23.3 锐角三角函数 题型专练 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版（2024）九年级上册 23.3 锐角三角函数 题型专练 【题型1】用计算器求锐角三角函数值 【典例】已知cosA＝0.5592，运用科学计算器在开机状态下求锐角A时，按下的第一个键是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．若用科学计算器求上弦 的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】用科学计算器计算：12×tan13°＝__________.(结果精确到0.01)． 【举一反三4】用科学计算器计算：10cos32°≈__________.(精确到0.01) 【举一反三5】用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1). (1)tan 12.30°； (2)tan 44°59'59″； (3)tan 84°32'13″－cos 52°16'25″. 【题型2】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数 【典例】小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了200 m，其铅直高度上升了30 m，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是 （      ） A． B． C． D． 【举一反三1】已知sinα＝0.5，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键(　　) A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT 【举一反三2】如果3sin α＝＋1，则∠α＝__________ .(精确到0.1°) 【举一反三3】利用计算器求值：若tanα＝0.5758，则锐角α≈__________.(精确到1′) 【举一反三4】已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A的度数(结果精确到0.1°). (1)sin A＝0.7； (2)cos A＝0.15； (3)tan A＝2.4. 【题型3】直接由定义求正弦值 【典例】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，则∠A的正弦值可以表示为(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是(　　) A． B． C． D． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CD＝5，AC＝8，sin∠ACD＝，则BC＝__________ . 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝. (1)求sinA的值． (2)你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由． 【举一反三5】如图直线y=x+与x轴交于点A，与直线y=2x交于点B. (1)求点B的坐标; (2)求sin∠BAO的值. 【题型4】利用勾股定理求正弦值 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，则sinB的值是(　　) A． B． C． D．2 【举一反三1】△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，那么sinB＝__________. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，OB＝5，sin∠AOB＝，点A的坐标为(10，0). (1)求点B的坐标； (2)求sin∠OAB的值. 【题型5】在正方形网格中求正弦值 【典例】在4×4网格中，每个小网格的边长为1，∠α的位置如图所示，则sin α的值为 （      ）  A． B． C．2 D． 【举一反三1】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为(　　) A． B． C． D．不能确定 【举一反三2】如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则sin∠AOB的值是(　　) A． B． C． D． 【举一反三3】如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为__________． 【题型6】平面直角坐标系中求正弦值 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则sinα的值是(　　) A． B． C． D．2 【举一反三1】如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则sinα等于(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】如图，若点A的坐标为(1，)，则sin∠1＝__________. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值. 【举一反三4】如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0，4)． (1)写出点A的坐标； (2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△O1A1B1； (3)求出sin∠A1OB1的值． 【题型7】根据正弦值确定角的大小 【典例】已知sinα＝，则(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【举一反三1】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是__________． 【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠A的度数为__________ . 【题型8】正弦值的变化情况 【典例】在钝角△ABC中，∠C是钝角，sinA＝，现在拿一个放大三倍的放大镜置于∠A上方，则放大镜中的∠A的正弦值为(　　) A． B． C． D．条件不足，无法确定 【举一反三1】已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜0)，则m的取值范围是__________． 【举一反三2】比较大小：sin65°__________sin55°(用“＞”或“＜”填空)． 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由． 【题型9】利用勾股定理求余弦值 【典例】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则cosB的值是(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin α·cos α等于 （      ）  A． B． C． D． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC∶BC＝3∶4，那么cosA的值为__________． 【举一反三3】在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，则cosA＝__________. 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值． 【题型10】在正方形网格中求余弦值 【典例】如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为 （      ）  A． B． C． D． 【举一反三1】如图，将一面三角形的小旗放在边长都为1的小正方形方格中(三角形的各顶点均在小正方形的顶点上)，则cosA的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】现有一个由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形组成的网格，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值(　　) A． B． C． D． 【举一反三3】如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA＝__________. 【举一反三4】如图所示的网格是边长为1的正方形网格，A，B，C是网格线交点，则cos∠ABC＝__________ . 【题型11】根据余弦值确定角的大小 【典例】α是锐角，且cosα＝，则(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【举一反三1】当锐角A的cosA＞时，∠A的值为(　　) A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30° 【举一反三2】已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是__________． 【举一反三3】若cosA＞cos60°，则锐角A的取值范围是__________． 【题型12】余弦值的变化情况 【典例】把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系为(　　) A．cosA＝cosA′ B．cosA＝3cosA′ C．3cosA＝cosA′ D．不能确定 【举一反三1】比较大小：cos36°__________cos37°. 【举一反三2】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大5倍，那么它的两个锐角的余弦值__________． 【题型13】直接由定义求正切值 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，△ABC的面积为2，则tan A＋tan B等于(　　) A． B． C． D．4 【举一反三1】如图，在中，平分，于点，，若，，则的值为　　 A．5 B． C．3 D． 【举一反三2】在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝1，a＝，则tan ∠B＝__________. 【举一反三3】在正方形ABCD中，E是AD的中点，求tan∠ABE的值． 【题型14】利用勾股定理求正切值 【典例】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AB＝6，AC＝3，则tan ∠BCD的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在锐角△ABC中，AB＝10，BC＝9，△ABC的面积为27，则tan B的值为__________ . 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，那么tan B＝__________. 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求tan A和tan B. 【题型15】在正方形网格中求正切值 【典例】如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为(　　) A．1 B． C． D． 【举一反三1】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanA的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，∠AOB__________ ∠COD.(填“>”“＝”或“<”) 【题型16】平面直角坐标系中求正切值 【典例】根据图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是(　　) A．0.26 B．0.43 C．0.90 D．2.23 【举一反三1】如图，P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为__________． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2,1)，则tanα的值是__________． 【举一反三3】如图，在直角坐标系平面内有一点P(3,4)，求OP与x轴的正半轴的夹角α及y轴的正半轴的夹角β的正切值． 【题型17】根据正切值确定角的大小 【典例】已知tan α＝，则锐角α的取值范围是(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【举一反三1】若α为锐角，且tan α＝，则有(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【举一反三2】已知tanA＝0.7，则∠A__________30°(填“＜”或“＞”)． 【举一反三3】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜，那么∠A的取值范围是__________． 【题型18】正切值的变化情况 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（　　） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．没有变化 【举一反三1】随着锐角α的增大，tanα的值(　　) A．增大 B．减小 C．不变 D．增大还是减小不确定 【举一反三2】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________． 【题型19】锐角三角函数的定义 【典例】直线y＝2x与x轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是(　　) A．tanα＝2 B．tanα＝ C．sinα＝ D．cosα＝ 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝6，AF＝4，cos∠EAF＝，则CF＝__________ . 【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M，N分别在AB，AD边上，若AM∶MB＝AN∶ND＝1∶2.则cos∠MCN＝__________ . 【举一反三4】如图，在△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84.求： (1)tan C的值； (2)sin A的值. 【题型20】锐角三角函数值的变化情况 【典例】在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大b倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况(　　) A．都扩大n倍 B．都缩小n倍 C．都不变 D．正弦值扩大n倍，余弦值缩小n倍 【举一反三1】梯子与地面的夹角为A，tanA的值越　　，梯子越陡；sinA的值越　　，梯子越陡；cosA的值越　　，梯子越陡． 【举一反三2】对于锐角α，sinα的值随α的增大而　　，cosa的值随α的增大而　　，tanα的值随α的增大而　　． 【举一反三3】当0°＜∠A＜90°时，sinA的值在什么范围内变化？为什么？ 【举一反三4】已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE． （1）求证：tan∠AOF＞tan∠AOE； （2）锐角的正切函数值随角度的增大而　　． 【题型21】求特殊角的三角函数值 【典例】已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】在中，，，为边上一点，．则的值为__________ ． 【举一反三2】在等边△ABC中，点D在射线CA上，且AB＝2AD，求tan∠DBC的值. 【题型22】由特殊角的三角函数值求角的度数 【典例】若sin(α－10°)＝，则∠α为(　　) A．30° B．40° C．60° D．70° 【举一反三1】已知sinα＝，则锐角α的度数是(　　) A．30° B．37° C．45° D．60° 【举一反三2】在△ABC中，若＝0，则∠C的度数是__________ . 【举一反三3】若tan (x＋10°)＝1，则锐角x的度数为__________． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，F是AB边上的两点，以DF为直径的☉O与BC相交于点E，连接EF，∠OFE＝∠A. (1)求证：BC是☉O的切线； (2)若sin B＝，求∠FEC的度数. 【举一反三5】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小． 【题型23】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数 【典例】如果△ABC的∠A、∠B满足|2sinA－1|＋(2cosB-)2＝0，那么∠C的度数是(　　) A．45° B．75° C．90° D．105° 【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则∠B为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【举一反三2】已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边的长,b＞a=c，且关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的两根的差的绝对值等于,则△ABC中最大角的度数是( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 【举一反三3】已知△ABC，若有|sinA－|与(tan B-)2互为相反数，则∠C的度数是__________． 【举一反三4】如图，已知一个等腰△ABC的底边BC长为10，面积为25.求： (1)△ABC的三个内角； (2)△ABC的周长. 【题型24】先求三角函数值再求角的度数 【典例】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，下列判断正确的是(　　) A．∠A＝30° B．∠A＝45° C．cosA＝ D．tanA＝ 【举一反三1】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠B＝__________. 【举一反三2】计算6tan230°－sin 60°－2sin 45°. 【题型25】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典例】若△ABC的三个内角满足|tanA－1|＋(cosB-)2＝0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【举一反三1】在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则这个三角形一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【举一反三2】△ABC中，若|2sinA－|＋(cosB-)2＝0，则△ABC是__________三角形． 【举一反三3】在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且有|tan A－1|＋(2cosB-)2＝0，则△ABC的形状是__________． 【举一反三4】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状． 【题型26】已知三角函数值求另一个三角函数值 【典例】x为锐角，sin x＝，则cos x的值为 （      ） A． B． C． D． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是 （      ） A． B． C． D． 【举一反三2】若∠A＋∠B＝90°，且cosB＝，则sinA的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三3】已知A为锐角，且cosA＝，则tanA＝__________. 【举一反三4】(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sin A，cos A，tan A的值； (2)将(1)中AB＝10改为sin A＝，求cos A，tan B的值. 【题型27】同角或等角三角函数的关系 【典例】三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　） A．sin70°＞cos70°＞tan70° B．tan70°＞cos70°＞sin70° C．tan70°＞sin70°＞cos70° D．cos70°＞tan70°＞sin70° 【举一反三1】在直角△ABC中，已知∠C＝90°，sinA，求cosA＝（　　） A． B． C． D．2 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，则cosA等于（　　） A． B． C． D． 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA＝__________． 【举一反三4】已知∠A为锐角，且5cosA﹣3＝0，则sinA的值为__________． 【举一反三5】如图，直角三角形ABC， （1）写出其中三角函数是哪些边的比：． （2）若∠A＝60°，∠C＝90°，直接写出三角函数的值：sinA=________，cosA=________， tanA=________. 【举一反三6】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 【题型28】互余两角的三角函数关系 【典例】在△ABC中，∠C＝90°，sinB，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB＝　　． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinB． （1）求BC； （2）求sinA． 【举一反三3】观察下列等式： ①sin30°，cos60°； ②sin45°，cos45°； ③sin60°，cos30°． （1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝　　． （2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°． 华东师大版（2024）九年级上册 23.3 锐角三角函数 题型专练（参考答案） 【题型1】用计算器求锐角三角函数值 【典例】已知cosA＝0.5592，运用科学计算器在开机状态下求锐角A时，按下的第一个键是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按2ndf键， 故选：A． 【举一反三1】已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，运用科学计算器求锐角 时（在开机状态下）的按键顺序是：，，， 按下的第一个键是 ． 故选：D． 【举一反三2】如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．若用科学计算器求上弦 的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：过 点作 于 ， ，， 米， 米， 在 中，， 即按键顺序正确的是． 故选： 【举一反三3】用科学计算器计算：12×tan13°＝__________.(结果精确到0.01)． 【答案】2.77 【解析】12×tan13°≈12×0.231≈2.77. 【举一反三4】用科学计算器计算：10cos32°≈__________.(精确到0.01) 【答案】2.68 【解析】10cos32°＝3.162 3×0.8480≈2.68. 【举一反三5】用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1). (1)tan 12.30°； (2)tan 44°59'59″； (3)tan 84°32'13″－cos 52°16'25″. 【答案】解　(1)tan 12.30°≈0.218 0. (2)tan 44°59'59″≈1.000 0. (3)tan 84°32'13″－cos 52°16'25″≈9.844 2. 【题型2】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数 【典例】小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了200 m，其铅直高度上升了30 m，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为sin α＝＝0.15， 所以用科学计算器求坡角α的度数时，按键顺序为. 【举一反三1】已知sinα＝0.5，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键(　　) A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT 【答案】D 【解析】“SHIFT”表示使用该键上方的对应的功能．故选D. 【举一反三2】如果3sin α＝＋1，则∠α＝__________ .(精确到0.1°) 【答案】65.6° 【解析】∵3sin α＝＋1， ∴sin α＝， ∴∠α≈65.6°. 【举一反三3】利用计算器求值：若tanα＝0.5758，则锐角α≈__________.(精确到1′) 【答案】29°56′ 【解析】∵tanα＝0.575 8，∴α≈29.93°≈29°56′. 【举一反三4】已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A的度数(结果精确到0.1°). (1)sin A＝0.7； (2)cos A＝0.15； (3)tan A＝2.4. 【答案】解　(1)由sin A＝0.7，得∠A≈44.4°. (2)由cos A＝0.15，得∠A≈81.4°. (3)由tan A＝2.4，得∠A≈67.4°. 【题型3】直接由定义求正弦值 【典例】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】sinA＝＝，故选A. 【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，则∠A的正弦值可以表示为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据正弦函数的定义可知，sinA＝，故选A. 【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴sinA＝＝，故选D. 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CD＝5，AC＝8，sin∠ACD＝，则BC＝__________ . 【答案】6 【解析】如图，过点D作DE⊥AC，垂足为点E， ∵∠DEC＝90°，sin∠ACD＝，CD＝5， ∴DE＝3，CE＝4，∵AC＝8， ∴AE＝4. ∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∴，即， ∴BC＝6. 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝. (1)求sinA的值． (2)你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由． 【答案】解：(1)在Rt△ABC中，sinA＝＝＝； (2)能．∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵∠CBD＋∠C＝90°，∠A＋∠C＝90°， ∴∠A＝∠CBD， ∴sin∠CBD＝sinA＝. 【举一反三5】如图直线y=x+与x轴交于点A，与直线y=2x交于点B. (1)求点B的坐标; (2)求sin∠BAO的值. 【答案】解：(1)由解得，∴B(1，2). (2)如图，过点B作BC垂直于x轴，垂足为点C. 当y=0时，x+=0，解得x=-3， ∴.A(-3，0). ∴AC=1-(-3)=4，BC=2，AB==2， ∴sin∠BAO==. 【题型4】利用勾股定理求正弦值 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，则sinB的值是(　　) A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】根据勾股定理可得AC＝＝， ∴sin B＝＝.故选C. 【举一反三1】△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，那么sinB＝__________. 【答案】 【解析】过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴∠ADB＝90°，BD＝BC＝4， 由勾股定理得AD＝＝3， ∴sinB＝＝. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，OB＝5，sin∠AOB＝，点A的坐标为(10，0). (1)求点B的坐标； (2)求sin∠OAB的值. 【答案】解　(1)如图，过点B作BC⊥OA于点C， 在Rt△BOC中， sin∠AOB＝， ∴BC＝3，∴OC＝＝4， ∴点B的坐标为(4，3). (2)∵点A的坐标为(10，0)， ∴OA＝10，∴AC＝OA－OC＝10－4＝6， ∵∠ACB＝90°， ∴AB＝＝3， ∴sin∠OAB＝. 【题型5】在正方形网格中求正弦值 【典例】在4×4网格中，每个小网格的边长为1，∠α的位置如图所示，则sin α的值为 （      ）  A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】如图， 可知AB＝1， BC＝2， AC＝， ∴sin α＝. 【举一反三1】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为(　　) A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】如图，连接AC，根据勾股定理可以得到AC＝AB＝，BC＝2. ∵()2＋()2＝(2)2.∴AC2＋AB2＝BC2. ∴△CAB是等腰直角三角形．∴∠ABC的正弦值为=.故选B. 【举一反三2】如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则sin∠AOB的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，作AC⊥OB于C，在直角△OAC中，OC＝2，AC＝3， 则OA＝＝＝，则sin∠AOB＝＝＝.故选D. 【举一反三3】如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为__________． 【答案】 【解析】设小正方形的边长为1，如图，作AN⊥BC于N，设网格格点为E、D、F， 则由勾股定理得BC＝＝5，AC＝＝， ∵S△ABC＝S△BDC－S正方形EAFD－S△AFC－S△BEA＝×4×3－1×1－×1×2－×3×1＝， ∴·BC·AN＝，∴AN＝1，∴sin∠ACB＝＝＝. 【题型6】平面直角坐标系中求正弦值 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则sinα的值是(　　) A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】作BD⊥x轴于D，由题意得OD＝2，BD＝1， 由勾股定理得OB＝＝，则sinα＝＝＝，故选B. 【举一反三1】如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则sinα等于(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过P作PE⊥x轴于E， ∵P(12，5)，∴PE＝5，OE＝12， ∴OP＝＝13，∴sinα＝＝，故选A. 【举一反三2】如图，若点A的坐标为(1，)，则sin∠1＝__________. 【答案】 【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于点B， ∵点A的坐标为(1，) ， ∴OB＝1，AB＝， 由勾股定理，得OA＝＝2，sin∠1＝＝. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值. 【答案】解　如图，过点P作PA⊥x轴于点A， 则点A(3，0)，PA＝4，OA＝3， 在Rt△APO中，由勾股定理得OP＝＝5， ∴sin α＝. 【举一反三4】如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0，4)． (1)写出点A的坐标； (2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△O1A1B1； (3)求出sin∠A1OB1的值． 【答案】解 (1)从图上读出点A的坐标(3，4)； (2)如图所示. (3)根据勾股定理得O1A1＝＝5，故sin∠A1OB1＝. 【题型7】根据正弦值确定角的大小 【典例】已知sinα＝，则(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【答案】B 【解析】∵sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sin60°＝≈0.866，≈0.67， ∴30°＜α＜45°，故选B. 【举一反三1】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是__________． 【答案】0°＜∠A＜45° 【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°， ∵sinA＜，∴0°＜∠A＜45°. 【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠A的度数为__________ . 【答案】45° 【解析】∵∠C＝90°，AB＝，BC＝， ∴sin A＝， ∴∠A＝45°. 【题型8】正弦值的变化情况 【典例】在钝角△ABC中，∠C是钝角，sinA＝，现在拿一个放大三倍的放大镜置于∠A上方，则放大镜中的∠A的正弦值为(　　) A． B． C． D．条件不足，无法确定 【答案】A 【解析】sinA＝，现在拿一个放大三倍的放大镜置于∠A上方，则放大镜中的∠A的正弦值为，故选A. 【举一反三1】已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜0)，则m的取值范围是__________． 【答案】＜m＜ 【解析】∵0°＜θ＜30°，∴sin0°＜sinθ＜sin30°，即0＜km＋＜， ∴-＜km＜，∴＜m＜. 【举一反三2】比较大小：sin65°__________sin55°(用“＞”或“＜”填空)． 【答案】＞ 【解析】∵65°＞55°，∴sin65°＞sin55°. 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由． 【答案】解　在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是随之确定，理由是：sinA＝，∠A确定，∠A对边与斜边的比值是不变的． 【题型9】利用勾股定理求余弦值 【典例】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则cosB的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1， 由勾股定理，得AB＝＝.cosB＝＝＝，故选C. 【举一反三1】如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin α·cos α等于 （      ）  A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， ∵小正方形面积为49，大正方形面积为169， ∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13， 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即AC2＋(7＋AC)2＝132， 解得AC＝5（负值舍去）， ∴BC＝＝12， ∴sin α＝，cos α＝， ∴sin α·cos α＝×. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC∶BC＝3∶4，那么cosA的值为__________． 【答案】 【解析】如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝3：4， ∴设AC＝3x，BC＝4x，则由勾股定理得AB＝5x，则cosA＝＝＝. 【举一反三3】在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，则cosA＝__________. 【答案】 【解析】∵52＋122＝132，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°， ∴cosA＝＝. 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值． 【答案】解　∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°， ∴∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4， ∴MN＝＝， ∴cosB＝cos∠AMN＝＝. 【题型10】在正方形网格中求余弦值 【典例】如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为 （      ）  A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把AB向上平移1个单位长度到DE，连接CE，如图，则DE∥AB. ∴∠APC＝∠EDC. 在△DCE中，EC＝，DC＝＝2，DE＝＝5， ∴EC2＋DC2＝DE2， ∴△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝. 【举一反三1】如图，将一面三角形的小旗放在边长都为1的小正方形方格中(三角形的各顶点均在小正方形的顶点上)，则cosA的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵∠A的对边长是3，邻边长是4，∴根据勾股定理得到斜边长是5.∴cosA＝. 故选A. 【举一反三2】现有一个由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形组成的网格，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作AD⊥BC的延长线于点D，如图，∵由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形， ∴∠D＝90°，AD＝3×1＝3(cm)，BD＝2×2＝4(cm)， ∴在Rt△ABD中，AB＝＝5(cm)，∴cos∠ABC＝＝.故选D. 【举一反三3】如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA＝__________. 【答案】 【解析】如图，作CD⊥AB于点D，由勾股定理，得AC＝＝＝5. 则cosA＝＝. 【举一反三4】如图所示的网格是边长为1的正方形网格，A，B，C是网格线交点，则cos∠ABC＝__________ . 【答案】 【解析】如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，则△ABD为直角三角形，其中AD＝3，BD＝4， 由勾股定理可得AB＝5， ∴cos∠ABC＝. 【题型11】根据余弦值确定角的大小 【典例】α是锐角，且cosα＝，则(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【答案】B 【解析】∵在锐角三角函数中，余切值都是随着角的增大而减小， 又知cos30°＝，cos 45°＝，故30°＜α＜45°，故选B. 【举一反三1】当锐角A的cosA＞时，∠A的值为(　　) A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30° 【答案】A 【解析】根据cos45°＝，锐角的余弦值随角增大而减小，则∠A一定小于45°. 故选A. 【举一反三2】已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是__________． 【答案】20°＜∠A＜30° 【解析】∵＜cosA＜sin 70°，sin70°＝cos20°， ∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°. 【举一反三3】若cosA＞cos60°，则锐角A的取值范围是__________． 【答案】0°＜A＜60° 【解析】由cosA＞cos60°，得0°＜A＜60°，故答案为0°＜A＜60°. 【题型12】余弦值的变化情况 【典例】把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系为(　　) A．cosA＝cosA′ B．cosA＝3cosA′ C．3cosA＝cosA′ D．不能确定 【答案】A 【解析】由题意，得∠A＝∠A′.cosA＝cos A′，故选：A. 【举一反三1】比较大小：cos36°__________cos37°. 【答案】＞ 【解析】因为锐角的余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)． 所以cos36°＞cos37°.故答案为＞. 【举一反三2】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大5倍，那么它的两个锐角的余弦值__________． 【答案】不变 【解析】∵锐角的余弦值是该角的邻边与斜边的比，∴当各边都扩大为原来的5倍时，比值不变． 【题型13】直接由定义求正切值 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，△ABC的面积为2，则tan A＋tan B等于(　　) A． B． C． D．4 【答案】D 【解析】∵△ABC的面积为2，∴ab＝4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4， ∴a2＋b2＝42＝16， ∴tanA＋tanB＝＋＝＝＝4.故选D. 【举一反三1】如图，在中，平分，于点，，若，，则的值为　　 A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】如图，延长交于点．平分，于点， ，． 在和中，， (ASA)，， ，， ，， ， ， 故选：B． 【举一反三2】在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝1，a＝，则tan ∠B＝__________. 【答案】 【解析】∵在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝1，a＝， ∴tan∠B＝＝＝.故答案是. 【举一反三3】在正方形ABCD中，E是AD的中点，求tan∠ABE的值． 【答案】解　∵在正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝AB， ∴tan∠ABE＝＝. 【题型14】利用勾股定理求正切值 【典例】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AB＝6，AC＝3，则tan ∠BCD的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵AB＝6，AC＝3，∴BC＝＝3， ∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°， ∵∠A＋∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A， 则tan∠BCD＝tan∠A＝＝＝.故选A. 【举一反三1】如图，在锐角△ABC中，AB＝10，BC＝9，△ABC的面积为27，则tan B的值为__________ . 【答案】 【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H.∵BC＝9，＝27， ∴×9×AH＝27， ∴AH＝6.∵AB＝10， ∴BH＝＝8， ∴tan B＝. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，那么tan B＝__________. 【答案】 【解析】∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝4， 则tanB＝＝，故答案为. 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求tan A和tan B. 【答案】解　∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13， ∴BC＝＝＝12， ∴tanA＝＝，tanB＝＝. 【题型15】在正方形网格中求正切值 【典例】如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为(　　) A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过A点作AD⊥BC的延长线于点D，设每个小正方形边长为1， 故在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝4，BD＝5，则tanB＝＝，故选D. 【举一反三1】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanA的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接CD，∵CD2＝2，AC2＝4＋16＝20，AD2＝9＋9＝18， ∴AC2＝CD2＋AD2，AD＝＝3，CD＝，∴∠ADC＝90°， ∴tanA＝＝＝.故选C. 【举一反三2】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设每个小正方形的边长为1， 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴tanB＝＝，故选B. 【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，∠AOB__________ ∠COD.(填“>”“＝”或“<”) 【答案】> 【解析】如图，连接CD，则CD⊥OD，过点B作BE⊥OA于点E， 在Rt△OBE中，tan∠AOB＝＝2， 在Rt△OCD中，tan∠COD＝＝1， ∵锐角的正切值随着角度的增大而增大， ∴∠AOB>∠COD. 【题型16】平面直角坐标系中求正切值 【典例】根据图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是(　　) A．0.26 B．0.43 C．0.90 D．2.23 【答案】B 【解析】如图，AB≈2.6，OB＝6，tanα＝≈2.6÷6≈0.43.故选B. 【举一反三1】如图，P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为__________． 【答案】 【解析】∵P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，∴a＝＝5， ∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH＝. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2,1)，则tanα的值是__________． 【答案】 【解析】如图，作BC⊥x轴于点C，∵BC＝1，OC＝2，∴tanα＝＝，故答案为. 【举一反三3】如图，在直角坐标系平面内有一点P(3,4)，求OP与x轴的正半轴的夹角α及y轴的正半轴的夹角β的正切值． 【答案】解　过P作PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B， ∵P点坐标为(3,4)，∴OA＝PB＝3，OB＝AP＝4， ∴tanα＝＝，tanβ＝＝. 【题型17】根据正切值确定角的大小 【典例】已知tan α＝，则锐角α的取值范围是(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【答案】C 【解析】∵tan30°＝≈0.577，tan45°＝1，tan60°＝≈1.732， 又∵tan α＝＝1.2，∴tan45°＜tan α＜tan60°， ∵锐角的正切值随角度的增大而增大，∴45°＜α＜60°，故选C. 【举一反三1】若α为锐角，且tan α＝，则有(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【答案】C 【解析】∵tan45°＝1，tan60°＝，α为锐角，α越大，正切值越大． 又1＜＜，∴45°＜α＜60°.故选C. 【举一反三2】已知tanA＝0.7，则∠A__________30°(填“＜”或“＞”)． 【答案】＞ 【解析】∵tanA＝0.7，tan30°＝≈0.577，∴∠A＞30°,故答案为∠A＞30°. 【举一反三3】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜，那么∠A的取值范围是__________． 【答案】0°＜∠A＜60° 【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°， ∵tanA＜，∴0°＜∠A＜60°. 【题型18】正切值的变化情况 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（　　） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．没有变化 【答案】D 【解析】∵在Rt△ABC中，如果每个边都缩小为原来的， ∴锐角A的对边与邻边的比值不变， ∴锐角A的正切值不变． 故选：D． 【举一反三1】随着锐角α的增大，tanα的值(　　) A．增大 B．减小 C．不变 D．增大还是减小不确定 【答案】A 【解析】当角度在0°～90°间变化时，正切值随着角度的增大而增大，故选A. 【举一反三2】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________． 【答案】不变 【解析】∵锐角的正切值是该角的对边与邻边的比， ∴当各边都扩大为原来的4倍时，比值不变． 【题型19】锐角三角函数的定义 【典例】直线y＝2x与x轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是(　　) A．tanα＝2 B．tanα＝ C．sinα＝ D．cosα＝ 【答案】A 【解析】过点A作AB⊥x轴于B. ∵直线y＝2x与x轴正半轴的夹角为α， 设OB＝x，则AB＝2x，根据勾股定理得OA＝x， ∴tanα＝＝＝2，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝. 故选A. 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， 由勾股定理得：AB13， 则sinA，cosA，tanA，tanB， ∴D选项正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三2】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝6，AF＝4，cos∠EAF＝，则CF＝__________ . 【答案】 【解析】∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AFC＝∠AEB＝90°， 又∵AB∥DC，∴∠FAB＝∠EAF＋∠EAB＝90°. 又∵∠EAB＋∠B＝90°，∴∠B＝∠EAF. ∵cos∠EAF＝，∴cos B＝，即， 又∵∠B＝∠D，∴cos D＝，. 由题意得AF＝4，AE＝6， 则根据勾股定理，易得DF＝，BE＝，AB＝×3＝， ∴CF＝DC－DF＝AB－DF＝. 【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M，N分别在AB，AD边上，若AM∶MB＝AN∶ND＝1∶2.则cos∠MCN＝__________ . 【答案】 【解析】∵AB＝AD＝6，AM∶MB＝AN∶ND＝1∶2，∴AM＝AN＝2，BM＝DN＝4， 连接MN，AC，如图， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°， 在Rt△ABC与Rt△ADC中， ∴Rt△ABCRt△ADC(HL)， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝30°，MC＝NC，∴∠BCA＝60°，BC＝AC，∴∠BCD＝120°， ∵tan∠BAC＝，∴BC＝AB·tan∠BAC＝6×tan 30°＝2， 在Rt△BMC中，CM＝＝2， ∵AN＝AM，∠MAN＝60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN＝AM＝AN＝2， 过点M作ME⊥CN于点E，设NE＝x， 则CE＝2－x，∴MN2－NE2＝MC2－EC2，即4－x2＝(2)2－(2－x)2，解得x＝， ∴EC＝2，∴cos∠MCN＝. 【举一反三4】如图，在△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84.求： (1)tan C的值； (2)sin A的值. 【答案】解　(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵S△ABC＝BC·AD＝84， ∴×14×AD＝84，∴AD＝12. 又∵AB＝15， ∴BD＝＝9， ∴CD＝14－9＝5， ∴tan C＝. (2)如图，过点B作BE⊥AC于点E. 在Rt△ADC中，AC＝＝13， ∵S△ABC＝AC·BE＝84， ∴BE＝， ∴sin∠BAC＝. 【题型20】锐角三角函数值的变化情况 【典例】在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大b倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况(　　) A．都扩大n倍 B．都缩小n倍 C．都不变 D．正弦值扩大n倍，余弦值缩小n倍 【答案】C 【解析】由sin A＝，cosA＝，故选C. 【举一反三1】梯子与地面的夹角为A，tanA的值越　　，梯子越陡；sinA的值越　　，梯子越陡；cosA的值越　　，梯子越陡． 【答案】大；大；小 【解析】梯子与地面的夹角为A，tanA的值越大，梯子越陡；sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡. 故答案为：大；大；小． 【举一反三2】对于锐角α，sinα的值随α的增大而　　，cosa的值随α的增大而　　，tanα的值随α的增大而　　． 【答案】增大；减小；增大 【解析】由三角函数的增减性可得，对于锐角α，sinα的值随α的增大，而cosa的值随α的增大而减小，tanα 的值随α的增大而增大． 故答案为：增大；减小；增大． 【举一反三3】当0°＜∠A＜90°时，sinA的值在什么范围内变化？为什么？ 【答案】解：∵0°＜∠A＜90°， ∴0＜sinA＜1． 【举一反三4】已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE． （1）求证：tan∠AOF＞tan∠AOE； （2）锐角的正切函数值随角度的增大而　　． 【答案】解：（1）∵CA⊥AO， ∴△FOA和△EOA均为直角三角形． ∴tan∠AOF，tan∠AOE． ∴tan∠AOF＞tan∠AOE． （2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大． 故答案为：增大． 【题型21】求特殊角的三角函数值 【典例】已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】cosα＝cos45°＝.故选B. 【举一反三1】在中，，，为边上一点，．则的值为__________ ． 【答案】 【解析】作于点，则点是的中点， 在外作，则， 作，，则（角平分线的性质）， 在和中，， ， 所以． 又因为，， 所以， 因此． 故答案为：． 【举一反三2】在等边△ABC中，点D在射线CA上，且AB＝2AD，求tan∠DBC的值. 【答案】解　如图①，当点D在AC之间时， 在等边△ABC中，AB＝AC＝BC，∠C＝60°， ∵AB＝2AD，∴AD＝CD， ∴BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝30°， ∴tan∠DBC＝； 如图②，当点D在CA的延长线上时，过点D作DE⊥BC于点E， 在等边△ABC中， AB＝AC＝BC，∠C＝60°， ∵AB＝2AD， 设AD＝x，则AB＝AC＝BC＝2x，DC＝3x， ∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝30°， ∴EC＝DC＝x，ED＝x，BE＝x， ∴tan∠DBC＝＝3. 综上，tan∠DBC的值为或3. 【题型22】由特殊角的三角函数值求角的度数 【典例】若sin(α－10°)＝，则∠α为(　　) A．30° B．40° C．60° D．70° 【答案】D 【解析】sin(α－10°)＝，得α－10°＝60°，α＝70°，故选D. 【举一反三1】已知sinα＝，则锐角α的度数是(　　) A．30° B．37° C．45° D．60° 【答案】D 【解析】∵sin α＝，∴锐角α＝60°.故选D. 【举一反三2】在△ABC中，若＝0，则∠C的度数是__________ . 【答案】60° 【解析】∵＝0， ∴sin A－＝0，cos B－＝0， ∴sin A＝，cos B＝， ∴∠A＝60°，∠B＝60°， ∴∠C的度数是180°－60°－60°＝60°. 【举一反三3】若tan (x＋10°)＝1，则锐角x的度数为__________． 【答案】20° 【解析】∵tan (x＋10°)＝1，∴tan (x＋10°)＝＝， ∴x＋10°＝30°，∴x＝20°. 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，F是AB边上的两点，以DF为直径的☉O与BC相交于点E，连接EF，∠OFE＝∠A. (1)求证：BC是☉O的切线； (2)若sin B＝，求∠FEC的度数. 【答案】(1)证明　如图，连接OE，过点F作FG⊥BC于点G， ∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠BGF＝∠C＝90°， ∴FG∥AC， ∴∠OFG＝∠A， ∵∠OFE＝∠A. ∴∠OFE＝∠OFG， ∴∠OFE＝∠EFG， ∵OE＝OF， ∴∠OFE＝∠OEF， ∴∠OEF＝∠EFG， ∴OE∥FG， ∴OE⊥BC， ∴BC是☉O的切线. (2)解　∵在Rt△ABC中，sin B＝， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∵∠OFE＝∠A， ∴∠OFE＝30°， ∴∠FEC＝30°＋30°＝60°. 【举一反三5】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小． 【答案】解　∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°， ①∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，－， 将代入方程，得4×122－m×12－1＝0，解得m＝0， 经检验－是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意； ②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意； ③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，， 将代入方程得：4×(12)2－m×12－1＝0，解得m＝0， 经检验不是方程4x2－1＝0的根． 综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°. 【题型23】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数 【典例】如果△ABC的∠A、∠B满足|2sinA－1|＋(2cosB-)2＝0，那么∠C的度数是(　　) A．45° B．75° C．90° D．105° 【答案】D 【解析】由|2sin A－1|＋(2cos B-)2＝0，得2sinA－1＝0,2cos B-＝0， 解得∠A＝30°，∠B＝45°， 由三角形内角和定理，得C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－45°＝105°，故选D. 【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则∠B为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】∵sin 60°＝，∴∠B＝60°.故选C. 【举一反三2】已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边的长,b＞a=c，且关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的两根的差的绝对值等于,则△ABC中最大角的度数是( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】设x1,x2是方程ax2-bx+c=0的两个根,则x1+x2=,x1•x2=, 由=得(x1-x2)2=2,即(x1+x2)2-4x1x2=2,∴=2， ∵a=c,∴=3,∴=(负值已舍去), 此时一元二次方程ax2-bx+c=0的根的判别式大于零，满足题意. 根据题意,画出示意图,如图，过点B作BD⊥AC于点D, ∵a=c,∴AD=,∠ABD=∠ABC,∴sin∠ABD===•=, ∴∠ABD=60°,∴∠ABC=2∠ABD=120°,即△ABC中最大角的度数是120°. 【举一反三3】已知△ABC，若有|sinA－|与(tan B-)2互为相反数，则∠C的度数是__________． 【答案】90° 【解析】∵|sin A－|与(tanB-)2互为相反数， ∴sin A－＝0，tanB-＝0，则sinA＝，tanB＝， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，则∠C的度数是90°. 【举一反三4】如图，已知一个等腰△ABC的底边BC长为10，面积为25.求： (1)△ABC的三个内角； (2)△ABC的周长. 【答案】解　过点A作底边上的高，交BC于点D（图略）， ∴AD垂直平分BC，即BD＝CD＝BC＝5. (1)∵等腰△ABC的底边长为10，面积为25， ∴AD＝＝5. ∴tan B＝＝1， 即∠B＝45°. ∴∠C＝∠B＝45°， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝90°. (2)∵△ABD为直角三角形，AD＝BD＝5， ∴AB＝＝5 . ∴AC＝AB＝5 . 故△ABC的周长为5 ＋5 ＋10＝10 ＋10. 【题型24】先求三角函数值再求角的度数 【典例】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，下列判断正确的是(　　) A．∠A＝30° B．∠A＝45° C．cosA＝ D．tanA＝ 【答案】D 【解析】∵在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝， ∴tanA＝＝＝.故选D. 【举一反三1】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠B＝__________. 【答案】60° 【解析】∵∠C＝90°，3a＝b，∴＝，即tanB＝，∴∠B＝60°. 【举一反三2】计算6tan230°－sin 60°－2sin 45°. 【答案】解　6tan230°－sin 60°－2sin 45° ＝6××－2× ＝. 【题型25】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典例】若△ABC的三个内角满足|tanA－1|＋(cosB-)2＝0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】由题意得，tanA－1＝0，cos B-＝0， 则tan A＝1，cosB＝，∠A＝45°，∠B＝45°， 则∠C＝180°－45°－45°＝90°， 故△ABC为等腰直角三角形．故选C. 【举一反三1】在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则这个三角形一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】D 【解析】∵cosA＝，tan B＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝75°， 则这个三角形一定是锐角三角形．故选D. 【举一反三2】△ABC中，若|2sinA－|＋(cosB-)2＝0，则△ABC是__________三角形． 【答案】等边 【解析】∵△ABC中，|2sinA－|＋(cosB-)2＝0，∴sinA＝，cosB＝， ∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－60°－60°＝60°.∴△ABC是等边三角形． 【举一反三3】在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且有|tan A－1|＋(2cosB-)2＝0，则△ABC的形状是__________． 【答案】等腰直角三角形 【解析】∵|tanA－1|＋(2cosB-)2＝0，∴tanA－1＝0,2cosB-＝0， ∴tanA＝1，cosB＝，∴∠A＝45°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－45°＝90°， 则△ABC是等腰直角三角形． 【举一反三4】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状． 【答案】解　由△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cos B＝，得∠A＝∠B＝30°， △ABC是等腰三角形． 【题型26】已知三角函数值求另一个三角函数值 【典例】x为锐角，sin x＝，则cos x的值为 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，构造Rt△ABC， 令sin B＝sin x＝， 设AC＝k， 则AB＝3k， ∴BC＝k， ∴cos x＝cos B＝. 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在Rt△ABC中， ∵sin A＝， ∴cos B＝. 【举一反三2】若∠A＋∠B＝90°，且cosB＝，则sinA的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得sinA＝cosB＝，故选B. 【举一反三3】已知A为锐角，且cosA＝，则tanA＝__________. 【答案】 【解析】∵A为锐角，且cosA＝，∴∠A＝60°，则tanA＝tan60°＝. 【举一反三4】(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sin A，cos A，tan A的值； (2)将(1)中AB＝10改为sin A＝，求cos A，tan B的值. 【答案】解　(1)由勾股定理得AC＝＝8， ∴sin A＝， cos A＝， tan A＝. (2)在Rt△ABC中，∵sin A＝， ∴AB＝＝6×＝10， 又∵AC＝＝8， ∴cos A＝，tan B＝. 【题型27】同角或等角三角函数的关系 【典例】三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　） A．sin70°＞cos70°＞tan70° B．tan70°＞cos70°＞sin70° C．tan70°＞sin70°＞cos70° D．cos70°＞tan70°＞sin70° 【答案】C 【解析】∵cos70°＝sin（90°﹣70°）＝sin20°，sin70°＞sin20°， ∴1＞sin70°＞cos70°， 又∵tan70°＞tan45°＝1， ∴tan70°＞1＞sin70°＞cos70°， 故选：C． 【举一反三1】在直角△ABC中，已知∠C＝90°，sinA，求cosA＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】∵sin2A+cos2A＝1， ∴cosA. 故选：C． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，则cosA等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 设BC＝5x， ∵tanA， ∴AC＝12x，AB13x， ∴cosA． 故选：D． 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA＝__________． 【答案】 【解析】∵∠C＝90°， ∴sinA， 设BC＝24x，AB＝25x， ∴BC7x， ∴tanA． 故答案为：． 【举一反三4】已知∠A为锐角，且5cosA﹣3＝0，则sinA的值为__________． 【答案】 【解析】∵5cosA﹣3＝0， ∴cosA， ∵∠A为锐角， ∴sinA， 故答案为：． 【举一反三5】如图，直角三角形ABC， （1）写出其中三角函数是哪些边的比：． （2）若∠A＝60°，∠C＝90°，直接写出三角函数的值：sinA=________，cosA=________， tanA=________. 【答案】解：（1）sinA，cosA，tanA． （2）sin60°，cos60°，tan60°． 故答案为：，，． 【举一反三6】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 【答案】（1）证明：∵sinA，cosA， ∴sin2A+cos2A， ∵∠C＝90°， ∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2， ∴sin2A+cos2A＝1． （2）解：∵sinA+cosA， ∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA•cosA， ∵sin2A+cos2A＝1， ∴1+2sinA•cosA， ∴sinA•cosA． 【题型28】互余两角的三角函数关系 【典例】在△ABC中，∠C＝90°，sinB，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵∠C＝90°，sinB， ∴令AC＝4x，则AB＝5x， ∴BC3x， ∴tanA． 故选：B． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB＝　　． 【答案】 【解析】由∠C＝90°，若sinA，得cosB＝sinA， 故答案为：． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinB． （1）求BC； （2）求sinA． 【答案】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°， ∵AB＝4，sinB． ∴AC， ∴BC3； （2）在△ABC中，∠C＝90°，sinA． 【举一反三3】观察下列等式： ①sin30°，cos60°； ②sin45°，cos45°； ③sin60°，cos30°． （1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝　　． （2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°． 【答案】解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα， ∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1； （2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° ＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245° ＝1+1+…1 ＝44 ． 学科网（北京）股份有限公司 $