精品解析：湖南长沙市一中岳麓中学2026-2027学年八年级上学期第一次核心素养检测数学试卷

长沙市一中岳麓中学2025级八年级上期第一次核心素养检测 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段长度，能构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，和，和是对应点，、、在同一直线上，且，，则的长为（ ） A. 12 B. 7 C. 2 D. 14 5. 如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一棵与地面垂直生长的树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积（ ）． A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 9. 如图，在中，分别是的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知如图等腰于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形，④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则______． 12. 如图，，若，，则______． 13. 如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是________． 14. 如图，在中，点在线段上，且，若，则_____． 15. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________． 16. 如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ___________________ ． 三、解答题（共8小题） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 课外阅读时间（小时） 频数（人数） 第1组 2 第2组 3 第3组 15 第4组 a 第5组 5 请根据图表信息回答下列问题： （1）求出频数分布表中的 ，扇形统计图中的 ； （2）该频数分布直方图的组距是 ；并将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 20. 如图，点D在上，，交于点F，，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 21. 近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件： B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A型号智能机器人？ （3）要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 22. 如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且． （1）求的度数； （2）若于点M，求证：M是的中点； （3）若，求的长． 23. 概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×） ①全等三角形是“等角三角形”（） ②如图，在中，，，图中共有2对“等角三角形”（） ③如图，在中，，，无论为何值，都不可能是的“等角分割线”（） （2）概念应用：如图，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线． （3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数． 24. 在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限，且，（）． （1）若点从点出发，向轴正半轴上运动，点从点出发，在线段上运动，、两点同时出发， ①如图1，连接，连接，若当，时，求的长度； ②如图2，连接，若为中点时，，求证：； （2）如图3，点在轴的负半轴，连接，若，，垂足为点，，的延长线交于点，为上一动点，当时，取最小值，求此时的长（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市一中岳麓中学2025级八年级上期第一次核心素养检测 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解： A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组线段长度，能构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的长度和大于最长线段的长度即可． 【详解】解：A选项：，不能构成三角形． B选项：，不能构成三角形． C选项：，能构成三角形． D选项：，不能构成三角形． 3. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形各顶点以A、B、C、D标记，首先根据三角板的各角度数确定的度数，然后根据三角形外角的定义和性质求解即可． 【详解】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图， 根据题意可知：， ∴， ∵， ∴． 4. 如图，，和，和是对应点，、、在同一直线上，且，，则的长为（ ） A. 12 B. 7 C. 2 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，，和，和是对应点，、、在同一直线上，且，， ，， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 5. 如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理得到即可求出答案． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是中线，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，一棵与地面垂直生长的树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质由题意可知米，，，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可得米，这棵树在折断前的高度为． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知米，，， 米， 这棵树折断前的高度为米． 故选：D． 7. 如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有共5种，主要培养学生的辨析能力．根据“”对A进行判断；根据“”对B进行判断；根据“”对C进行判断； D选项符合，不能证明． 【详解】解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意； 由，利用可证明，所以B选项不符合题意； 由，利用可证明，所以C选项不符合题意； 由，符合，不能证明，所以D选项符合题意． 故选D． 8. 如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积（ ）． A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，分别是的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质可得，，， 进而得到，即可求解． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， 即． 10. 已知如图等腰于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形，④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用线段垂直平分线性质及等边对等角推导角度关系；通过三角形内角和及角度代换证明为等边三角形；利用截长补短法构造全等三角形证明线段和差关系． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则，故①正确； ∵点是线段上一点， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故②不正确； 在中，， ∴，即，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； 在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形，，， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的特征，代数式求值． 关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出的值，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得，， ， 故答案为：． 12. 如图，，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形性质求出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：， (全等三角形对应角相等)， 在中，根据三角形内角和为， ． 13. 如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键． 根据“”判定方法求解即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即应添加的条件是， 故答案为：． 14. 如图，在中，点在线段上，且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角性质得出，进而根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，推出，从而将的周长转化为，最后结合三角形周长公式计算即可． 【详解】解：边的垂直平分线分别交于点 的周长为 即 的周长 16. 如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴垂直平分， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、、三点共线，且时，最小， 过点作于点交于点，如图所示： ∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减——化简求值，掌握整式的加减——化简求值的方法是解题的关键．根据整式的运算法则先化简，然后将，代入即可求出答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 课外阅读时间（小时） 频数（人数） 第1组 2 第2组 3 第3组 15 第4组 a 第5组 5 请根据图表信息回答下列问题： （1）求出频数分布表中的 ，扇形统计图中的 ； （2）该频数分布直方图的组距是 ；并将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 【答案】（1）25；6 （2）2；频数分布直方图补充如下： （3）1080人 【解析】 【分析】（1）用第3组的人数除以其所占百分比即可求出抽取总人数，用抽取总人数减去其余各组的人数即可求出，用第2组的人数除以抽取总人数，即可求出； （2）根据组数和组距的定义，即可求组距；根据a的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据样本估计总体，用1800乘以每周课外阅读时间在6小时以上的学生所占百分比，再计算即可． 【小问1详解】 解：抽取总人数为（人）， （人）， ， ∴； 【小问2详解】 解：由频数分布表和频数分布直方图可知，组数是5，组距是， 频数分布直方图补充略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有1080人． 20. 如图，点D在上，，交于点F，，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） ， . 在与中， （2） 【解析】 【分析】（1）由SAS证，即可解答． （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到，由等腰的性质和三角形内角和定理求得，最后根据邻补角的定义解答． 本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则. ，， . . . 21. 近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件： B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A型号智能机器人？ （3）要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）5台 （3）共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台时、B型号为3台 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． （1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型（10－）台，根据需要每天分拣快递不少于200万件列出不等式，解不等式即可得到答案； （3）设购买台A型号机器人，则购买（10－）台B型号机器人．根据总费用不超过750万元列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． ，解得 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购进A型台，B型（10－）台， 由题意得，， 解得， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． 【小问3详解】 解：设购买台A型号机器人，则购买（10－）台B型号机器人． 由题意得， 解得， 由（2）得 ∴ 又∵是整数 ∴＝5或6或7 答：共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台时、B型号为3台． 22. 如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且． （1）求的度数； （2）若于点M，求证：M是的中点； （3）若，求的长． 【答案】（1）∠E的度数为 （2） 证明：连接， ∵是等边三角形，D是的中点， ∴平分， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴M是的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）等边三角形的性质，求出，等边对等角，三角形的外角的性质，求出的度数即可； （2）连接，三线合一，推出，进而得到，再根据三线合一，即可得证； （3）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键． 23. 概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×） ①全等三角形是“等角三角形”（） ②如图，在中，，，图中共有2对“等角三角形”（） ③如图，在中，，，无论为何值，都不可能是的“等角分割线”（） （2）概念应用：如图，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线． （3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）①√；②×；③√ （2） 证明：，， ， ∵平分， ， ， ∴是等腰三角形， ，，， 为的“等角分割线”； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）①根据全等三角形的性质可知答案正确；②根据题意可以写出三对等角三角形；③如果与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，由得，即与矛盾，同理如果与成“等角三角形”，也有上述矛盾出现，所以无论为何值，都不可能是的“等角分割线”． （2）根据三角形内角和定理得到，结合平分得，则有，得是等腰三角形，利用，，有为的“等角分割线”； （3）当是等腰三角形，和，当是等腰三角形，和，利用等边对等角、等角分割线定义和三角形外角和求得； 【小问1详解】 解：①根据全等三角形的性质可知三角形对应角相等，则有全等三角形是“等角三角形”成立； ②根据题意可以写出三对“等角三角形”，分别为与，与，与，答案错误； ③假设与成“等角三角形”，则要为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，则，与矛盾； 同理如果与成“等角三角形”，也有上述结论， 故无论为何值，都不可能是的“等角分割线”正确． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当是等腰三角形，时，， ∴； ②当是等腰三角形，时，， ∴， ∴； ③当是等腰三角形，时，， ∴； ④当是等腰三角形，时，， 设，则， 则， ∵，解得， ∴， ∴； 故的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查等角三角形和等角分割线的新定义、等边对等角、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练应用分类讨论思想并结合给定定义证明结论是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限，且，（）． （1）若点从点出发，向轴正半轴上运动，点从点出发，在线段上运动，、两点同时出发， ①如图1，连接，连接，若当，时，求的长度； ②如图2，连接，若为中点时，，求证：； （2）如图3，点在轴的负半轴，连接，若，，垂足为点，，的延长线交于点，为上一动点，当时，取最小值，求此时的长（用含的式子表示） 【答案】（1）①1； ②如图2，过点A作AG⊥x轴于点G，则四边形ABOG是矩形， ∵AB＝BO， ∴四边形ABOG是正方形， ∴BO＝OG＝AG， ∵△ABD△BOC， ∴BD＝OC， ∵D为BO的中点， ∴BD＝OD， ∴OC＝OD， ∴BOOD＝OGOC， ∴BD＝CG＝OC， 在△BOC和△AGC中， ， ∴△BOC△AGC（SAS）， ∴AC＝BC； （2）的长为m－2， 延长BF交x轴于点H，连接EH交OB于点P，连接PH，则PE＋PN取最小值， ∵∠NBO＝∠HBO，BO⊥NH， ∴BO为NH的垂直平分线， ∴PN＝PH， ∵∠EPN＝90°， ∴∠HPN＝90°， ∴∠PHO＝45°， ∴OP＝OH， 由（1）可知，△ABD△BOH， ∴OH＝BD＝1， ∴OP＝1， ∴PD＝OBBDOP＝m2 【解析】 【分析】（1）①证明△ABD△BOC（ASA），得到BD＝OC＝1；②过点A作AG⊥x轴于点G，可以证明四边形ABOG是正方形，由△ABD△BOC，得到BD＝OC，再证△BOC△AGC，即可得到结论； （2）延长BF交x轴于点H，连接EH交OB于点P，连接PN，则PE＋PN取最小值，证明∠PHO＝45°，得到OP＝OH，由（1）可知，△ABD△BOH，得到OH＝BD＝1，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①∵∠AB⊥BO， ∴∠BAD∠ADB＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠CBO∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝∠CBO， 在△ABD和△BOC中， ， ∴△ABD△BOC（ASA）， ∴BD＝OC＝1； ②略． 【小问2详解】 略． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、轴对称最短路径问题、等腰直角三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定、根据轴对称的性质确定点P的位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $