图记为________． 三、解答题一（每题8分，共24分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 把下列各数分别填在相应的集合中： ，0，，，，，，，． 非负有理数集合｛ …}； 负整数集合｛ …}； 负分数集合{ …}． 18. 在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． 四、解答题二（每题9分，共27分） 19. 已知，． （1）若，求的值． （2）若，求的值． 20. 【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 （1）思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． （2）计算写出最后化简结果： ①____； ②____； （3）若，则的值为________． 21. 小刘在美食街开了一家小吃摊，为了吸引顾客，于是想到了发送宣传单：小店开业大酬宾，第一周每碗元，第二周每碗5元，第三周每碗元、从第四周开始每碗6元，月末结算时，每周以500碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如下表． 周次 一 二 三 四 销售量/碗 （1）若成本为元/碗，哪一周的收益最多？是多少元？ （2）这四周总销售额是多少元？ （3）在（1）的条件下，为了拓展消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案：方案一：凡来店中消费者，每碗附赠一瓶0.7元的矿泉水；方案二：凡一次性购买5碗以上的，可免费送货上门，但每次送货小刘需支付人工费2.5元；若某人一次性购买6碗，则小刘更希望以哪种方案卖出？ 五、解答题三（每题12分，共24分） 22. 阅读材料解决问题 （1）数学李老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算： ； （2）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： ①________； ②计算：． 23. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． ［操作发现］ （1）如图，数轴上表示-3和2的两点之间的距离是________； ［类比探究］ （2）若点M表示的数是，点N表示的数是，则点M、N之间的距离为________； ［拓展应用］ （3）表示的几何意义是 ． 表示的几何意义是 ． （4）利用数轴分析，若是整数，且满足，求满足条件的所有的值的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市福泉奥林匹克学校2026-2027学年第一学期9月月考 七年级数学 （时间：90分钟 满分：120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可； 【详解】解：收入为“”，则支出为“”， 那么支出180元记作元． 故选：C． 2. 有理数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ∴的倒数是． 3. 如表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） 北京 上海 天津 重庆 A. 北京 B. 上海 C. 天津 D. 重庆 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较以及正负数的概念，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 根据正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小，比较出四个城市气温的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个城市中北京的气温最低， 故选：A． 4. 潜水艇所在的海拔高度是米，在它的上方10米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 40米 D. 60米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数加法的实际应用．用潜水艇的海拔高度，加上10米即可． 【详解】解：（米）； 故选B． 5. 下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的加法法则、减法法则、乘法法则对各选项计算并判断正误即可． 【详解】解： ，A计算错误，不符合题意； ，B计算错误，不符合题意； ，C计算正确，符合题意； ，D计算错误，不符合题意． 故答案为C. 6. 一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉的质量中合格的是（ ） A. 10.1千克 B. 9.7千克 C. 11.2千克 D. 9.2千克 【答案】A 【解析】 【分析】先根据标识求出合格面粉的质量范围，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵面粉的质量标识为千克， ∴合格面粉的最大质量为千克， 合格面粉的最小质量为千克， 即合格质量的范围是9.8千克面粉质量 10.2 千克， ∵，其余选项质量均不在该范围内， ∴10.1千克的面粉合格． 7. 将写成省略加号的和的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把原式中的减法转化为加法，再写成省略加号的和的形式即可． 【详解】解：， 省略加号的和的形式为． 8. 有理数m、n在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上有理数m、n的位置可得m、n的范围，即可判断答案． 【详解】解：由图可知，，， 所以，，， 所以A、B、D错误，C正确． 9. 下列说法：①一定是正数；②若满足，则一定不是负数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④如果，那么．其中正确的说法有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义逐项判断即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴一定是正数，该选项说法正确； ②∵， ∴，即一定不是负数，该选项说法正确； ③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，该选项说法正确； ④如果，当同时为正数时，；当同时为负数时，，该选项说法错误； 综上，正确的说法有①②③，共个， 故选：． 10. 满足的的值的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 无数个 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是绝对值的意义，解一元一次方程，掌握利用绝对值的性质去绝对值是解决此题的关键．根据与6的大小关系分类讨论，分别去掉绝对值解方程即可得出结论． 【详解】解：当时， 由可得， 解得：； 当时， 由可得， 可得， 此方程有无数个解； 综上：方程的解的个数为无数个． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 比较大小： （1）3________； （2）________．（用“”或“”或“”填空） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】正数大于负数；先化简绝对值，再比较两个负数的大小，两个负数比较，绝对值大的反而小． 【详解】解：正数大于负数，是正数，是负数， ． ， ，，， ，即． 12. 如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用互为相反数的定义进行求解． 【详解】解：∵、互为相反数且它们之间的距离为6， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 13. 数轴上A点表示的数是，B点到4的距离是4，则线段________． 【答案】3或11##11或3 【解析】 【分析】先求出点B表示的有理数，再利用减法即可计算． 【详解】解：由于B点到4的距离是4， 当B点在4表示的点的左边时，B点表示的数为； 当B点在4表示的点的右边时，B点表示的数为； 则或， 综上，或． 14. 如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 15. 如图，图①的数轴上方有个方块，记图①为；图②的数轴上方有个方块，数轴的下方有个方块，记图②为；图③的数轴上方有个方块，下方有个方块，记图③为；同理，记图④为，按此规律，第个图记为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，：观察可知，数轴上方的方块数量是从开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示，据此可得当为奇数时，第个图的方块数为，代入求解即可． 【详解】解：观察可知，数轴上方的方块数量是从开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示， 当时，第个图的方块数为， 当（为正整数）时，第个图的方块数为， 第个图中共有方块为 故答案为：． 三、解答题一（每题8分，共24分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把减法统一成加法，再依次计算即可； （2）先化简绝对值，再依次计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 把下列各数分别填在相应的集合中： ，0，，，，，，，． 非负有理数集合｛ …}； 负整数集合｛ …}； 负分数集合{ …}． 【答案】 非负有理数集合｛，，， …｝. 负整数集合｛，， …｝. 负分数集合｛，，， …｝. 【解析】 【分析】先化简各数，再根据非负有理数、负整数、负分数的定义逐一判断分类． 【详解】解：先化简各数： ， ， ， ， 为无限不循环小数，不属于有理数集合， ∵非负有理数包含0和正有理数， ∴非负有理数集合｛，，， …｝； ∵负整数是小于0的整数， ∴负整数集合｛，， …｝； ∵负分数是小于0的分数（含有限小数、无限循环小数、可化为分数的百分数）， ∴负分数集合｛，，， …｝． 18. 在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． 【答案】在数轴上表示各数如下： 【解析】 【分析】先化简绝对值与多重符号，再在数轴上标出各数对应的点，最后依据数轴上左边的数小于右边的数来比较大小． 【详解】解：，． 数轴及大小比较略． 四、解答题二（每题9分，共27分） 19. 已知，． （1）若，求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据知异号，确定的值后，代入求解； （2）根据知，确定的值后，代入求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴异号， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，的值为或． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，的值为或． 20. 【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 （1）思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． （2）计算写出最后化简结果： ①____； ②____； （3）若，则的值为________． 【答案】（1）结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 （2）①30；② （3）2 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加减运算，观察等式，归纳运算法则是解题的关键． （1）根据已知等式可得运算法则； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出和的符号，再结合运算规律可得答案． 【小问1详解】 解：两数进行运算时：同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数； 【小问2详解】 解：①； 故答案为：30； ②； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴与同号，即， ∴， ∵， ∴与异号，即， ∴， ∴． 故答案为：2． 21. 小刘在美食街开了一家小吃摊，为了吸引顾客，于是想到了发送宣传单：小店开业大酬宾，第一周每碗元，第二周每碗5元，第三周每碗元、从第四周开始每碗6元，月末结算时，每周以500碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如下表． 周次 一 二 三 四 销售量/碗 （1）若成本为元/碗，哪一周的收益最多？是多少元？ （2）这四周总销售额是多少元？ （3）在（1）的条件下，为了拓展消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案：方案一：凡来店中消费者，每碗附赠一瓶0.7元的矿泉水；方案二：凡一次性购买5碗以上的，可免费送货上门，但每次送货小刘需支付人工费2.5元；若某人一次性购买6碗，则小刘更希望以哪种方案卖出？ 【答案】（1）第二周的收益最多，是1444元 （2）四周总销售额是13820元 （3）小刘更希望以方案二卖出；理由如下： 方案一利润：（元）， 方案二利润：（元）， 因为， 所以小刘更希望以方案二卖出． 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键． （）分别求出每周收益，再比较即可； （）分别求出每周销售额，再相加即可； （）分别求出方案一和方案二的利润，再比较即可； 【小问1详解】 解：第一周的收益为：（元）； 第二周的收益为：（元）； 第三周的收益为：（元）； 第四周的收益为：（元）； ∵， ∴第二周的收益最多，为1444元； 【小问2详解】 解：第一周的销售额为：（元）； 第二周的销售额为：（元）； 第三周的销售额为：（元）； 第四周的销售额为：（元）； ∴这四周总销售额是：（元）； 答：这四周总销售额是13820元； 【小问3详解】 解：略． 五、解答题三（每题12分，共24分） 22. 阅读材料解决问题 （1）数学李老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算： ； （2）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： ①________； ②计算：． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据提供的解题方法，求解即可； （2）①首先比较大小，根据绝对值的意义，解答即可； ②首先比较大小，根据绝对值的意义，解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 （2）解：①，； ②，，…，同理，， 故 ． 23. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． ［操作发现］ （1）如图，数轴上表示-3和2的两点之间的距离是________； ［类比探究］ （2）若点M表示的数是，点N表示的数是，则点M、N之间的距离为________； ［拓展应用］ （3）表示的几何意义是 ． 表示的几何意义是 ． （4）利用数轴分析，若是整数，且满足，求满足条件的所有的值的和． 【答案】（1）5  （2） （或） （3）数轴上表示数的点与表示数的点距离；数轴上表示数的点到表示数和数的两点的距离之和 （4）满足条件的所有的值的和为 【解析】 【分析】（1）因为数轴上两点距离是右边的数减左边的数，所以直接用较大的数2减去较小的数-3即可． （2）如果不确定和的大小关系，那么两点距离需要用绝对值表示两数差，即． （3）因为的几何意义是数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，所以将式子变形为的形式，对应描述几何意义即可． （4）先将等式左边的两个绝对值转化为两点距离的几何意义，因为两个点之间的固定距离是两数差的绝对值，所以先计算两个定点之间的距离，判断的取值范围，再筛选出范围内的整数，最后求和． 【小问1详解】 解：∵根据题干规则：右边的数减左边的数，和中在右侧， ∴距离为 【小问2详解】 解：∵不确定和的大小，两点距离需要用大数减小数保证结果为正， ∴统一表示为两数差的绝对值． 【小问3详解】 解：结合第（2）问的距离公式，就是数和数的两点距离； 两个绝对值相加，就对应数到、数到的两段距离之和． 【小问4详解】 解：∵式子的几何意义是：数轴上表示的点，到的距离与到的距离之和为5． 且和两点的距离：， ∴只有当落在到（包含两个端点）的线段上时，两段距离的和才恰好等于5． 又∵是整数， ∴符合条件的为：， ∴它们的和为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $