专题02一元二次方程的应用及根与系数的关系期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题02一元二次方程的应用及根与系数的关系期中复习讲义 1.掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），会由方程直接写出两根之和、两根之积；已知两根，能构造对应的一元二次方程。 2.能够利用根与系数关系，求代数式的值，会处理含参数问题，注意结合判别式检验方程实数根存在性。 3.学会列一元二次方程解决实际问题：增长率问题、面积问题、销售利润问题、传播问题、动点几何问题，能找准等量关系列出方程。 4.掌握应用题解题完整步骤：审、设、列、解、验、答；重点检验解是否符合实际意义，舍去不合理的根。 5.能区分各类应用题型的等量关系模型，熟练建模；综合运用方程解法、判别式、韦达定理解决选择、填空与解答大题，规避计算与审题易错点。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 ★★ 题型二 传播问题 ★★ 题型三 增长率问题 ★★ 题型四 与图形有关的问题 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 营销问题 ★★★ 题型七 动态几何问题 ★★★★ 题型八 工程问题 ★★★ 题型九 行程问题 ★★★ 题型十 图表信息题 ★★★ 题型十一 握手、循环赛问题 ★★ 题型十二 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:韦达定理基础内容 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），若两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 记忆小技巧：和是负的一次比二次，积是常数比二次 2. 适用前提 必须是一元二次方程（a0） 方程必须有实数根（判别式 Δ=b2−4ac≥0） 3. 高频变形应用 已知方程，求 x12+x22​、等代数式的值 已知两根，反求一元二次方程：x2−(x1+x2)x+x1x2=0 已知一根，求另一根及方程中的参数 知识点02:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 知识点03:特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x1+x2=0，即 b=0，同时满足 Δ≥0； 2.两根互为倒数：x1x2=1，即 c=a，同时满足 Δ≥0； 4.两根一正一负：x1x2<0，此条件下Δ >0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点04:列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 知识点05：五大必考应用模型（全书核心，配标准公式） 模型一：增长率 / 下降率问题（考试最高频） 1.适用场景 连续两年、两次、两次以上涨价、降价、增产、减产。 2.核心公式 设：基数为 a，增长率为 x，增长次数 n，最终量 b a(1+x)n=b 下降率公式： a(1-x)n=b 3.关键说明 （1）每年增长率保持不变才可用公式； （2）n 为增长次数（不是年份）； （3）解出 (x>0)，负值舍去。 模型二：面积问题（几何应用题） 1.常见题型 矩形空地修路、边框、花圃、折叠、裁剪、靠墙围栏。 2.解题核心 （1）平移法：小路、过道统一平移到边上，拼成规则矩形； （2）用含 x 的式子表示新长、新宽； （3）根据面积公式列方程。 3.易错点 修路问题：横竖路重叠部分面积不要重复减去。 模型三：传播、分裂、循环问题（病毒、握手、比赛） 1. 病毒传播模型 一人感染，每轮每人感染 x 人，两轮后总感染人数： (1+x)2=总人数 2. 握手 / 单循环比赛模型 n 个人每两人握手一次，总次数： =总次数 3. 双循环（互赠礼物、互发消息） n(n-1)=总次数 模型四：销售利润问题（中考大题必考） 1.核心三大公式 单件利润 = 售价 − 进价 销量变化：涨价减销量、降价增销量 总利润 = 单件利润 销售总量 2.标准模板 设涨价 / 降价 x 元 新售价 = 原售价 x 新单件利润 =原利润 x 新销量 = 原销量变化量 x 代入：总利润 = 新利润 新销量，列二次方程。 模型五：动点几何问题（拔高压轴） 三角形、矩形中动点运动，设运动时间 t， 用 t 表示线段长，利用： 1.面积公式 2.勾股定理 列一元二次方程求解时间。 知识点06：五大模型汇总对比表（预习必背） 题型模型 核心公式 关键取舍原则 增长率问题 a(1+x)n=b 增长率为正，舍去负根 面积道路问题 新长 × 新宽 = 剩余面积 边长必须正数、小于原边长 传播问题 (1+x)2=总数 人数、次数为正整数 握手单循环 =总次数 人数n取正整数 销售利润 总利润 = 单件利润 × 销量 售价、销量、利润均为正数 题型一：一元二次方程的根与系数的关系 1．如果、是两个不相等的实数，，那么代数式______． 2．已知，是方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为，，且满足，求的值． 题型二：传播问题 4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出个小分支，那么根据题意可以列方程为___________． 5．有一种“点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在社交平台上发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，并邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人．如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起．转发两轮后共有73人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定每人“@”人，则可列出方程（     ） A． B． C． D． 6．某种流感病毒传播很快，开始有 2 人感染，经过两轮传染后共有 128 人感染（含最初的 2 人）． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)按照这样的传播速度，第三轮传染后共有多少人感染？ 7．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． (1)设的长为，若建成的饲养室总占地面积为，求的长； (2)假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡？ 题型三：增长率问题 8．2026美加墨世界杯，激起了世界各国人民的观赛热情．某转播平台6月28日到6月30日这三天比赛视频点击量的日增长率相同，6月28日的比赛视频的点击量为2000万，6月30日的比赛视频的点击量为3380万，设这三天比赛视频点击量的日增长率是，则可列方程为________． 9．为了绿化学校附近的荒山，某校九年级学生已连续三年春季上山植树，至今已成活了1805棵，已知这些学生在七年级时植树400棵，若平均成活率，求这些学生后两年植树棵数的年平均增长率．若设年平均增长率为，下面根据题意得到的方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：7月份售出300套，9月份售出432套．若月平均增长率相同，求该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率． 11．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加1台，售价每台可降低4元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的数量． 题型四：与图形有关的问题 12．如图，现要在一个长为40，宽为26的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为864，设小道的宽度是米，则可列方程______． 13．包头市某中学开展“数学实践・校园微规划”活动，同学们测得校园内一块矩形空地长为，宽为．计划在空地上划分非机动车停车位，并留出宽度均相等的通行车道（布局如图所示）．若停车位的总占地面积为，设车道的宽度为，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 14．某小区在宽，长的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 15．如图，利用一面墙（墙长），用总长度为的栅栏围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个宽的小门，设栅栏的长为． (1)__________（用含的代数式表示）． (2)若矩形鸡舍的面积为，求栅栏的长． (3)矩形鸡舍的面积是否有可能达到？若有可能，求出相应的值；若不可能，请说明理由． 题型五：数字问题 16．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，设十位数字为x，列出求该十位数字的方程为_______． 17．图1是我国古代传说中的洛书，洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，图2是一个不完整的三阶幻方，根据幻方的规则，由已知数据求出x的值应为（     ） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 18．如图1，这是一张2026年9月的月历表．在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出4个数（如3，4，10，11）．如图2，已知圈出的4个数a，b，c，d中，最小的数． (1)c的值为_________．（用含x的代数式表示） (2)若圈出的4个数中，，求b的值． 19．如图是2026年10月的月历，10月1日是国庆节．1949年10月1日，中华人民共和国正式成立，每年十月，我们都会欢度国庆．在如图所示的月历中，用方框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 题型六：营销问题 20．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱每降价1元，每天可多售出5箱．若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，设该甜瓜每箱降价x元，则根据题意可列方程为________． 21．某校九年级同学在“数学与生活”实践活动中了解到：某商店销售一种文创产品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．为了促销，商店决定降价销售．经调查发现，每降价1元，每月可多售出件．若要使每月利润达到元，设每件降价x元，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 22．某文具专柜销售一种进价为40元/个的书包，当售价为60元/个时，日销售量为100个．国庆期间，通过市场调查发现，这种书包的单价每降低2元，日销售量可增加20个．现准备降价x元销售，请回答： (1)降价销售后，每个书包获利______元，每天可售出书包______个． (2)若该专柜销售这种书包要想平均每天获利2240元，则每个书包应降价多少元？ (3)在（2）中平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该专柜销售这种书包的利润率是多少？ 23．根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 题型七：动态几何问题 24．如图，在中，，，．点P，Q同时由A，B两点出发分别沿，方向向点C匀速移动，它们的速度都是．当点Q到达点C时，点P，Q都停止运动，设运动时间为．当______时，的面积是面积的一半． 25．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，连接，点运动到点时，点也停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 26．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向终点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向终点C移动，当其中一点到达终点时，两点立即停止运动，设运动的时间为． (1)当时，________； (2)当的面积为时，求t的值． 27．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若，两点同时出发，当点运动到点时，，两点同时停止运动，连接． (1)几秒时，的面积为？ (2)判断的面积能否等于，并说明理由． 题型八：工程问题 28．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值． 29．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了，使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多，求的值． 30．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 题型九：行程问题 31．一列高铁减速进站，速度（），平均速度，行进距离；若高铁从开始减速已经前进了，此时高铁的速度为______． 32．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 33．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． (1)求返回时A、B两地间的路程； (2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 34．今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲乙行各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？ 请你画出示意图，并解决这个问题． 题型十：图表信息题 35．根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 36．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 37．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 题型十一：握手、循环赛问题 38．某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，设参加小组赛的球队有支，则可以列方程为___________． 39．某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 40．目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 41．某校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间赛1场）． 乐乐和亮亮针对这次比赛有如下说法： 乐乐：本次比赛一共进行了30场． 亮亮：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是30场． 假设有人报名参加比赛． (1)根据乐乐的说法列出的方程是___________，请利用所列的方程分析亮亮的说法是否正确； (2)若本次比赛的确一共进行了30场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了2场比赛后就中途退赛，求的值． 题型十二：其他问题 42．某联赛采用双循环赛制，如果比赛的总场数为306场，那么参加比赛的球队共有（     ） A．17支 B．18支 C．19支 D．20支 43．小明设计了一个纸牌魔术游戏，他准备了一副不含大、小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张纸牌，再让小红将这张纸牌的点数（、、、分别对应1，11，12，13，按数字取值）加上6，将上一步的结果乘这张纸牌的点数，再减去10．最后加上花色代号，其中花色黑桃、梅花、红桃、方块的代号分别是1、2、3、4，最后小红说出运算结果是9．由此，请你推断小红抽出的纸牌是___________． 44．某果园原计划种100棵苹果树，平均每棵苹果树结400个苹果，现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个，但多种的苹果树不能超过50棵，设该果园多种棵苹果树． (1)则平均每棵苹果树的产量是_________个； (2)若要使总产量增加，求应多种多少棵苹果树？（假设苹果的大小不变） 45．小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/秒平方．物体落地时的动能等于其重力势能，即动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5千克的物品坠落到地面产生了625焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程的应用及根与系数的关系期中复习讲义 1.掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），会由方程直接写出两根之和、两根之积；已知两根，能构造对应的一元二次方程。 2.能够利用根与系数关系，求代数式的值，会处理含参数问题，注意结合判别式检验方程实数根存在性。 3.学会列一元二次方程解决实际问题：增长率问题、面积问题、销售利润问题、传播问题、动点几何问题，能找准等量关系列出方程。 4.掌握应用题解题完整步骤：审、设、列、解、验、答；重点检验解是否符合实际意义，舍去不合理的根。 5.能区分各类应用题型的等量关系模型，熟练建模；综合运用方程解法、判别式、韦达定理解决选择、填空与解答大题，规避计算与审题易错点。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 ★★ 题型二 传播问题 ★★ 题型三 增长率问题 ★★ 题型四 与图形有关的问题 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 营销问题 ★★★ 题型七 动态几何问题 ★★★★ 题型八 工程问题 ★★★ 题型九 行程问题 ★★★ 题型十 图表信息题 ★★★ 题型十一 握手、循环赛问题 ★★ 题型十二 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:韦达定理基础内容 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），若两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 记忆小技巧：和是负的一次比二次，积是常数比二次 2. 适用前提 必须是一元二次方程（a0） 方程必须有实数根（判别式 Δ=b2−4ac≥0） 3. 高频变形应用 已知方程，求 x12+x22​、等代数式的值 已知两根，反求一元二次方程：x2−(x1+x2)x+x1x2=0 已知一根，求另一根及方程中的参数 知识点02:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 知识点03:特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x1+x2=0，即 b=0，同时满足 Δ≥0； 2.两根互为倒数：x1x2=1，即 c=a，同时满足 Δ≥0； 4.两根一正一负：x1x2<0，此条件下Δ >0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点04:列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 知识点05：五大必考应用模型（全书核心，配标准公式） 模型一：增长率 / 下降率问题（考试最高频） 1.适用场景 连续两年、两次、两次以上涨价、降价、增产、减产。 2.核心公式 设：基数为 a，增长率为 x，增长次数 n，最终量 b a(1+x)n=b 下降率公式： a(1-x)n=b 3.关键说明 （1）每年增长率保持不变才可用公式； （2）n 为增长次数（不是年份）； （3）解出 (x>0)，负值舍去。 模型二：面积问题（几何应用题） 1.常见题型 矩形空地修路、边框、花圃、折叠、裁剪、靠墙围栏。 2.解题核心 （1）平移法：小路、过道统一平移到边上，拼成规则矩形； （2）用含 x 的式子表示新长、新宽； （3）根据面积公式列方程。 3.易错点 修路问题：横竖路重叠部分面积不要重复减去。 模型三：传播、分裂、循环问题（病毒、握手、比赛） 1. 病毒传播模型 一人感染，每轮每人感染 x 人，两轮后总感染人数： (1+x)2=总人数 2. 握手 / 单循环比赛模型 n 个人每两人握手一次，总次数： =总次数 3. 双循环（互赠礼物、互发消息） n(n-1)=总次数 模型四：销售利润问题（中考大题必考） 1.核心三大公式 单件利润 = 售价 − 进价 销量变化：涨价减销量、降价增销量 总利润 = 单件利润 销售总量 2.标准模板 设涨价 / 降价 x 元 新售价 = 原售价 x 新单件利润 =原利润 x 新销量 = 原销量变化量 x 代入：总利润 = 新利润 新销量，列二次方程。 模型五：动点几何问题（拔高压轴） 三角形、矩形中动点运动，设运动时间 t， 用 t 表示线段长，利用： 1.面积公式 2.勾股定理 列一元二次方程求解时间。 知识点06：五大模型汇总对比表（预习必背） 题型模型 核心公式 关键取舍原则 增长率问题 a(1+x)n=b 增长率为正，舍去负根 面积道路问题 新长 × 新宽 = 剩余面积 边长必须正数、小于原边长 传播问题 (1+x)2=总数 人数、次数为正整数 握手单循环 =总次数 人数n取正整数 销售利润 总利润 = 单件利润 × 销量 售价、销量、利润均为正数 题型一：一元二次方程的根与系数的关系 1．如果、是两个不相等的实数，，那么代数式______． 【答案】 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 2．已知，是方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， ∴， ， ∴原式， 代入，得： 原式． 3．关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）先表示出根的判别式，再判断其正负即可证明结论； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，代入求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵已知关于的一元二次方程的两根为，， ∴由根与系数的关系可知：，， ∵， ∴，解得． 题型二：传播问题 4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出个小分支，那么根据题意可以列方程为___________． 【答案】 【分析】先梳理主干、支干、小分支的数量关系，然后根据总数量列方程． 【详解】解：主干的数量为1，是固定值； 设每个支干长出个小分支， 根据“主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支”可知， 支干的数量为个，小分支的数量为， 根据“主干、支干和小分支的总数是91”可以列出方程：． 5．有一种“点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在社交平台上发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，并邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人．如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起．转发两轮后共有73人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定每人“@”人，则可列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设参与该活动后规定“@”人，则第一轮小明1个人“@”个人，第二轮中x人又“@”个人，结合两轮后共有73人被邀请参与该活动列出方程即可． 【详解】解：根据题意可列方程， 选项D符合题意． 6．某种流感病毒传播很快，开始有 2 人感染，经过两轮传染后共有 128 人感染（含最初的 2 人）． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)按照这样的传播速度，第三轮传染后共有多少人感染？ 【答案】(1)7人 (2)1024人 【分析】（1）设平均一人传染了人，根据有2人感染，经过两轮传染后共有128人感染，列出方程求解； （2）根据（1）所求数据，进而表示出经过三轮传染后感染的人数． 【详解】（1）解：设平均一人传染了人， 根据题意得：， 化简得：， 解得：，（不符合题意舍去） 故每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）解：由（1）知：经过三轮传染后感染的人数为：（人）； 答：经过三轮传染后共有1024个人感染． 7．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． (1)设的长为，若建成的饲养室总占地面积为，求的长； (2)假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡？ 【答案】(1)饲养室总占地面积为时，的长为或 (2)每天传染中平均一只鸡传染了7只鸡 【分析】（1）根据题意得到之间的距离，进而列方程求解即可； （2）设每天传染中1只鸡传染了只鸡，根据“经过两天传染后，共有64只鸡受到感染”列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知之间的距离为 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 答：饲养室总占地面积为时，的长为或； （2）解：设每天传染中1只鸡传染了只鸡， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每天传染中平均一只鸡传染了7只鸡． 题型三：增长率问题 8．2026美加墨世界杯，激起了世界各国人民的观赛热情．某转播平台6月28日到6月30日这三天比赛视频点击量的日增长率相同，6月28日的比赛视频的点击量为2000万，6月30日的比赛视频的点击量为3380万，设这三天比赛视频点击量的日增长率是，则可列方程为________． 【答案】 【详解】解：设这三天比赛视频点击量的日增长率是，根据题意得 ． 9．为了绿化学校附近的荒山，某校九年级学生已连续三年春季上山植树，至今已成活了1805棵，已知这些学生在七年级时植树400棵，若平均成活率，求这些学生后两年植树棵数的年平均增长率．若设年平均增长率为，下面根据题意得到的方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据至今已成活了1805棵，得到三年的成活树木总和为1805，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可得. 10．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：7月份售出300套，9月份售出432套．若月平均增长率相同，求该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率． 【答案】该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率为 【详解】解：设该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率为． 11．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加1台，售价每台可降低4元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的数量． 【答案】(1) (2)200台 【分析】（1）设参加乒乓球运动人数的月均增长率为x，利用在世乒赛结束后两个月的参加乒乓球运动的人数在世乒赛结束时参加乒乓球运动的人数，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买m台这种乒乓球台，列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设该市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 即我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：设购买m台这种乒乓球台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得， 解得，（舍去）， 即购买的这种乒乓球台的数量为200台． 题型四：与图形有关的问题 12．如图，现要在一个长为40，宽为26的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为864，设小道的宽度是米，则可列方程______． 【答案】 【分析】根据平移的性质可知，种植花草的面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列方程即可． 【详解】解：设小道的宽度是米， 由题意得，． 13．包头市某中学开展“数学实践・校园微规划”活动，同学们测得校园内一块矩形空地长为，宽为．计划在空地上划分非机动车停车位，并留出宽度均相等的通行车道（布局如图所示）．若停车位的总占地面积为，设车道的宽度为，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设车道的宽度为，利用“平移法”将分散的停车位进行拼接，则拼合后的停车位的长为，宽为，再结合面积列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：设车道的宽度为，则拼合后的停车位的长为，宽为， 由题意可得． 14．某小区在宽，长的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【答案】道路宽为2米． 【分析】利用平移法将不规则的草坪图形转化为规则的矩形，从而简化面积表达，并根据题意列出方程求解，最后需根据实际意义对解进行取舍．观察图形可知，道路将矩形地面分割成了几块草坪。直接计算每一块草坪的面积比较繁琐，利用平移的思想，可以将图中的横向道路向上（或向下）平移至矩形边缘，将纵向道路向左（或向右）平移至矩形边缘，经过平移后，分散的草坪部分就拼凑成了一个完整的新矩形． 【详解】解：设道路的宽为米，原矩形地面的长为，宽为， 平移后，新矩形（草坪）的长变为，宽变为， 根据题意，得 整理得 解得， 因为矩形地面的宽只有，道路的宽度x必须小于20， 大于20，不符合实际情况，故舍去， 所以，道路的宽只能是． 答：道路宽为2米． 【点睛】遇到面积问题时，往往借助于面积公式列方程，如果图形中出现不规则的图形往往转化为规则的图形求解． 15．如图，利用一面墙（墙长），用总长度为的栅栏围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个宽的小门，设栅栏的长为． (1)__________（用含的代数式表示）． (2)若矩形鸡舍的面积为，求栅栏的长． (3)矩形鸡舍的面积是否有可能达到？若有可能，求出相应的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)解：矩形鸡舍的面积不可能达到，理由如下： 当矩形鸡舍的面积是时，根据题意得： ， 化简整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴矩形鸡舍的面积不能达到． 【分析】（1）根据四边形是矩形，即可得，再根据栅栏的总长度为，，即可求出的长． （2）根据列方程，解出即可得矩形鸡舍的面积为时，栅栏的长． （3）当矩形鸡舍的面积是时，再根据列方程，计算得此方程的，即可得矩形鸡舍的面积不能达到． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵栅栏的总长度为，， ∴（）， ∴（）． （2）解：根据题意得： ， 化简整理得：，解得：，， 当时，，符合题意． 当时，，超出了墙长，不符合题意，故舍去． ∴矩形鸡舍的面积为时，栅栏的长为． （3）略 题型五：数字问题 16．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，设十位数字为x，列出求该十位数字的方程为_______． 【答案】 【分析】根据两位数的表示方法，再由这个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，即可列出方程． 【详解】解：由题意得，个位数字为， 则列方程为：． 17．图1是我国古代传说中的洛书，洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，图2是一个不完整的三阶幻方，根据幻方的规则，由已知数据求出x的值应为（     ） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 【答案】A 【分析】设三阶幻方正中间一个数为，第一行的中间一个为，根据三阶幻方每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等可得此三阶幻方中的每个数字，再根据三阶幻方的特点列方程，解出即可得x的值. 【详解】解：设三阶幻方正中间一个数为，第一行的中间一个为，根据三阶幻方每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等可得此三阶幻方的每个数字如下： ∴ 化简得：，解得：，， ∴x的值应为或. 18．如图1，这是一张2026年9月的月历表．在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出4个数（如3，4，10，11）．如图2，已知圈出的4个数a，b，c，d中，最小的数． (1)c的值为_________．（用含x的代数式表示） (2)若圈出的4个数中，，求b的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据数的位置关系列出代数式即可； （2）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意可知：c的值为； （2）解：由题意得， 整理得， 解得，（舍去）， ． 19．如图是2026年10月的月历，10月1日是国庆节．1949年10月1日，中华人民共和国正式成立，每年十月，我们都会欢度国庆．在如图所示的月历中，用方框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 【答案】5 【详解】解：设最小数为x，则最大数为． 根据题意，得． 解得，． 由题意可知， 所以不合题意，舍去． 所以． 答：这个最小数为5． 题型六：营销问题 20．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱每降价1元，每天可多售出5箱．若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，设该甜瓜每箱降价x元，则根据题意可列方程为________． 【答案】 【分析】分别表示出降价元后每箱的利润和每天的销售量，根据总利润计算公式列方程即可． 【详解】解：由题意可得，每箱降价元后，每箱盈利为元，原来平均每天售出20箱，每降价1元每天可多售出5箱，因此每天的销售量为箱，总利润等于每箱利润乘以每天销售量，已知总利润为1200元，因此可列方程为． 21．某校九年级同学在“数学与生活”实践活动中了解到：某商店销售一种文创产品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．为了促销，商店决定降价销售．经调查发现，每降价1元，每月可多售出件．若要使每月利润达到元，设每件降价x元，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】总利润等于单价利润乘以销量，单件利润等于售价减去进价． 【详解】解：每件利润为元，销售量为件， 由题意得． 22．某文具专柜销售一种进价为40元/个的书包，当售价为60元/个时，日销售量为100个．国庆期间，通过市场调查发现，这种书包的单价每降低2元，日销售量可增加20个．现准备降价x元销售，请回答： (1)降价销售后，每个书包获利______元，每天可售出书包______个． (2)若该专柜销售这种书包要想平均每天获利2240元，则每个书包应降价多少元？ (3)在（2）中平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该专柜销售这种书包的利润率是多少？ 【答案】(1)， (2)每个书包应降价元或元 (3)该专柜销售这种书包的利润率是 【详解】（1）解：根据“进价为40元/个的书包，当售价为60元/个”可以得到降价销售后，每个书包获利元， 根据“日销售量为100个，单价每降低2元，日销售量可增加20个”可以得到降价销售后，每天可售出书包个． （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 答：每个书包应降价元或元； （3）解：在（2）中平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，则降价更多， ∴每个书包应降价元，此时售价元/个，进价为40元/个 ∴该专柜销售这种书包的利润率是． 23．根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 题型七：动态几何问题 24．如图，在中，，，．点P，Q同时由A，B两点出发分别沿，方向向点C匀速移动，它们的速度都是．当点Q到达点C时，点P，Q都停止运动，设运动时间为．当______时，的面积是面积的一半． 【答案】 【分析】设运动时间为，则，，可得，，根据题意可列方程，解方程即可解答． 【详解】解：设运动时间为，则，， ∴，， 由题意得：，即， ∴， 化简得：， 解得：，（舍去）， 当时，的面积是面积的一半． 25．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，连接，点运动到点时，点也停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设运动时间为，则可得到，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的面积等于， ∴， 整理得或， ∵， ∴， ∴， ∴运动时间为． 26．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向终点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向终点C移动，当其中一点到达终点时，两点立即停止运动，设运动的时间为． (1)当时，________； (2)当的面积为时，求t的值． 【答案】(1) (2)的值为1或4 【分析】（1）表示，，，再利用勾股定理建立方程计算即可． （2）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴，，， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意舍去）． ∴当时，． （2）解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． 27．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若，两点同时出发，当点运动到点时，，两点同时停止运动，连接． (1)几秒时，的面积为？ (2)判断的面积能否等于，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能． 理由如下：假设时，的面积等于，即， 整理，得． ， ∴方程没有实数根． 的面积不能等于． 【分析】（1）设运动时间为，，，利用三角形面积公式即可解答； （2）列方程，根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：设运动时间为． ，，， ． 由题意得，，， ， 即， 解得． 时，的面积为； （2）略 题型八：工程问题 28．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值． 【答案】（1）1000米；（2）4 【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米， 依题意，得：8（2000-x）≥×6x， 解得：x≤1000． 答：甲最多施工1000米． （2）依题意，得：（6+m）（6+m）+8（6-m）=6×（6+8）+11m-8， 整理，得：m2-8m+16=0， 解得：m1=m2=4． 答：m的值为4． 【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 29．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了，使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多，求的值． 【答案】（1）当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；（2）32． 【分析】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，根据总工作量大于等于39000米列出不等式求解即可； （2）根据题意列出方程并求解，然后舍去不合题意的解即可． 【详解】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为x小时， 根据题意得：， 解得：x≥300， 答：当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时； （2）由题意得：300×（1+3.2%）×30+60×（1-%）×300×（1+%+30%）=39000+9000， 整理得：， 解得：或， ∵﹥0， ∴=， 故的值是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，正确理解，找出合适的等量关系或不等关系，列出方程和不等式是解题的关键． 30．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，甲组实际工作天数为天，乙组实际工作天数为天，甲提高效率后的天数为天，乙在甲组提高效率后，继续工作的天数为：天，甲组提高效率后的日产量为盒，根据总任务量等于前2天完成量加上甲组提高效率后完成量和乙组后续完成量，建立方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 题型九：行程问题 31．一列高铁减速进站，速度（），平均速度，行进距离；若高铁从开始减速已经前进了，此时高铁的速度为______． 【答案】 【分析】根据题意求出的值，进而求出平均速度，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当时，，即， ∴平均速度， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去，此时）， ∴． 32．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 33．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． (1)求返回时A、B两地间的路程； (2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 【答案】(1)1800米 (2)52分钟 【分析】本题考查一元一次方程，一元二次方程的应用． （1）可设返回时两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解； （2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得： ， 解得， 答：返回时A、B两地间的路程为1800米； （2）解：设小明从A地到C地共锻炼了y分钟，由题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）． 答：小明从A地到C地共锻炼52分钟． 34．今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲乙行各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？ 请你画出示意图，并解决这个问题． 【答案】 示意图： 相遇时甲走了步，乙走了步． 【分析】先画出图，然后再利用勾股定理列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解： ① 取点为出发点，过作水平向右的射线表示向东方向，作竖直向下的射线表示向南方向，两射线互相垂直，   ② 在向南的射线上截取步，对应甲先向南走的路程，   ③ 在向东的射线上取相遇点，连接，为甲斜向北偏东走的路线，为直角三角形，． 示意图略； 设所行的时间为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴甲走了步，乙走了步． 题型十：图表信息题 35．根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人． 【分析】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设参加这次旅游的员工有x人， ∵30×80=2400<2800，∴x>30． 根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70． 当x=40时，80-（x-30）=70>55， 当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去． 答：A公司参加这次旅游的员工有40人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】 （1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【详解】（1）略 （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 37．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确， 假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 题型十一：握手、循环赛问题 38．某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，设参加小组赛的球队有支，则可以列方程为___________． 【答案】 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得． 39．某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题中所给的总共发送短信条，直接列出符合题意的一元二次方程． 【详解】解：设参加培训的有人，每人需向其余人各发一条短信，总短信条数为条，由题意得． 40．目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 【答案】这条线路共有8个站点． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票， 根据题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：这条线路共有8个站点． 41．某校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间赛1场）． 乐乐和亮亮针对这次比赛有如下说法： 乐乐：本次比赛一共进行了30场． 亮亮：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是30场． 假设有人报名参加比赛． (1)根据乐乐的说法列出的方程是___________，请利用所列的方程分析亮亮的说法是否正确； (2)若本次比赛的确一共进行了30场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了2场比赛后就中途退赛，求的值． 【答案】(1)解：， 方程整理得． 解得，不是整数． 按照这个赛制，不应该是30场，故亮亮的说法正确． (2)9 【分析】（1）根据“单循环赛制”列出方程，求解后判断即可； （2）有1人比赛了2场后退出比赛，则还有人继续比赛，这人继续比赛的场数为，进而列方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：按照这个赛制，有1人比赛了2场后退出比赛，则还有人继续比赛，这人继续比赛的场数为． 由题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 的值为9． 题型十二：其他问题 42．某联赛采用双循环赛制，如果比赛的总场数为306场，那么参加比赛的球队共有（     ） A．17支 B．18支 C．19支 D．20支 【答案】B 【分析】根据双循环赛制中，比赛场数=球队数（球队数），代入数据即可列方程,解出即可得参加比赛的球队数. 【详解】解：设参加比赛的球队共有支， 则根据题意得：， 化简得：， 解得：，（舍）， ∴参加比赛的球队共有支. 43．小明设计了一个纸牌魔术游戏，他准备了一副不含大、小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张纸牌，再让小红将这张纸牌的点数（、、、分别对应1，11，12，13，按数字取值）加上6，将上一步的结果乘这张纸牌的点数，再减去10．最后加上花色代号，其中花色黑桃、梅花、红桃、方块的代号分别是1、2、3、4，最后小红说出运算结果是9．由此，请你推断小红抽出的纸牌是___________． 【答案】红桃 【分析】设抽出的纸牌点数为，花色代号为，可得，再进一步讨论即可. 【详解】解：设抽出的纸牌点数为，花色代号为， 由题意得，运算结果为：， 整理得：， ∵为1，2，3，4，为正整数， 当时，，此时不是正整数； 当时，，此时不是正整数； 当时，， ∴（舍去）， ∴， ∴小红抽出的纸牌是红桃； 当时，，此时不是正整数． 综上小红抽出的纸牌是红桃． 44．某果园原计划种100棵苹果树，平均每棵苹果树结400个苹果，现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个，但多种的苹果树不能超过50棵，设该果园多种棵苹果树． (1)则平均每棵苹果树的产量是_________个； (2)若要使总产量增加，求应多种多少棵苹果树？（假设苹果的大小不变） 【答案】(1) (2)若要使总产量增加，应多种棵苹果树 【分析】（1）根据每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个列代数式即可； （2）根据总产量增加，列方程解决即可； 【详解】（1）解：根据每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个，可得平均每棵苹果树的产量是个； （2）解：由题意得， 化简为， 解得， ∵多种的苹果树不能超过50棵， ∴， ∴若要使总产量增加，应多种棵苹果树． 45．小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/秒平方．物体落地时的动能等于其重力势能，即动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5千克的物品坠落到地面产生了625焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？ 【答案】(1) 4秒. (2) 5秒. 【分析】 （1）将已知高度与重力加速度代入公式，求解时间的正根． （2）先由动能公式计算下落高度，再代入公式求解时间． 【详解】（1） 解：将，代入， 得， ， ∵， ∴（秒）． 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面需要4秒． （2）解：设该物品下落高度为， ， ， 将，代入， ， ， ∵， ∴（秒）． 答：该物品坠落到地面用了5秒． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $