23.3 锐角三角函数 8大题型（分层作业练题型）数学新教材华东师大版九年级上册

分层作业 23.3 锐角三角函数 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 锐角三角函数概念 题型02 求角的三角函数值 题型03 根据三角函数求边长 题型04 由三角函数值判断三角形形状 题型05 特殊角的三角函数 题型06 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型07 三角函数综合 题型08 用计算器求三角函数值 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 锐角三角函数概念 1．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】本题主要考查了三角函数的正弦值，根据正弦值的定义即可得出答案，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， 故选：C． 2. （26-27九年级上·全国·单元测试）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求角的余弦值、正切的概念辨析、余弦的概念辨析、求角的正切值 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 3. （2025·四川成都·一模）在中，，，则 ______． 【答案】60° 【难度】0.85 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、正切的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的对边与邻边的比叫做的正切．根据正切的定义得到，再根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ， ， 故答案为：． 4. 如图所示，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为______米． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦的概念辨析 【详解】利用正弦的定义求解即可． 解：如图，过点作，垂足为，则为栏杆A端升高的高度， 米， 米， ， 米．． 题型02 求角的三角函数值 5．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，在矩形中，交于点，将翻折得到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】矩形与折叠问题、求角的正弦值、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，特殊角三角函数值，先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 6．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小、求角的余弦值、特殊三角形的三角函数 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． 7. （2026九年级上·山东·专题练习）在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求角的正切值 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴． 8. （25-26九年级上·广东揭阳·期末）在中，，若，则_____． 【答案】/0.6 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、已知余弦求边长 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握余弦和正弦的定义． 先由余弦的定义得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图， 在中，，若， ∴， ∴， 故答案为：．． 9.已知a，b，c分别是中，，的对边，且a，b，c满足，若，则的值为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、正弦、余弦的定义等知识点，掌握正弦、余弦的定义成为解题的关键． 化简可得，即是直角三角形，且为直角；再由可得，设，则，由勾股定理可得，最后根据三角形函数的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，且为直角， ∵， ∴，即， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 10.（2026·上海·中考真题）在中，，，，则的值为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 题型03 根据三角函数求边长 11. （26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ． 12. （2026·广东深圳·三模）在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用余弦的定义列等式即可直接求出的长度． 【详解】解：∵在中，， 根据锐角余弦的定义可得 ， 又∵，， 代入得 ∴． 13. 如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知正切值求边长、求点到坐标轴的距离 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 14. （25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，D为边上的一点，，，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知正弦值求边长、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15.（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、已知余弦求边长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系和勾股定理．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据锐角三角函数的边角间关系，可求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 16.（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、求角的正弦值 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型04 由三角函数值判断三角形形状 17. 如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 18. （2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【难度】0.85 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 19. （25-26九年级上·甘肃天水·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 【答案】钝角三角形或等腰三角形 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、由特殊角的三角函数值判断三角形形状、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 题型05 特殊角的三角函数 20.（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）当时，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值求解． 【详解】解： ， ， 故选：A． 21.（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 22.（26-27九年级上·全国·课后作业）用特殊角的三角函数填空： ______=______；______=______；1=______；______． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、特殊三角形的三角函数、求角的正切值 【分析】只需熟记，，的三角函数值，对应匹配即可． 【详解】解：根据特殊锐角的三角函数值推导如下： ∵ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 23.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、特殊角三角函数值的混合运算、求角的正切值 【分析】（1）先代入各特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加法； （2）先代入各特殊角的三角函数值，再计算乘方与乘法，最后计算加减． 【详解】（1）解： 原式 ； （2）解：原式 ． 题型06 根据特殊角的三角函数值求角的度数 24.（26-27九年级上·北京·随堂练习）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】特殊三角形的三角函数、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 25.若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 26.已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 27.如图，在中，，点D在AC上．已知，求的度数． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、求角的正弦值 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 首先在中，利用的长和求得线段的长，然后在中求得的度数即可． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ． 题型07 三角函数综合 28.如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角函数综合 【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，原说法正确，符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 29.如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使．利用工具测得米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角函数综合、正切的概念辨析 【分析】根据正切定义，把公式变形得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 故选C． 30.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 【答案】①②④ 【难度】0.65 【知识点】三角函数综合 【分析】根据得到，进而逐一判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ， 故④正确． 题型08 用计算器求三角函数值 31.（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用计算器求锐角三角函数值、已知正弦值求边长 【分析】本题考查计算器求锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 【详解】解：在中，， ∴，即 故选：B. 32.（25-26九年级上·山东淄博·期中）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅垂高度上升了，在用科学计算器求坡角的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用计算器求锐角三角函数值 【分析】本题考查了利用计算器求角度，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 根据计算器的使用方法进行分析即可． 【详解】解：用科学计算器求这条斜坡倾斜角的度数时，按键顺序为: ． 故选：A． 33.（25-26九年级上·山东淄博·期中）2024年我国粮食产量首次突破万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米． ①用计算器求输送带部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为 ②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米； ③坡角为； ④；以上说法正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用计算器求锐角三角函数值、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用计算器由三角函数值求锐角度数，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据科学计算器按键顺序和解直角三角形的应用等知识点逐项判断解答即可． 【详解】解：按键顺序正确，故正确； ， ， ， 在中，， 米，故正确； 坡角为，故错误； ， ， ，故正确； 故选：C． B组 能力进阶 1. （25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】在网格中判断直角三角形、求角的正弦值、勾股定理与网格问题 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 2. （2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是边上一点，且，连接．已知，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、判断三边能否构成直角三角形、求角的余弦值 【分析】由平行四边形的性质得，则垂直平分，则，证明是直角三角形，解即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ． ∵， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴． 3. （25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．作于E，先根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，在中，利用的正切得到，然后由可计算出，再利用进行计算． 【详解】解：作于E，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵在中，， ，解得 ． 故选：D． 4. （2026·广东肇庆·三模）如图，在中，，，先以点C为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点G，再分别以点G和点A为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；画射线交于点D．若，则的长为________． 【答案】 【难度】0.51 【知识点】三角形内角和定理的应用、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、特殊三角形的三角函数 【详解】方法一：如图，在上取一点E，使得， ， 由尺规作图可知， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 方法二：如图，过点A作于点H，设， ， ，， ， ， ， ， 由尺规作图可知， ， ，则， ， ，解得． 5. 在△ABC中，AB＝，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是____． 【答案】＜a＜2 【难度】0.65 【知识点】三角函数综合、解直角三角形的相关计算 【分析】由已知条件，根据直角三角形中三角函数的定义表示出，然后根据∠C的度数可以得出满足题意的△ABC有两个的∠A的度数的范围，根据∠A的度数的取值范围求出的取值范围，进而求出a的取值范围． 【详解】解：过点B做BD⊥AC于点D， 在Rt△ABD中， ，即：， 在Rt△BCD中， ，即：， ∴，即：， ∴， 由题意可知：当时，满足条件的△ABC有两个， ∴，即：， ∴＜a＜2， 故答案为：＜a＜2． 6. （25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）是直角三角形，，，则的长为_______． 【答案】2或 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长 【分析】本题考查了正切的定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论，再利用正切的定义即可求解． 【详解】解：①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 7. （25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，以为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知正弦值求边长、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）先求出的度数，再根据角平分线的尺规作图可得是的角平分线，进而可得的度数，然后根据三角形的外角性质求解即可； （2）先根据角平分线的性质定理可得，再解直角三角形可得的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由题意得：是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵是的角平分线，，且， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·北京西城·二模）如图，在中，，是的中点，连接，过点作交的平行线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.55 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）首先根据，再结合、，可推出，依据平行四边形判定定理即可证明． （2）首先利用平行四边形的性质，得到，结合是中点的条件，求出；再根据，在中利用正切的定义求出，得。由勾股定理求得 ，最后用勾股定理计算的长． 【详解】（1）证明：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 即 ． 又 ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵ 四边形是平行四边形， ． ∵D是中点， ． ∵在中，， 即 ， ∴ ． ∵在中， ， 代入，， 得 ， 解得 （边长为正，舍去负根）， ∴ 在中，由勾股定理： ． 9. （25-26九年级上·山东威海·阶段检测）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简、特殊角三角函数值的混合运算 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． C组 思维拔高 1．如图，已知等腰梯形，腰，对角线，且梯形的面积为，则 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、求角的正弦值、等腰三角形的性质和判定、等腰梯形的性质定理 【分析】过A作 ，交延长线于M， 作于N，根据等腰梯形的性质可得，可证四边形是平行四边形，进而可证是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，根据三角形的面积可得，根据正弦的定义即可得解． 【详解】解：过A作 ，交延长线于M，作于N， 四边形是等腰梯形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）如图，在正方形中，点E在的延长线上，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接，，则的余弦值为（   ）． A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、判断三边能否构成直角三角形、求角的余弦值 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出的余弦值． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵点F是的中点， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴，即C选项符合题意． 3．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，则的面积为________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、已知正弦值求边长、勾股定理与折叠问题、平行四边形性质和判定的应用 【分析】连接，交于点W，过G点作，交于点H，先求出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定求出四边形为菱形，求出，，再求出，的长，再根据正弦求出的长，最后根据三角形面积公式可得答案． 【详解】解：如下图，连接，交于点W，过G点作，交于点H， 四边形为平行四边形， ， 为的中点，， ， 由折叠的性质，得， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 的面积为． 4. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 【答案】 或/或 【难度】0.55 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、根据矩形的性质求线段长 【分析】分F靠近点A和F靠近点B两种情况，过F作于G，利用矩形性质和勾股定理求出和的长度，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 点F靠近点A，垂足G在上时： 如图1，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，是中点， ∴ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ； ② 点F靠近点B，垂足G在上时： 如图2，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， 综上，的值为或． 5. （26-27九年级上·湖南·阶段检测）如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半、求角的正切值 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长交的延长线于点，连接，先证出，再得出，进而可得，然后利用勾股定理求出的长，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴在中，． （2）解：如图，延长交的延长线于点，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 拓展 链接中考 1．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三线合一、求角的余弦值 【分析】过点作于，用等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， 在中， ． 2．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据正方形的性质求角度、求角的正切值 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 3．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解、求角的正弦值、根据矩形的性质求线段长 【分析】作垂线于，先利用勾股定理计算的长度，再利用面积法求出的长度，最后通过正弦的定义求出的值． 【详解】解：如图，作于，则， 四边形为矩形， ， ． 纸片沿方向平移到， ， ， ． ，， 的面积， ， ． 4．（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【难度】0.75 【知识点】已知正切值求边长、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 5．（2026·山东济南·中考真题）如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题、三角函数综合、特殊三角形的三角函数 【分析】点M作，交的延长线于点K，设，则，根据勾股定理，求得，；继而就可以确定；过点E作于点H，证明，继而得到，解答即可． 【详解】解：如图，过点M作，交的延长线于点K，根据折叠的性质，得， 由平行四边形纸片中，，，， ，，， ， 设，则， ，， ， ， ， 根据勾股定理，得， 解得， ∴； ，， ， ； 过点E作于点H， ，，， 由平行四边形纸片中，， 则， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 6．（2026·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂、特殊三角形的三角函数 【详解】解： ． 7．（2026·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【详解】解： 8．（2025·江西南昌·中考真题）（1）计算： （2）如图，在等腰中，平分交于点，平分交于点，求证：为等腰三角形． 【答案】（1）； （2）证明：∵平分交于点，平分交于点， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、特殊三角形的三角函数 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定、实数的混合运算等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质、特殊角的三角函数是关键． （1）根据立方根的定义，绝对值，零次幂的定义、特殊角的三角函数值依次化简后计算加减法即可得到结果； （2）证明，得到，即可证明为等腰三角形． 【详解】解：（1） ； （2）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 23.3锐角三角函数 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01锐角三角函数概念 题型02求角的三角函数值 题型03根据三角函数求边长 题型04由三角函数值判断三角形形状 题型05特殊角的三角函数 题型06根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型07三角函数综合 题型08用计算器求三角函数值 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01锐角三角函数概念 1.c 2.A 3.60° 4.4sina 题型02求角的三角函数值 5.A 6.B 7.A 8. 5/0.6 91047 41 104 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03根据三角函数求边长 13/41 11.B 12.C 13.B 14. 9 15.3 6 16.13 题型04由三角函数值判断三角形形状 17.C 18.等边 19.钝角三角形或等腰三角形 题型05特殊角的三角函数 20.A 21.A 22.sin60 C0s30° sin 45 c0s45° tan45° tan 60 23.【详解】(1)解： 原式=2×号+2×号+4×1 2 =1+1+4 =6: (2)解：原式=( 3+21 44 51 4 =1 题型06根据特殊角的三角函数值求角的度数 24.B 25.D 26.B BC 27.解：在Rt△BDC中，sin∠BDC= BD' BC=BDsin∠BDC=102×2=10. 2 在Rt△ABC中，sinA=BC-=10=1 AB202' ∴.∠A=30 2/6 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07三角函数综合 28.C 29.C 30.①②④ 题型08用计算器求三角函数值 31.B. 32.A. 33.C. B组 能力进阶 1.B 2.B 3.D 4.3<a<2 5.3<a<2 6.2或V5 7.【详解】(1)解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°， .∠ABC=90°-∠A=50°， 由题意得：BD是∠ABC的角平分线， :∠ABD=号∠ABC=250, .∠BDC=∠ABD+∠A=65°. (2)解：，∠C=90°， ∴.AC⊥CB, 又，BD是∠ABC的角平分线，DG⊥AB,且CD=3, ..DG=CD=3, :在Rt△ADG中，sinA=3 .DG_3 AD-5' :.AD=5DG-5, .AC=AD+CD=5+3=8 8.【详解】(1)证明：，∠ACB=90°，AE⊥AC, .∠EAC=∠ACB=90°， .AE‖BC, 即AE‖BD 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又BE‖AD, .四边形AEBD是平行四边形. E B D (2)解：·四边形AEBD是平行四边形， .AD=BE=2. ,D是BC中点， .∴.BC=2CD tR△A,a<Ac-瓷 即BC=2AC, .CD=AC. ,在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2, 代入CD=AC,AD=2, 得AC2+AC2=22, 解得AC=V2(边长为正，舍去负根)， ..BC=2AC=22 在Rt△ABC中，由勾股定理：AB=VAC2+BC2=2+2V27=V10. 9【详解1①：原式=（要+3×-4×1-2 3 =1+1-2+1-4 2 s. 2 :原要5啊 X 23 =1+1-(3-1) 22 =1-V3+1 =2-V3. 416 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 53V133/13V5 1.D 2.C 3. 含645 3 5或1313或写 4. 5.【详解】(1)解：，AF⊥BC,AF=3,BF=1, ∴AB=-VAF2+BF2=/10, ,点E是AB的中点， 在R△AB中，bF号AB=四 21 (2)解：如图，延长FE交DA的延长线于点G,连接FD, D 点E是AB的中点， ..AE=BE, ,四边形ABCD是平行四边形，FC=3,BF=1, .'.AD BC,AD=BC=BF+FC=4, .∠G=∠BFE,∠EAG=∠B, 在△AEG和△BEF中， b, ∴.△AEG≌△BEF AAS, ∴GE=EF= 20,AG=BF=1, V10 .DG=AD+AG=5, 又AD‖BC,AF⊥BC, ∴.AF⊥AD, 在Rt△ADF中，DF=AF2+AD=5, ..DF=DG. 又，GE=EF, ∴.DE⊥FG(等腰三角形的三线合一)， 5/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a在Rt△DG中，DE=DG3-GE-5- 10_3V10 2 21 V10 tan∠ADE=GE、 2 DE 3910 3 2 拓展 链接中考 3. 6V13 1.B 2.B 65 4.6 5. 5 6.0 7.5 8.解：(1)-8+-2+1+(999+1)°-cos45° -2+1+1) .2 2： (2)证明：，EA平分∠CAD交BC于点E,DA平分∠BAE交BC于点D, ∴.∠BAD=∠DAE,∠CAE=∠DAE, .∠BAD=∠CAE, ,△ABC是等腰三角形， ∴AB=AC,∠B=∠C, ∴.△ABD≌△ACEASA, ∴.AD=AE, .△DAE为等腰三角形. 616 分层作业 23.3 锐角三角函数 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 锐角三角函数概念 题型02 求角的三角函数值 题型03 根据三角函数求边长 题型04 由三角函数值判断三角形形状 题型05 特殊角的三角函数 题型06 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型07 三角函数综合 题型08 用计算器求三角函数值 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 锐角三角函数概念 1．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2. （26-27九年级上·全国·单元测试）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3. （2025·四川成都·一模）在中，，，则 ______． 4. 如图所示，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为______米． 题型02 求角的三角函数值 5．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，在矩形中，交于点，将翻折得到，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 7. （2026九年级上·山东·专题练习）在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 8. （25-26九年级上·广东揭阳·期末）在中，，若，则_____． 9.已知a，b，c分别是中，，的对边，且a，b，c满足，若，则的值为________． 10.（2026·上海·中考真题）在中，，，，则的值为________． 题型03 根据三角函数求边长 11. （26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 12. （2026·广东深圳·三模）在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 13. 如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 14. （25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，D为边上的一点，，，则________． 15.（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 16.（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为______． 题型04 由三角函数值判断三角形形状 17. 如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 18. （2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 19. （25-26九年级上·甘肃天水·期中）在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 题型05 特殊角的三角函数 20.（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）当时，则的值是（   ） A． B． C． D． 21.（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 22.（26-27九年级上·全国·课后作业）用特殊角的三角函数填空： ______=______；______=______；1=______；______． 23.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）计算： (1)； (2)． 题型06 根据特殊角的三角函数值求角的度数 24.（26-27九年级上·北京·随堂练习）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 25.若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 26.已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 27.如图，在中，，点D在AC上．已知，求的度数． 题型07 三角函数综合 28.如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 29.如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使．利用工具测得米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 30.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 题型08 用计算器求三角函数值 31.（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 32.（25-26九年级上·山东淄博·期中）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅垂高度上升了，在用科学计算器求坡角的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 33.（25-26九年级上·山东淄博·期中）2024年我国粮食产量首次突破万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米． ①用计算器求输送带部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为 ②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米； ③坡角为； ④；以上说法正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B组 能力进阶 1. （25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 2. （2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是边上一点，且，连接．已知，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3. （25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 4. （2026·广东肇庆·三模）如图，在中，，，先以点C为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点G，再分别以点G和点A为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；画射线交于点D．若，则的长为________． 5. 在△ABC中，AB＝，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是____． 6. （25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）是直角三角形，，，则的长为_______． 7. （25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，以为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 8．（2026·北京西城·二模）如图，在中，，是的中点，连接，过点作交的平行线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 9. （25-26九年级上·山东威海·阶段检测）计算： (1)． (2) C组 思维拔高 1．如图，已知等腰梯形，腰，对角线，且梯形的面积为，则 的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）如图，在正方形中，点E在的延长线上，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接，，则的余弦值为（   ）． A． B． C． D．2 3．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，则的面积为________． 4. （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 5. （26-27九年级上·湖南·阶段检测）如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 拓展 链接中考 1．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 2．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 4．（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 5．（2026·山东济南·中考真题）如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 6．（2026·江苏宿迁·中考真题）计算：． 7．（2026·湖南长沙·中考真题）计算：． 8．（2025·江西南昌·中考真题）（1）计算： （2）如图，在等腰中，平分交于点，平分交于点，求证：为等腰三角形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $