精品解析：广西壮族自治区钦州市灵山县新洲中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026年秋季学期高二年级10月份月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 3. 平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，，，的坐标，根据垂直关系联立方程组可分别求出，的坐标，根据，，三点在圆上，分别求线段，的垂直平分线所在直线方程，通过联立解方程组求解圆心的坐标，即可求解圆的方程. 【详解】 由得，由得， 由得， 因为，对角线与相交于点，所以， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为， 联立，解得，所以， 又， 所以圆的方程为. 故选：. 【点睛】方法点睛：求圆的方程的常用方法： （1）直接法：直接求出圆心坐标和圆的半径，写出方程； （2）待定系数法：根据已知条件设出方程，代入求解. 4. 圆与圆外切，则m的值为 A. B. C. 或 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解的值. 【详解】由圆与圆， 得，半径分别为3和2， 因为两圆外切， ，化简得， 或，故选C. 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，属于简单题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系. 5. 若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】曲线的方程可化为，表示以为圆心，1为半径的上半圆，曲线表示两条直线与，而直线与有两个交点，则直线与半圆有2个除外的交点，利用数形结合及斜率公式、直线与圆相切的结论即可求解. 【详解】由得， 则曲线表示以为圆心，1为半径的上半圆， 曲线表示两条直线与， 显然直线过圆心，则其与有两个交点， ∴直线与半圆有2个除外的交点， 由得， 则直线过定点，， 当直线与半圆相切时， 圆心到直线的距离，即， 解得或（舍）， 所以时，直线与半圆有2个除外的交点， 此时曲线与曲线有四个不同的交点. 故选：C. 6. 已知直线l上两点A，B的坐标分别为，，且直线l与直线垂直，则的值为（ ）． A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率公式，求得，结合两直线的位置关系列出方程，求得，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，直线的斜率为， 因为直线l与直线垂直，则直线l的斜率存在， 根据直线l上两点的坐标分别为，，可得， 则，解得， 所以． 故选：B． 7. 已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取弦MN的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出后，借助三角函数值域即可得解. 【详解】设弦MN的中点为，由，得， 由为MN的中点，得，设向量与的夹角为， ，又， 所以的最小值为. 故选：D 8. 已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（　　） A. 120° B. 60° C. 30° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为直线l的方向向量，平面α的一个法向量为， 设直线与平面α所成的角为，则， 所以直线l与平面α所成的角为， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面 C. 当时， D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，将三棱锥转换成后易得其体积为定值；对于B，建系后，证明与平面的法向量不垂直即可排除B项；对于C，设出，利用证得，再计算，结果不为0，排除C项；对于D，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 对于A，如图1，因,故A正确； 对于B，如图2建立空间直角坐标系，则, 于是，， 设平面的法向量为，则，故可取， 由知 与不垂直， 故直线与平面不平行，即B错误； 对于C，由上图建系，则, , 因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设，则，， 由题意，，即，于是， 此时，故与不垂直，即C错误； 对于D，由图知平面的法向量可取为，因， 设直线与平面所成角为， 则，故D正确. 故选：AD. 10. 已知棱长为1的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则（ ） A. 当时，的轨迹长度为 B. 当时，四面体的体积为定值 C. 存在点，使得 D. 直线与平面所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据得到的轨迹，然后求长度即可；B选项，根据得到点在平面内，然后结合三棱锥的体积公式分析即可；C选项，根据到棱的距离和到平面的距离相等得到，然后利用向量得到；D选项，利用向量的线性运算和数量积的运算律得到与平面所成角的正弦值为，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】 由题设知，点在正方体的内部或表面上. 当时，点在平面内运动，所以其到平面的距离始终为1，到棱的距离也为1. 又因为到棱的距离即为到的距离， 所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，且在正方体内部或表面的部分，轨迹长度为，故A选项正确； 当时，如图，，，，分别为，，，的中点，点在平面内， 而对于三棱锥，若以为底面， 则其体积，其中为到平面的距离. 因为平面，平面平面， 所以到平面的距离等于平面和平面的距离，为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B选项正确； 因为到棱的距离和到平面的距离相等， 所以，，故C选项错误； 因为是平面的一个法向量， 所以与平面所成角的正弦值等于， 由C知， 而，所以原式. 因为， 所以原式，当，，时等号成立，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解题关键在于到棱的距离为，到平面的距离为，从而得到，然后计算. 11. 已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】 求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断． 【详解】直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确； 在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确； ，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 直线被圆截得弦最长时，直线过圆心，则，，直线方程为，即．D错． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题．（1）直线方程整理为关于参数的方程，然后由恒等式知识可得定点坐标．（2）直线与圆的位置关系的判断，若直线所过定点在圆内，则直线与圆相交，若定点在圆上，则直线与圆相交或相切，定点在圆外，直线与圆的三种位置关系都有可能．（3）直线过圆心时弦长最长，直线所过定点是弦中点时，弦长最短． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式计算． 【详解】由已知所求距离为． 故答案为：． 13. 直线与之间的距离为_______. 【答案】 【解析】 【详解】直线与之间的距离为. 14. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围. 【详解】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，， 则，得， 所以， ， 显然不是平角，所以为钝角等价于， 即，即， 解得，因此的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，在空间直角坐标系中有长方体求点B到直线的距离. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离. 【详解】 设则， ∴ ∴点B到直线的距离 16. 如图，在三棱锥中，是二面角的平面角． （1）证明：； （2）已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）因为是二面角的平面角，所以， 平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取中点，连接，则为异面直线夹角， ，，， 所以，，， ，， 在中，由余弦定理可得. 17. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】 （1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为，是的中点， 所以、、、、、、， ，. 设平面的法向量为，由， 令，则，，所以. 因为，所以， 因为平面，所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面的法向量. 又平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 18. 如图所示，线段AB为圆锥SO的底面圆的直径，C为底面圆周上异于A，B的动点，点P为AC的中点. （1）证明：平面平面SOP （2）若，圆锥SO的母线与底面圆所成的角为60°，求三棱锥的体积最大时，平面SOP与平面SBC所成的锐二面角的余弦值 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 又是弦中点，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，然后证明平面后可得面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，因此到的距离最大时，三棱锥的体积最大， 此时， 圆锥SO的母线与底面圆所成的角为60°，即，是等边三角形， ，则． 以为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 由（1）知是平面的一个法向量， ，，平面的一个法向量是， 则，取，则， 设平面SOP与平面SBC所成的锐二面角为， 则． 19. 如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. （1）求证：； （2）当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； （3），若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1） 在正方形ABCD中,, 所以翻折后，又平面， 所以平面，又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知，根据线面垂直的判定即可证明平面，继而得到； （2）根据题意可得两两垂直，三棱锥可放入以为边的长方体中，长方体体对角线就是其外接球直径，求出体对角线长即可得到外接圆面积； （3）利用等体积法可得点到平面的距离为，根据线面角的定义可得，再利用函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方形ABCD中，，翻折后， 又，所以两两垂直， 三棱锥可放入以为边的长方体中， 所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为 ， 即外接球半径，表面积 三棱锥SDEF的外接球的表面积. 【小问3详解】 设，设点到平面的距离为， 则， ，， 则， ， 又由（1）知平面，所以， ，解得， 又直线与平面所成角为， 所以， 又因为，当，即时取等， 所以在单调递减，即， 则， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高二年级10月份月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆外切，则m的值为 A. B. C. 或 D. 不确定 5. 若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 6. 已知直线l上两点A，B的坐标分别为，，且直线l与直线垂直，则的值为（ ）． A. B. C. D. 5 7. 已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（　　） A. 120° B. 60° C. 30° D. 150° 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面 C. 当时， D. 直线与平面所成角的正弦值为 10. 已知棱长为1的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则（ ） A. 当时，的轨迹长度为 B. 当时，四面体的体积为定值 C. 存在点，使得 D. 直线与平面所成角的正弦值最大为 11. 已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线的距离为___________. 13. 直线与之间的距离为_______. 14. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，在空间直角坐标系中有长方体求点B到直线的距离. 16. 如图，在三棱锥中，是二面角的平面角． （1）证明：； （2）已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 17. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图所示，线段AB为圆锥SO的底面圆的直径，C为底面圆周上异于A，B的动点，点P为AC的中点. （1）证明：平面平面SOP （2）若，圆锥SO的母线与底面圆所成的角为60°，求三棱锥的体积最大时，平面SOP与平面SBC所成的锐二面角的余弦值 19. 如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. （1）求证：； （2）当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； （3），若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $