期中模拟卷（第一章、第二章、第三章）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

期中测试（第一章、第二章、第三章） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|1﹣x＜2}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2} B．{﹣2，﹣1} C．{1，2} D．{0，1，2} 2．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列四组函数中表示同一个函数的是（　　） A． B．f（x）＝x2，g（x）＝（x+1）2 C． D． 4.函数的大致图象为（　　） A． B． C． D． 5.设集合A＝{1，2}，集合B＝{x|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为（　　） A．1 B．3 C．7 D．8 6.若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣2，0） C． D．[﹣2，0） 7.对满足2x+y＝2xy的任意正实数x、y，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8.某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加 化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8 名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（　　）名 A．7 B．8 C．9 D．10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，错误的是（　　） A．“x＝2”是“x2﹣3x+2＝0”的必要不充分条件 B．∀x∈R，x2+1＞2x C．命题“∃x∈R，x2+1＝x”的否定为假命题 D．“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件 10.已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞） B．f（x）在[﹣1，0]上的值域为[2﹣a，1] C．若f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则a＜1 D．若a＞1，则f（x）在定义域上单调递增 11.已知a，b为正实数，且ab＝14﹣2a﹣b，则（　　） A．ab的最大值为 B．a+b的最小值为3 C．2a+b的最大值为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为　 　． 13.已知集合M＝{x∈N|2＜x＜a}，若集合M有8个子集，则实数a的取值范围为　 　． 14.若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2（a＞0）的解集为[﹣1，3]，则a﹣b﹣c的取值范围是 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a+1}． （1）若a＝2，求M∩（∁RN）； （2）若M∪N＝M，求实数a的取值范围． 16．（15分）（1）∀x∈R，kx2+2kx﹣k﹣4＜0恒成立，求实数k的取值范围； （2）证明：“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件． 17．（15分）某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产x万件，需增加投入成本为C（x）万 元．当年产量不足9万件时，；当年产量不小于9万件时， ．通过市场分析，每件产品售价定为500元，且该厂年内生产的产品能全部销 售出去，获得的年利润为L（x）万元．（利润＝销售收入﹣总成本） （1）求年利润L（x）的函数解析式； （2）求年产量x为多少时，该厂的年利润L（x）最大？ 18．（17分）已知函数f（x）对于任意的x都有． （1）求f（x）的解析式； （2）设函数g（x）＝ax2+2ax+1（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，3]，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求a的取值范围． 19．（17分）已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0， 又f（1）＝﹣2． （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论； （3）当时，f（kx2）+f（2x）+2＞0恒成立，求实数k的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中测试（第一章、第二章、第三章） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|1﹣x＜2}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2} B．{﹣2，﹣1} C．{1，2} D．{0，1，2} 解：因为A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|1﹣x＜2}＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：D． 2．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件.故选：A． 3．下列四组函数中表示同一个函数的是（　　） A． B．f（x）＝x2，g（x）＝（x+1）2 C． D． 解：对于A：因为g（x）的定义域为R，f（x）的定义域为{x|x≠1}，所以A中两个函数不表示同一个函数； 对于B：因为f（x）＝x2，g（x）＝（x+1）2两个函数的对应关系不一致，所以B中两个函数不表示同一个函数； 对于C：因为与g（x）＝|x|，解析式相同，且两个函数的定义域均为R，所以C中两个函数表示同一个函数； 对于D：因为两个函数的定义域不一致，所以D中两个函数不表示同一个函数． 故选：C． 4.函数的大致图象为（　　） A． B． C． D． 解：函数，由x2﹣9≠0，可得x≠±3，故f（x）的定义域为{x|x≠±3}，关于原点对称， 且，所以f（x）是奇函数，排除D． 当x＞3时，f（x）＞0，排除C． 当0＜x＜3时，f（x）＜0，排除A． 故选：B． 5.设集合A＝{1，2}，集合B＝{x|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为（　　） A．1 B．3 C．7 D．8 解：由题意可知，集合A＝{1，2}，集合B＝{x|ax﹣1＝0}，且B⊆A， 当a＝0时，B＝∅，满足题意， 当a≠0时，B＝{}，则或，解得a＝1或，所以数a取值集合为， 所以实数a取值集合的真子集的个数为23﹣1＝7．故选：C． 6.若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣2，0） C． D．[﹣2，0） 解：由题意可得：，解得a＜0，所以实数a的取值范围为[，0）． 故选：C． 7.对满足2x+y＝2xy的任意正实数x、y，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解：由题意满足2x+y＝2xy的任意正实数x、y，不等式恒成立， 可将化简2x+y＝2xy得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即， 不等式恒成立，即， 解得，即实数m的取值范围是．故选：D． 8.某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加 化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8 名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（　　）名 A．7 B．8 C．9 D．10 解：画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有26﹣（6+7+5）＝8人， 单独参加物理的有25﹣（6+7+8）＝4人，单独参加化学的有23﹣（5+7+8）＝3， 故参赛人数共有8+4+3+6+7+8+5＝41人，没有参加任何竞赛的学生共有51﹣41＝10人． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，错误的是（　　） A．“x＝2”是“x2﹣3x+2＝0”的必要不充分条件 B．∀x∈R，x2+1＞2x C．命题“∃x∈R，x2+1＝x”的否定为假命题 D．“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件 解：对于A选项，解方程x2﹣3x+2＝0可得x＝1或x＝2，故“x＝2”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件，A错； 对于B选项，当x＝1时，x2+1＝2x，B错； 对于C选项，对于方程x2﹣x+1＝0，Δ＝1﹣4＜0，即方程x2﹣x+1＝0无实解， 故命题“∃x∈R，x2+1＝x”为假命题，其否定为真命题，C错； 对于D选项，“三角形为等腰三角形”推不出“三角形为正三角形”，但“三角形为等腰三角形”⇐“三角形为正三角形”，故“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件，D对．故选：ABC． 10.已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞） B．f（x）在[﹣1，0]上的值域为[2﹣a，1] C．若f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则a＜1 D．若a＞1，则f（x）在定义域上单调递增 解：因为，对于A，由x+2≠0，得x≠﹣2， 则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞），故A正确； 对于B，，由x∈[﹣1，0]，可得x+2∈[1，2]，则， 当a＝1时，f（x）＝a，则f（x）在[﹣1，0]上的值域为{1}； 当a＜1时，，，即f（x）在[﹣1，0]上的值域为[1，2﹣a]； 当a＞1时，，，即f（x）在[﹣1，0]上的值域为[2﹣a，1]． 综上，当a＝1时，f（x）在[﹣1，0]上的值域为{1}；当a＜1时，f（x）在[﹣1，0]上的值域为[1，2﹣a]； 当a＞1时，f（x）在[﹣1，0]上的值域为[2﹣a，1]，故B错误； 对于C，，若f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则2﹣2a＞0，解得a＜1，故C正确； 对于D，，则a＞1时，2﹣2a＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增，故D错误． 故选：AC． 11.已知a，b为正实数，且ab＝14﹣2a﹣b，则（　　） A．ab的最大值为 B．a+b的最小值为3 C．2a+b的最大值为 D．的最大值为 解：A，由a，b为正实数，则14﹣ab＝2a+b，所以，解得，当且仅当，即时取等号，正确； B，由ab＝14﹣2a﹣b，且a、b为正实数，则（a+1）（b+2）＝16，所以5，当且仅当a+1＝b+2＝4，即a＝3，b＝2时，不等式取等号，错误； C，由a，b为正实数，且，即，所以，当且仅当，即时取等号，错误； D，由B有（a+1）（b+2）＝16，则，当且仅当，即a＝3，b＝2时取等号，正确． 故选：AD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为　 　． 解：由题意，，解得，则函数的定义域为． 故答案为：． 13.已知集合M＝{x∈N|2＜x＜a}，若集合M有8个子集，则实数a的取值范围为　 　． 解：由集合的子集个数计算公式f（n）＝2n（其中n表示集合的元素个数，n∈N）， 当集合M有8个子集，设集合M的元素个数为n，则2n＝8＝23，解得n＝3，故集合M中包含3个符合条件的元素：3，4，5； 所以集合M＝{x∈N|2＜x＜a}＝{3，4，5}； 当a＜5时，集合M中元素个数少于三个，不合题意； 当a＝5时，M＝{x∈N|2＜x＜5}，M中有两个元素3，4，不合题意； 当5＜a＜6时，M中有三个元素3，4，5；满足题意； 当a＝6时，满足集合M中有三个元素3，4，5；满足题意； 当a＞6时集合M中有除了三个元素3，4，5，还可能有其它元素存在，不合题意； 综上可得：5＜a≤6，即实数a的取值范围为（5，6]．故答案为：（5，6]． 14.若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2（a＞0）的解集为[﹣1，3]，则a﹣b﹣c的取值范围是 　． 解：当a＞0时，若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2的解集为{x|﹣1≤x≤3}， 则0≤ax2+bx+c恒成立，即解集为R，b2﹣4ac≤0①， 故ax2+bx+c≤2的解集为{x|﹣1≤x≤3}，所以x＝﹣1，x＝3为方程ax2+bx+c＝2的根， 即，故b＝﹣2a，c＝2﹣3a， 所以b2﹣4ac＝4a2﹣4a（2﹣3a）≤0，a＞0，解得， 所以a﹣b﹣c＝a+2a+3a﹣2＝6a﹣2∈（﹣2，1]． 故答案为：（﹣2，1]． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a+1}． （1）若a＝2，求M∩（∁RN）； （2）若M∪N＝M，求实数a的取值范围． 解：（1）若a＝2，则N＝{x|3≤x≤5}， 则∁RN＝{x|x＞5或x＜3}； 则M∩（∁RN）＝{x|﹣2≤x＜3}； （2）若M∪N＝M， 则N⊆M， ①若N＝∅，即a+1＞2a+1，得a＜0，此时满足条件， ②当N≠∅，则满足，得0≤a≤2， 综上a≤2． 16．（15分）（1）∀x∈R，kx2+2kx﹣k﹣4＜0恒成立，求实数k的取值范围； （2）证明：“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件． 解：（1）当k＝0时，﹣4＜0恒成立，符合题意； 当k≠0时，，解得﹣2＜k＜0； 综上所述：实数k的取值范围为（﹣2，0]； （2）证明：必要性：若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根，设两个根为x1，x2， 则，解得m＜0，必要性成立； 充分性：若m＜0，则Δ＝4﹣4m＞0， 可知原方程有两个互异实根，设两根分别为x1，x2，则x1x2＝m＜0， 于是方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根，充分性成立； 所以“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件． 17．（15分）某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产x万件，需增加投入成本为C（x）万 元．当年产量不足9万件时，；当年产量不小于9万件时， ．通过市场分析，每件产品售价定为500元，且该厂年内生产的产品能全部销 售出去，获得的年利润为L（x）万元．（利润＝销售收入﹣总成本） （1）求年利润L（x）的函数解析式； （2）求年产量x为多少时，该厂的年利润L（x）最大？ 解：（1）某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产x万件，需增加投入成本为C（x）万元， 当年产量不足9万件时，，当年产量不小于9万件时，， 当0≤x＜9时，， 当x≥9时，， 所以年利润L（x）的函数解析式为； （2）当0≤x＜9时，， 所以当x＝6时，L（x）取得最大值，最大值是900万元， 当x≥9时，， 当且仅当，即x＝10时等号成立， 所以当x＝10时，L（x）取得最大值，最大值是800万元， 因为900＞800，所以，年产量为6万件时，该厂年利润L（x）最大． 18．（17分）已知函数f（x）对于任意的x都有． （1）求f（x）的解析式； （2）设函数g（x）＝ax2+2ax+1（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，3]，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求a的取值范围． 解：（1）已知函数f（x）对于任意的x都有， 则， 联立， 解得． （2）若对任意的x1∈[﹣1，3]，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）成立， 可得f（x）在[﹣1，3]上的值域是g（x）在[﹣1，2]上的值域的子集， 由（1）可得，当x∈[﹣1，3]时，； g（x）＝ax2+2ax+1（a＞0）的图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，在[﹣1，2]上单调递增； 所以g（x）在[﹣1，2]上的最小值为g（﹣1），最大值为g（2）； 可得，解得，所以a的取值范围为． 19．（17分）已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0， 又f（1）＝﹣2． （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论； （3）当时，f（kx2）+f（2x）+2＞0恒成立，求实数k的取值范围． 解：（1）取x＝y＝0，则f（0+0）＝2f（0），∴f（0）＝0． 取y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）， ∴f（﹣x）＝﹣f（x）对任意x∈R恒成立，∴f（x）为奇函数． （2）证明：任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2﹣x1）＜0， f（x2）＜﹣f（﹣x1），又f（x）为奇函数， ∴f（x1）＞f（x2）．∴f（x）是R上的减函数． （3）因f（x）是奇函数，从而不等式f（kx2）+f（2x﹣1）＞0等价于f（kx2）＜﹣f（2x﹣1）＝f（1﹣2x），因f（x）在R上是减函数，由上式得 kx2＜1﹣2x， 即对一切有：恒成立， 设，令，则有g（t）＝t2﹣2t，， ∴g（x）min＝g（t）min＝g（1）＝﹣1，∴k＜﹣1， 即k的取值范围为（﹣∞，﹣1）． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $