精品解析：广东汕头市金平区金园实验中学 2026-2027 学年度第一学期九年级数学 第一次学情自测

金园实验中学2026-2027学年度第一学期九年级数学 第6周限时训练 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，5 B. 3，1 C. ， D. 3， 2. 下列方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我市某家物流公司，去年10月份与12月份完成运输的货物总件数分别为4万件和万件，若设该物流公司由10月份到12月份运输总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 把函数图象向上平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，结果是这个数的2倍？ A. 1 B. 4 C. 或4 D. 1或4 8. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线经过，两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知(m-2)x2-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____. 12. 二次函数的图象经过点，则的值是______． 13. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 14. “科教兴国，强国有我”，金园实验中学在第三届科技节活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度（）与飞行时间（）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为______． 15. 已知，方程①，②，③恰有一个公共根．试探究，，满足的条件，并求的值． 三、解答题 16. 解方程：． 17. 已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于点B（﹣1，0）．求二次函数的解析式． 18. 一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大2，比另一直角边的长大9，这样的直角三角形存在吗？如果存在，求这个直角三角形的三边的长． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 20. 【素材】阅读下面材料，并解决相关问题：如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）【探索】三角点阵中前8行的点数之和为______；三角点阵中前n行的点数之和为______； （2）【体验】三角点阵中前n行的点数之和______（填“能”或“不能”）为50； （3）【运用】某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 21. 用“转化”的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为， （1）解方程和，从而得出原方程的解______，______，______； （2）【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，展开以上方程，然后比较系数，可以得到根与系数的关系，直接写出：______，______，______； （3）利用上述结论解题：关于x的一元三次方程有三个根，，，求的值． 22. 综合与实践【操作与发现】 （1）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，连接， ①用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线， ②借助三角形板，过点画轴的垂线，记，的交点为．点的坐标为______； 【猜想与证明】 （2）①在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想图象为我们学过的______图象；（请填序号：A一次函数 B二次函数） ②设点的坐标是，根据与的关系，求、满足的关系式； （3）兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制，若点只能在的范围内移动，求的取值范围． 【发散思维】 （4）若点在轴上移动，设点的坐标为，按照上述操作所得的图象与轴交点为，直接写出点的坐标____________． 23. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金园实验中学2026-2027学年度第一学期九年级数学 第6周限时训练 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3，5 B. 3，1 C. ， D. 3， 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再对应确定二次项系数与一次项系数． 【详解】解：∵， ∴， ∴二次项系数为，一次项系数为． 2. 下列方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式依次计算四个选项中方程的判别式值，根据时方程有实数根、时无实数根的规则判断出符合要求的选项即可． 【详解】解：分别计算各选项一元二次方程的根的判别式： 选项：． 选项：． 选项：． 选项：． 综上所述：只有选项的方程有实数根． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 5. 我市某家物流公司，去年10月份与12月份完成运输的货物总件数分别为4万件和万件，若设该物流公司由10月份到12月份运输总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用一元二次方程解决增长率问题，根据月平均增长率的定义，从10月到12月经过两个月增长，12月的件数等于10月的件数乘以． 【详解】设月平均增长率为x， ∵ 10月件数为4万件， 经过一个月增长，11月件数为万件， 再经过一个月增长，12月件数为万件， 又∵ 12月件数为万件， ∴． 故选：C． 6. 把函数图象向上平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 把函数图象向上平移个单位长度， ∴平移后图象的函数解析式为． 7. 根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，结果是这个数的2倍？ A. 1 B. 4 C. 或4 D. 1或4 【答案】D 【解析】 【详解】解：设这个数为， 由题意得， ，． 8. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， ∴， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为． 9. 已知抛物线经过，两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 10. 二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向与对称轴，判断区间内最小值对应的自变量取值，代入解析式求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴在范围内，离对称轴越远的点函数值越小， ∵， ∴当时，取最小值，代入得 ， 解得． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知(m-2)x2-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解. 【详解】解:由题意可知，m-2≠0，所以m≠2． 故答案为：m≠2 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，注意二次项系数不能为0是本题的解题关键． 12. 二次函数的图象经过点，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象的性质．把代入得到，求出，代入求值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 13. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 【答案】16 【解析】 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 【详解】解：解方程x2-10x+21=0得x1=3，x2=7， ∵3＜第三边的边长＜9， ∴第三边的边长为7． ∴这个三角形的周长是3+6+7=16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 14. “科教兴国，强国有我”，金园实验中学在第三届科技节活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度（）与飞行时间（）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为______． 【答案】或 【解析】 【分析】令，将函数值代入与的关系式中解一元二次方程，求出自变量的值即可． 【详解】解：令，则， 整理得，， 因式分解得，， 解得，． 当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为或． 15. 已知，方程①，②，③恰有一个公共根．试探究，，满足的条件，并求的值． 【答案】满足的条件为； 【解析】 【分析】设公共根为，代入所有方程，得到三个联立等式，将三个等式相加后因式分解，通过对因式配方，利用完全平方的非负性得到其恒大于，从而推出，最后对目标式子做通分变形，将的结论直接代入，即可求出最终结果． 【详解】解：设方程①，②，③的公共根为，分别代入①，②，③得， ， ④，⑤，⑥式相加得，， ， ， ， ． 三、解答题 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可． 【详解】由题意得：a=1，b=6，c=4 ∴方程有两个不相等的实数根 ∴原方程的解为，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练记忆求根公式是本题的关键． 17. 已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于点B（﹣1，0）．求二次函数的解析式． 【答案】y＝﹣x2+2x+3 【解析】 【分析】设二次函数的顶点式y＝a（x﹣1）2+4，将点（﹣1，0）代入解析式，求出a的值可得到函数解析式. 【详解】解：设二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4， 将点B（﹣1，0）代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1， 故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3． 【点睛】本题考查抛物线与X轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用是关键. 18. 一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大2，比另一直角边的长大9，这样的直角三角形存在吗？如果存在，求这个直角三角形的三边的长． 【答案】存在，这个直角三角形的三边长分别为，，． 【解析】 【分析】设斜边长为x（x为正整数，且），则两直角边分别为，再根据勾股定理列方程求解并结合边长为正整数的条件验证解的合理性即可． 【详解】解：设斜边长为x（x为正整数，且），则两直角边分别为， 由题意可得：，整理得，解得． 当时，，不符合边长为正整数的条件，舍去； 当时，，，均为正整数，符合题意． 答：这样的直角三角形存在，三边长分别为，，． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 20. 【素材】阅读下面材料，并解决相关问题：如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）【探索】三角点阵中前8行的点数之和为______；三角点阵中前n行的点数之和为______； （2）【体验】三角点阵中前n行的点数之和______（填“能”或“不能”）为50； （3）【运用】某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36， （2）不能 （3）一共能摆放20排 【解析】 【分析】（1）依次求出前n（n为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【小问1详解】 解：三角点阵中前8行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 由题意得，得 ， ， ∵是无理数， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是50； 【小问3详解】 解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 21. 用“转化”的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为， （1）解方程和，从而得出原方程的解______，______，______； （2）【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，展开以上方程，然后比较系数，可以得到根与系数的关系，直接写出：______，______，______； （3）利用上述结论解题：关于x的一元三次方程有三个根，，，求的值． 【答案】（1）1；3；4（顺序不唯一） （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）分别解一元一次方程与一元二次方程即可； （2）把方程的左边展开，再与左边比较即可； （3）利用（2）的结论代入即可求解． 【小问1详解】 解：解方程，得； 对方程，， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴，，， 即，，； 【小问3详解】 解：∵关于x的一元三次方程有三个根，，， ∴，， ∴ ． 22. 综合与实践【操作与发现】 （1）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，连接， ①用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线， ②借助三角形板，过点画轴的垂线，记，的交点为．点的坐标为______； 【猜想与证明】 （2）①在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想图象为我们学过的______图象；（请填序号：A一次函数 B二次函数） ②设点的坐标是，根据与的关系，求、满足的关系式； （3）兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制，若点只能在的范围内移动，求的取值范围． 【发散思维】 （4）若点在轴上移动，设点的坐标为，按照上述操作所得的图象与轴交点为，直接写出点的坐标____________． 【答案】（1）如图，点即为所求， （2）①B；② （3） （4） 【解析】 【分析】（1）结合图形找出点的位置，根据垂直平分线的性质可得，由两点之间的距离公式列方程求解即可； （2）①根据点的位置的分布即可判断； ②根据垂直平分线的性质可得，由两点之间的距离公式列式即可； （3）根据二次函数的性质确定即可； （4）根据垂直平分线的性质可得，由两点之间的距离公式列式即可得到函数解析式，再令，求得的值，即可得解． 【小问1详解】 解：连接， ∵过点画轴的垂线，记，的交点为，， ∴设； ∵垂直平分， ∴， ∴，即，解得， ∴； 【小问2详解】 解：①猜想图象为二次函数图象； ②∵点的坐标是， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，即， 整理得； 【小问3详解】 解：对于，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，取最小值，最小值为， ∵， ∴当时，； 当时，； ∴的取值范围为． 【小问4详解】 解：∵，，，， ∴，即， 整理得， 当时，； ∴点的坐标为． 23. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】（1）C点坐标为，；（2）；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标公式列方程组求解，得到函数解析式，再令解方程得到点坐标； （2）先求出，得到，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴ 解得：，， ∴抛物线的解析式为． 当时，． 解得，， ∴C点坐标为； （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵C点坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得， ∴， 设M点坐标为，则， ， ∵，， ∴当时，的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $