专题02一元二次方程的应用及根与系数的关系期中复习讲义（核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题02一元二次方程的应用及根与系数的关系期中复习讲义 ✵复习目标 1.掌握一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，利用两根之和、两根之积对代数式整体求值，依据两根条件求参数的值或取值范围。 2.掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤，能识别增长率、图形面积、销售利润、单循环计数等教材常见模型，正确建立方程。 3.能对应用题的解进行检验，舍去不符合实际意义的根。 4.能结合根的判别式与根与系数的关系进行综合求解，牢记结论使用的前提条件。 ✵高频题型梳理 题型1.一元二次方程的根与系数的关系 题型2.传播问题(一元二次方程的应用) 题型3.增长率问题(一元二次方程的应用) 题型4.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型5.数字问题(一元二次方程的应用) 题型6.营销问题(一元二次方程的应用) 题型7.动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型8.工程问题(一元二次方程的应用) 题型9.行程问题(一元二次方程的应用) 题型10.图表信息题(一元二次方程的应用) 题型11.握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 题型12.其他问题(一元二次方程的应用) 题型13.分层专项训练 ✵核心知识梳理 【知识点一、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）】 定理内容：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ==4ac≥时有两个实数根为、，则+=-，= 2.简化形式：当二次项系数a=1，方程为+px+q=0,则+=﹣p,=q. 3.适用前提：（1）必须是一元二次方程，a≠0；（2）方程要有实数根，即Δ≥0；（3）方程要先化为一般形式再确定a,b,c. 【知识点二、两根常见代数式恒等变形】 核心思想：把所求代数式转化为只含有+、的式子，实现整体代入，不需要求出方程的根。 【知识点三、由根的符号判断系数特征】 ----- 两根同正 两根同负 Δ Δ≥0 Δ≥0 两根之和 +>0 +<0 两根的积 >0 >0 两根异号，只需满足<0，必然Δ>0 重点提示：1.应用根与系数的关系有两个必要前提：a≠0，Δ≥0；已知两根情况求参数，求出参数后必须检验判别式。 2.两根之和公式含有负号，是高频易错点。 3.若方程无实数根，根与系数的关系不适用。 【知识点四、一元二次方程的应用】 1. 用一元二次方程解决实际问题的解题步骤： （1）审题：梳理题干已知条件与所求未知量，找准核心等量关系； （2）设元：合理设出未知数，优先直接设元，复杂题型可间接设元； （3）建模：根据等量关系列出规范的一元二次方程； （4）求解：选用适配方法解方程，准确计算未知数取值； （5）验根：结合方程定义和实际场景双重检验，舍去负数、超范围等不合题意的根。 （6）作答：规范书写最终结论。 【知识点五、常见实际问题与等量关系】 【知识点六、几何动点类应用】 1.设运动时间t为未知数，用含t的代数式表达变化的线段长度。 2.结合面积、勾股定理建立一元二次方程；求出t之后，必须检验t是否符合动点运动的时间范围，舍去超出运动区间的解。 ✵要点提示 1.利用根与系数的关系求参数，求出参数后，必须回代检验Δ≥0与a≠0。 2.两根代数式求值优先整体代换，一般不解方程单独求根。 3.面积问题可画图辅助分析，平移法简化计算，注意避免重复计算道路重叠部分。 4.应用题设未知数时，未知数一般不带百分号；解出负数或不符合现实的根，直接舍去。 5.区分单循环与双循环模型：双循环总次数为n(n-1)，期中重点考查单循环。 ✵典例精讲 题型1.一元二次方程的根与系数的关系 1．若是一元二次方程的两根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．设，是方程的两个实数根，则的值为________． 3．已知关于的方程 有两个不相等实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得方程两根的倒数之和等于？若存在，求出；不存在，请说明理由． 题型2.传播问题(一元二次方程的应用) 1．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，若收到小昆邀请的人也同样参与了活动，并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程________． 3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 题型3.增长率问题(一元二次方程的应用) 1．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元．若设该校今明两年在实验器材投资的年平均增长率是x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程_________． 3．某小区2023年的绿化面积为2000平方米，经过两年绿化建设，到2025年绿化面积达到2880平方米．求这两年绿化面积的平均年增长率． 题型4.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 1．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为x米，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，且围成的鸡场面积为平方米，设垂直于墙的一边长为，则的值为 ________ 3．某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．如图，该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成，围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． (1)若要使围成的矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽． (2)若在边留的小门，能围成一个面积为的矩形试验田吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 题型5.数字问题(一元二次方程的应用) 1．由下面的与人工智能的对话可知，人工智能给出的正确答案为（     ） 新对话有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．深度思考中… A． B． C．1 D．或1 2．积幻方是由传统的和幻方衍生而来的，在的积幻方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积都相等．如图是一个的积幻方，则的值是___________． x 2 3．如图是2026年10月的月历，10月1日是国庆节．1949年10月1日，中华人民共和国正式成立，每年十月，我们都会欢度国庆．在如图所示的月历中，用方框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 题型6.营销问题(一元二次方程的应用) 1．将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价（     ） A．10元 B．22元 C．2元或22元 D．10元或22元 2．商场销售某商品，如果每件盈利10元，每星期可卖出500件．经调查发现：每件涨价1元，每星期就少卖出20件．若该商场要保证每星期盈利6000元，则每件应涨价多少元？设该商品每件涨价元，则根据题意可列方程：___________．（不必化简） 3．某商店将进价为40元的商品按每件50元售出，每天可售出500件．经市场调查发现：售价每上涨1元，每天的销量就减少10件． (1)若商店每天想获得利润8000元，售价应定为多少元？ (2)若商店每天想获得利润8000元，且要使每天的销量尽可能大，售价应定为多少元？ 题型7.动态几何问题(一元二次方程的应用) 1．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，连接，点运动到点时，点也停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿，方向向点C匀速运动（到点C为止），它们的运动速度都是．经过____秒的面积为面积的一半． 3．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒，（）． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 题型8.工程问题(一元二次方程的应用) 1．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 2．某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 3．甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值． 题型9.行程问题(一元二次方程的应用) 1．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 2．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 3．如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 题型10.图表信息题(一元二次方程的应用) 1．某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从月份到月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（     ） A． B． C． D． 2．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 3．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 题型11.握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 1．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．香坊区篮球友谊赛采用单循环赛制（即每支球队与其他球队各赛1场），共赛36场，则参加本次比赛的队伍数量为________． 3．某校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间赛1场）． 乐乐和亮亮针对这次比赛有如下说法： 乐乐：本次比赛一共进行了30场． 亮亮：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是30场． 假设有人报名参加比赛． (1)根据乐乐的说法列出的方程是___________，请利用所列的方程分析亮亮的说法是否正确； (2)若本次比赛的确一共进行了30场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了2场比赛后就中途退赛，求的值． 题型12.其他问题(一元二次方程的应用) 1．已知线段的长为2，点在线段上，若满足，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 2．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高，列方程，并化成一般形式是_______ 3．学校舞蹈艺术团在开学典礼上进行汇报演出．开场阶段，全体参演同学整齐排列，组成一个正方形方阵．随着音乐的推进，表演队形随之变化：首先有7名同学出列担任领舞，其余同学迅速调整站位，组成一个长方形方阵．已知该长方形方阵的列数比原正方形方阵每边人数的2倍少3，行数比原正方形方阵每边人数少5．演出谢幕时，指导老师计划让全体参演同学排成一个长方形方阵（每行和每列的人数都大于1且不相等）．问这个计划能否实现？若能，求出长方形方阵每行和每列的人数；若不能，说明理由． ✵分层专项训练 一、单选题 1．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有人会做这道数学题．设一人每次教会了名同学，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．青山村所种植水稻某年平均每公顷产，两年后平均每公顷产，求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率．设这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．近两年，正定古城开展民居院落微更新改造，坚持“街区连片、百米见园、烟火重生、温暖古城”，兼顾历史街区保护与功能提质．某户居民打算依托自家院墙用栅栏修建一处矩形民俗小花园，花园的一边紧靠原有院墙（院墙不消耗栅栏）．如图，已知院墙最大可用长度为，花园另外三边用总长为的防腐木栅栏围起来，设垂直于院墙的一边为．若花园面积恰好为，则边的长为（     ） A． B． C．或 D． 5．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 二、填空题 6．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，设十位数字为x，列出求该十位数字的方程为_______． 7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出个小分支，那么根据题意可以列方程为___________． 8．我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了21场，设共有个班参加比赛，根据题意，列出方程为__________． 三、解答题 9．某果园原计划种100棵苹果树，平均每棵苹果树结400个苹果，现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个，但多种的苹果树不能超过50棵，设该果园多种棵苹果树． (1)则平均每棵苹果树的产量是_________个； (2)若要使总产量增加，求应多种多少棵苹果树？（假设苹果的大小不变） 10．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程________“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若这个方程是“限根方程”，则下列选项中满足条件的m可能的值是________（填序号）． ①    ②    ③    ④ (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程的应用及根与系数的关系期中复习讲义 ✵复习目标 1.掌握一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，利用两根之和、两根之积对代数式整体求值，依据两根条件求参数的值或取值范围。 2.掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤，能识别增长率、图形面积、销售利润、单循环计数等教材常见模型，正确建立方程。 3.能对应用题的解进行检验，舍去不符合实际意义的根。 4.能结合根的判别式与根与系数的关系进行综合求解，牢记结论使用的前提条件。 ✵高频题型梳理 题型1.一元二次方程的根与系数的关系 题型2.传播问题(一元二次方程的应用) 题型3.增长率问题(一元二次方程的应用) 题型4.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型5.数字问题(一元二次方程的应用) 题型6.营销问题(一元二次方程的应用) 题型7.动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型8.工程问题(一元二次方程的应用) 题型9.行程问题(一元二次方程的应用) 题型10.图表信息题(一元二次方程的应用) 题型11.握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 题型12.其他问题(一元二次方程的应用) 题型13.分层专项训练 ✵核心知识梳理 【知识点一、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）】 定理内容：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ==4ac≥时有两个实数根为、，则+=-，= 2.简化形式：当二次项系数a=1，方程为+px+q=0,则+=﹣p,=q. 3.适用前提：（1）必须是一元二次方程，a≠0；（2）方程要有实数根，即Δ≥0；（3）方程要先化为一般形式再确定a,b,c. 【知识点二、两根常见代数式恒等变形】 核心思想：把所求代数式转化为只含有+、的式子，实现整体代入，不需要求出方程的根。 【知识点三、由根的符号判断系数特征】 ----- 两根同正 两根同负 Δ Δ≥0 Δ≥0 两根之和 +>0 +<0 两根的积 >0 >0 两根异号，只需满足<0，必然Δ>0 重点提示：1.应用根与系数的关系有两个必要前提：a≠0，Δ≥0；已知两根情况求参数，求出参数后必须检验判别式。 2.两根之和公式含有负号，是高频易错点。 3.若方程无实数根，根与系数的关系不适用。 【知识点四、一元二次方程的应用】 1. 用一元二次方程解决实际问题的解题步骤： （1）审题：梳理题干已知条件与所求未知量，找准核心等量关系； （2）设元：合理设出未知数，优先直接设元，复杂题型可间接设元； （3）建模：根据等量关系列出规范的一元二次方程； （4）求解：选用适配方法解方程，准确计算未知数取值； （5）验根：结合方程定义和实际场景双重检验，舍去负数、超范围等不合题意的根。 （6）作答：规范书写最终结论。 【知识点五、常见实际问题与等量关系】 【知识点六、几何动点类应用】 1.设运动时间t为未知数，用含t的代数式表达变化的线段长度。 2.结合面积、勾股定理建立一元二次方程；求出t之后，必须检验t是否符合动点运动的时间范围，舍去超出运动区间的解。 ✵要点提示 1.利用根与系数的关系求参数，求出参数后，必须回代检验Δ≥0与a≠0。 2.两根代数式求值优先整体代换，一般不解方程单独求根。 3.面积问题可画图辅助分析，平移法简化计算，注意避免重复计算道路重叠部分。 4.应用题设未知数时，未知数一般不带百分号；解出负数或不符合现实的根，直接舍去。 5.区分单循环与双循环模型：双循环总次数为n(n-1)，期中重点考查单循环。 ✵典例精讲 题型1.一元二次方程的根与系数的关系 1．若是一元二次方程的两根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：一元二次方程中，，，． 由根与系数的关系得：．． 2．设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】1 【分析】，是方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵方程中，，， 根据根与系数的关系得：，. ∴． 3．已知关于的方程 有两个不相等实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得方程两根的倒数之和等于？若存在，求出；不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)解：不存在，理由如下： 设方程的两根为，， 由根与系数的关系得，， 由题意得，代入得，解得， 由（1）知方程有两个不相等实根需满足且，不符合条件，故不存在这样的实数． 【分析】（1）当时，原方程为一元一次方程，只有一个实数根，不符合题意；当时，原方程为一元二次方程，利用判别式求解即可； （2）设方程的两根为，，由根与系数的关系得，，根据建立关于n的方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，原方程为，解得，即原方程只有一个实数根，不符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵原方程有两个不相等实数根， ∴， ∴， ∴， ∴且； 综上所述，且； （2） 略 题型2.传播问题(一元二次方程的应用) 1．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，若收到小昆邀请的人也同样参与了活动，并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每人参与后仅转发一次，分轮计算新增被邀请人数，累加总人数即可列方程. 【详解】解：初始参与活动的人数为1， 第一轮转发，新增名被邀请者. 第二轮转发时，第一轮的名参与者每人邀请人，新增名被邀请者， ∵转发两轮后共有133人被邀请， ∴可列方程. 2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程________． 【答案】 【分析】主干共1个，每个支干长出个小分支，则支干总数为，小分支总数为，根据三类的总数为21即可列方程． 【详解】解：∵主干只有1个，主干长出个支干，因此支干总数为， ∵每个支干长出个小分支，因此小分支总数为， 已知主干、支干和小分支的总数是21， 因此可得方程． 3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 【答案】 每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑 【分析】设每轮平均一台电脑感染的台数为未知数，根据两轮感染后总感染台数为81列一元二次方程，舍去不合题意的负根得解. 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意，得 ， 解得，， ∵ 感染台数不能为负数， ∴ 不符合题意，舍去， ∴ 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑. 题型3.增长率问题(一元二次方程的应用) 1．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元．若设该校今明两年在实验器材投资的年平均增长率是x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该校今明两年在实验器材投资的年平均增长率是x， ∵去年对实验器材的投资为2万元， ∴今年投资额为万元，明年投资额为万元， ∵今明两年的投资总额为8万元， ∴. 2．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程_________． 【答案】 【分析】根据月增长率，分别表示出三个月的进馆人次，结合前三个月累计进馆750人次，即可列出方程． 【详解】解：∵第一个月进馆人次，进馆人次的月增长率为， ∴第二个月进馆人次为，第三个月进馆人次为， ∵前三个月累计进馆人次，即三个月进馆人次总和为， ∴可列方程为． 3．某小区2023年的绿化面积为2000平方米，经过两年绿化建设，到2025年绿化面积达到2880平方米．求这两年绿化面积的平均年增长率． 【答案】这两年绿化面积的平均年增长率为 【详解】解：设这两年绿化面积的平均年增长率为x． 由题意，得，即 解得， 因为，故不合题意，舍去， 所以得， 答：这两年绿化面积的平均年增长率为． 题型4.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 1．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为x米，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：（米）， ∵的长为米，长方形花圃的面积刚好为40平方米， ∴可列方程为． 2．如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，且围成的鸡场面积为平方米，设垂直于墙的一边长为，则的值为 ________ 【答案】 【分析】根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：或， 符合题意，不符合题意，舍去， ． 3．某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．如图，该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成，围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． (1)若要使围成的矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽． (2)若在边留的小门，能围成一个面积为的矩形试验田吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 【答案】(1)长为，宽为 (2)解：能围成一个面积为的矩形试验田．理由如下： 假设可以围成，设，则． 根据题意，得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去； ∴能围成一个面积为的矩形试验田，垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为． 【分析】（1）设，则，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设，则，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设，则． 根据题意，得， 整理得， 解得，． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 因此该矩形试验田的长为，宽为． （3） 略． 题型5.数字问题(一元二次方程的应用) 1．由下面的与人工智能的对话可知，人工智能给出的正确答案为（     ） 新对话有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．深度思考中… A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 2．积幻方是由传统的和幻方衍生而来的，在的积幻方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积都相等．如图是一个的积幻方，则的值是___________． x 2 【答案】32 【分析】根据积幻方规则列出方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：由题意，得 整理，得 解得（负值已舍去） 故x的值为32． 3．如图是2026年10月的月历，10月1日是国庆节．1949年10月1日，中华人民共和国正式成立，每年十月，我们都会欢度国庆．在如图所示的月历中，用方框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 【答案】5 【详解】解：设最小数为x，则最大数为． 根据题意，得． 解得，． 由题意可知， 所以不合题意，舍去． 所以． 答：这个最小数为5． 题型6.营销问题(一元二次方程的应用) 1．将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价（     ） A．10元 B．22元 C．2元或22元 D．10元或22元 【答案】C 【详解】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为件， 由题意得：， 整理得， 解得，， 则应降价2元或22元． 2．商场销售某商品，如果每件盈利10元，每星期可卖出500件．经调查发现：每件涨价1元，每星期就少卖出20件．若该商场要保证每星期盈利6000元，则每件应涨价多少元？设该商品每件涨价元，则根据题意可列方程：___________．（不必化简） 【答案】 【分析】设每件应涨价x元，得出周销售量将减少件，再由盈利额等于每件盈利乘以周销售量，进一步得方程即可． 【详解】解：设每件应涨价x元， 根据题意得. 3．某商店将进价为40元的商品按每件50元售出，每天可售出500件．经市场调查发现：售价每上涨1元，每天的销量就减少10件． (1)若商店每天想获得利润8000元，售价应定为多少元？ (2)若商店每天想获得利润8000元，且要使每天的销量尽可能大，售价应定为多少元？ 【答案】(1)售价应定为60元或80元； (2)售价应定为60元 【分析】（1）根据利润的计算公式来建立方程即可． （2）根据（1）的结果，按照题意分析即可． 【详解】（1）解：设售价应定为每件元，每件的利润为元，销售量为件， 则， ， ， ， ， ， 解得，， 答：售价应定为每件元或元； （2）解：由（1）知，当售价定为60元时，售价上涨了10元，每天的销量为件； 当售价定为80元时，售价上涨了30元，每天的销量为件． 要使每天的销量尽可能大，售价应定为60元． 答：售价应定为60元． 题型7.动态几何问题(一元二次方程的应用) 1．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，连接，点运动到点时，点也停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设运动时间为，则可得到，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的面积等于， ∴， 整理得或， ∵， ∴， ∴， ∴运动时间为． 2．如图，在中，，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿，方向向点C匀速运动（到点C为止），它们的运动速度都是．经过____秒的面积为面积的一半． 【答案】 【分析】先求出，设经过秒后的面积为面积的一半，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， 设经过秒后的面积为面积的一半， ∵点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿，方向向点C匀速运动（到点C为止），它们的运动速度都是， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为面积的一半， ∴， 整理得， 解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，经过秒的面积为面积的一半． 3．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒，（）． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得到，进而列出关于的方程，解方程即可． （2）根据矩形的性质得到，进而根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． （3）连接,列出表达面积的方程，解方程后即可得到答案． 【详解】（1）解：当点在的垂直平分线上时，即， ∴解得：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，整理得， ∴（不合题意，舍去）； （3）解：如图，连接, ∴，即， ∴解得：（不符合，故舍去）， ∴存在，． 题型8.工程问题(一元二次方程的应用) 1．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 【答案】 甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． 【分析】以乙队单独完成工程的时间为未知数，根据两队单独完成时间的乘积等于时间和的6倍的等量关系列方程，结合实际意义舍去负根后求解两队时间． 【详解】解：设乙队单独完成这项工程需个月，则甲队单独完成这项工程需个月， 由题意得， 整理得 ， 解得，， ∵工作时间不能为负数， ∴不符合题意，舍去， ∴ 甲队单独完成所需时间为（个月）， 答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． 2．某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 【答案】(1)小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷 (2)的值为2 【分析】（1）设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷， 由题意可得， 解得， ∴， ∴小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷； （2）解：由题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 3．甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件 (2)10 【分析】（1）设乙每小时生产个零件，根据甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等列方程求解即可； （2）根据已知信息列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙每小时生产个零件， 由题意得， 解得， 检验：当时，，符合题意， ∴甲每小时生产的零件为（个）， 答：甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件； （2）解：由题意得， 解得，（舍去）， 答：的值为10． 题型9.行程问题(一元二次方程的应用) 1．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 2．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 3．如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键. 题型10.图表信息题(一元二次方程的应用) 1．某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从月份到月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，3月销量为368，5月销量为450，且从3月份到5月份该厂家电车销售的平均月增长率为x， ∴可列方程：． 2．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍． 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 3．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确， 假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 题型11.握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 1．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：赛程共天，每天安排场， 总安排场数为（场）． 参赛的每个队之间都要比赛一场， 每队比赛场数为场，总比赛场数为场， 满足的关系式为． 2．香坊区篮球友谊赛采用单循环赛制（即每支球队与其他球队各赛1场），共赛36场，则参加本次比赛的队伍数量为________． 【答案】 【分析】设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的总场次规律列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设参加本次比赛的队伍数量为， 根据题意列方程得：， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴参加本次比赛的队伍数量为． 3．某校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间赛1场）． 乐乐和亮亮针对这次比赛有如下说法： 乐乐：本次比赛一共进行了30场． 亮亮：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是30场． 假设有人报名参加比赛． (1)根据乐乐的说法列出的方程是___________，请利用所列的方程分析亮亮的说法是否正确； (2)若本次比赛的确一共进行了30场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了2场比赛后就中途退赛，求的值． 【答案】(1)解：， 方程整理得． 解得，不是整数． 按照这个赛制，不应该是30场，故亮亮的说法正确． (2)9 【分析】（1）根据“单循环赛制”列出方程，求解后判断即可； （2）有1人比赛了2场后退出比赛，则还有人继续比赛，这人继续比赛的场数为，进而列方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：按照这个赛制，有1人比赛了2场后退出比赛，则还有人继续比赛，这人继续比赛的场数为． 由题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 的值为9． 题型12.其他问题(一元二次方程的应用) 1．已知线段的长为2，点在线段上，若满足，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的比例关系，结合线段和差列一元二次方程求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴ 解得，， ∵线段长度为正数， ∴，即线段的长是． 2．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高，列方程，并化成一般形式是_______ 【答案】 【分析】设雕像的上部高为，则下部高为，然后根据题意列出方程即可． 【详解】解：设雕像的上部高为，则下部高为， 由题意得：， 即． 3．学校舞蹈艺术团在开学典礼上进行汇报演出．开场阶段，全体参演同学整齐排列，组成一个正方形方阵．随着音乐的推进，表演队形随之变化：首先有7名同学出列担任领舞，其余同学迅速调整站位，组成一个长方形方阵．已知该长方形方阵的列数比原正方形方阵每边人数的2倍少3，行数比原正方形方阵每边人数少5．演出谢幕时，指导老师计划让全体参演同学排成一个长方形方阵（每行和每列的人数都大于1且不相等）．问这个计划能否实现？若能，求出长方形方阵每行和每列的人数；若不能，说明理由． 【答案】 解：不能，理由如下： 设原正方形队列每行x人，总人数人，7名同学出列后有人，出列后其余同学组成的长方形队，共列，行， 根据题意得， ，（舍去，因为此时行数为负数，不符合实际意义） ∴总人数为121人，不能分解成两个大于1的不等正整数相乘，即这个计划不能实现． 【分析】设原正方形队列每行x人，根据“长方形方阵的人数=总人数减去领舞人数”列方程求解，然后根据“每行和每列的人数都大于1且不相等”判断即可. 【详解】略 ✵分层专项训练 一、单选题 1．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个实数根，则，求出与的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 2．某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有人会做这道数学题．设一人每次教会了名同学，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：初始会做该题的人数为1， ∵第一节课1人教会名同学， ∴第一节课新增会做人数为，第一节课后会做总人数为， ∵第二节课会做的人每人教会名同学， ∴第二节课新增会做人数为， ∵全班共有人会做该题， ∴列方程得． 3．青山村所种植水稻某年平均每公顷产，两年后平均每公顷产，求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率．设这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵初始每公顷产量为， ∴第一年每公顷产量为，第二年每公顷产量为， ∵两年后每公顷产量为， ∴所列方程为． 4．近两年，正定古城开展民居院落微更新改造，坚持“街区连片、百米见园、烟火重生、温暖古城”，兼顾历史街区保护与功能提质．某户居民打算依托自家院墙用栅栏修建一处矩形民俗小花园，花园的一边紧靠原有院墙（院墙不消耗栅栏）．如图，已知院墙最大可用长度为，花园另外三边用总长为的防腐木栅栏围起来，设垂直于院墙的一边为．若花园面积恰好为，则边的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】设，则，根据花园面积列一元二次方程求解． 【详解】解：设，则， 根据题意可知，， 即， 解得，， 当，，不合题意，舍去， 当，，符合条件， 故． 5．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【答案】A 【分析】用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 【详解】解：点从到运动时间为：，点从到运动时间为：， 设点P，Q运动的时间为， ∴, ∴, 解得：或（舍去）． 二、填空题 6．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，设十位数字为x，列出求该十位数字的方程为_______． 【答案】 【分析】根据两位数的表示方法，再由这个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，即可列出方程． 【详解】解：由题意得，个位数字为， 则列方程为：． 7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出个小分支，那么根据题意可以列方程为___________． 【答案】 【分析】先梳理主干、支干、小分支的数量关系，然后根据总数量列方程． 【详解】解：主干的数量为1，是固定值； 设每个支干长出个小分支， 根据“主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支”可知， 支干的数量为个，小分支的数量为， 根据“主干、支干和小分支的总数是91”可以列出方程：． 8．我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了21场，设共有个班参加比赛，根据题意，列出方程为__________． 【答案】 【分析】根据单循环赛制的规则，推导总比赛场数的表达式，结合已知总场数列出方程． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， ∵已知总比赛场数为， ∴列方程得． 三、解答题 9．某果园原计划种100棵苹果树，平均每棵苹果树结400个苹果，现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个，但多种的苹果树不能超过50棵，设该果园多种棵苹果树． (1)则平均每棵苹果树的产量是_________个； (2)若要使总产量增加，求应多种多少棵苹果树？（假设苹果的大小不变） 【答案】(1) (2)若要使总产量增加，应多种棵苹果树 【分析】（1）根据每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个列代数式即可； （2）根据总产量增加，列方程解决即可； 【详解】（1）解：根据每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个，可得平均每棵苹果树的产量是个； （2）解：由题意得， 化简为， 解得， ∵多种的苹果树不能超过50棵， ∴， ∴若要使总产量增加，应多种棵苹果树． 10．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程________“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若这个方程是“限根方程”，则下列选项中满足条件的m可能的值是________（填序号）． ①    ②    ③    ④ (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 【答案】(1)是 (2)③ (3)的值为 【分析】（1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，，再根据“限根方程”的定义得到时，然后解关于的不等式即可； （3）先利用根与系数的关系得，，再利用可求得，，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定的值． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，， ，， 一元二次方程为“限根方程”； （2）解：因式分解得， ∴两个根为，或，， ∵， ∴两根都是负数， ∴，两根是和， ∵，， 若两根是，，则， ∴，解得； 观察四个选项③符合题意； （3）解：关于x的一元二次方程， 由根与系数的关系得，，代入条件得 ， 整理得， 解得，． 当时，方程， 解得，， ，，满足“限根方程”； 当时，方程， 解得，， ，，不满足，舍去； 综上，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $