精品解析：湖南长沙市岳麓区长沙麓山国际实验学校2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

麓山国际实验学校八年级上学期适应性测试（数学） 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A.     B.     C.     D.     2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 5. 若 3x= 15，3y =5，则=（ ） A. 5 B. 3 C. 15 D. 10 6. 要使多项式不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. 14 D. 28 8. 如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ） A. 20° B. 60° C. 50° D. 40° 9. 如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：（1）图中共有两对全等三角形；（2）△DEM是等腰三角形；（3）∠CDM＝∠CFE；（4）AD+BE＝AC；（5）四边形CDME的面积发生改变．其中正确的结论有个（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则的值为______________． 12. 已知，，则________． 13. 当时，的值是_________． 14. 已知等腰三角形的两条边长分别是，那么这个等腰三角形的周长是________cm． 15. 如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交于点D、E，且．若，则的周长为_____． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______． 三．解答题（8小题，共72分．） 17. 计算： （1） （2） （3） （4）用乘法公式简便计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． （2）在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 21. 如图，在和中，，，，． 连接，交于点M，连接． （1）求证：； （2）求的大小． 22. 如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 23. “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值问题中应用极为广泛，例如：已知，在求多项式的值时，我们常常将多项式写成的形式，再将代入即可得到．请同学们尝试利用“整体思想”解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值； （3）若关于x的多项式化简后的结果中项的系数为1，若，，求代数式的最小值． 24. 已知，如图，在中，延长至点，过点作平分，且． （1）求证：； （2）如图2，若，在上取点，上取点，使，连接，，，求证：是等边三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作，分别交，，于，，，连接交于点． ①求证：； ②若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 麓山国际实验学校八年级上学期适应性测试（数学） 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，把一个图形沿某条直线对折，对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则这两个图形关于这条直线对称．根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的运算法则，单项式乘法法则以及幂的乘方与积的乘方法则． 分别对每个选项根据相应运算法则进行计算判断． 【详解】A、同底数幂相加，只有当指数和底数都相同才能合并，与底数相同但指数不同，不能直接相加，所以，该选项错误； B、，该选项错误； C、，该选项正确； D、，该选项错误． 故选：C． 3. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键． 根据已知的条件，，加入选项中得条件判断即可； 【详解】解：，，， ，故选项不符合题意； ， ， ， ，，， ，故选项不符合题意； 当时，与，不能构成的判定条件，故符合条件； 当时，与，可以构成的判定条件，故不符合题意； 故选：． 4. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 5. 若 3x= 15，3y =5，则=（ ） A. 5 B. 3 C. 15 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先逆用同底数幂的除法法则把变形，再把3x= 15，3y =5代入计算． 【详解】解：∵3x= 15，3y =5， ∴==15÷5=3， 故选B． 【点睛】本题考查了同底数幂除法的逆运算，熟练掌握同底数幂的除法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 6. 要使多项式不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握好多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母． 根据多项式乘以多项式的法则，可表示为计算，再根据乘积中不含的一次项，得出它的系数为0，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得： ， 与的乘积中不含的一次项， ， ； 故选：B． 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. 14 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于H， 由作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 8. 如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ） A. 20° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，进而可得∠PAQ的大小． 【详解】∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴BP=AP，AQ=CQ，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°． 故选D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质和判定．熟练掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 9. 如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：（1）图中共有两对全等三角形；（2）△DEM是等腰三角形；（3）∠CDM＝∠CFE；（4）AD+BE＝AC；（5）四边形CDME的面积发生改变．其中正确的结论有个（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，得出，△AMC≌△BMC、△AMD≌△CME、△CMD≌△BME,根据全等三角形的性质得出DM=ME得出△DEM是等腰三角形，及∠CDM=∠CFE，AD+BE＝AC，进而根据 可得出结论. 【详解】解：如图 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，AB=BC ∴AM=CM=BM，∠A=∠B=∠ACM=∠BCM=45°，∠AMC=∠BMC=90° ∵∠DME=90° ∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=90° ∴∠1=∠3，∠2=∠4 在△AMC和△BMC中 ∴△AMC≌△BMC 在△AMD和△CME中 ∴△AMD≌△CME 在△CDM和△BEM ∴△CMD≌△CME 共有3对全等三角形，故（1）错误 ∵△AMD≌△BME ∴DM=ME ∴△DEM是等腰三角形，（2）正确 ∵∠DME=90°. ∴∠EDM=∠DEM=45°， ∴∠CDM=∠1+∠A=∠1+45°， ∴∠CFE=∠3+∠DEM=∠3+45°， ∴∠CDM=∠CFE 故（3）正确 ∵CE=AD，BE=CD ∴AD+BE＝AC；故（4）正确 （5）∵△ADM≌△CEM ∴ ∴ 不变，故（5）错误 故正确的有3个 故选B 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过推理论证每个命题的正误是解决此类题目的关键. 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则的值为______________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，得到和的值，再计算． 【详解】解：点与点关于轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 ， ． 12. 已知，，则________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算，根据幂的乘方和同底数幂的乘法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：18． 13. 当时，的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，先将所求代数式展开整理，再结合已知条件进行整体代入计算． 【详解】解：化简：； ∵， ∴将其代入化简后的式子，得； 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的两条边长分别是，那么这个等腰三角形的周长是________cm． 【答案】15或18 【解析】 【分析】根据题意分两种情况：第一种是底边长为7，第二种情况是底边长为4，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，然后再将三边长相加即可求得答案． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别是4cm、7cm， ∴当此三角形的腰长为4cm时，4＋4＞7，能构成三角形， 此等腰三角形的周长＝4＋4＋7＝15cm， ∴此三角形的腰长为7cm，底边长为4cm， 4＋7＞7，能构成三角形， ∴此等腰三角形的周长＝7＋7＋4＝18cm， 故答案为：15或18． 【点睛】此题是等腰三角形的性质，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解本题的关键是用三角形的三边关系判断能否构成三角形． 15. 如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交于点D、E，且．若，则的周长为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，证明三角形是等腰三角形是解题的关键． 根据已知利用平行线的性质及等角对等边、角平分线的定义证明出，，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴三角形的周长为． 故答案为：． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂线段最短可知当时最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，是的平分线， 直线是的对称轴，点关于直线的对称点是点， 连接，过点作，于点 ， ， ∵ ∴最小值为的长， ，是的平分线，  ， ， ， ， 的最小值为． 三．解答题（8小题，共72分．） 17. 计算： （1） （2） （3） （4）用乘法公式简便计算： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据同底数幂相除、积的乘方、同底数幂相乘的运算法则计算，再根据合并同类项的法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可； （3）先根据乘方的定义进行转化：，再逆用积的乘方法则将和相乘得，利用负数的偶次幂为正得，即可求得结果； （4）将写成，再利用平方差公式、去括号法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；3 【解析】 【分析】根据整式的四则运算顺序（先乘除，后加减）及整式的运算法则对代数式进行化简，然后将、的值代入． 【详解】解：原式， ． 当，时， 原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的运算顺序以及整式的运算法则． 19. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． （2）在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1）解：，，关于y轴的对称点分别是，画图如下： 则即为所求，． （2）解：根据题意，作图如下： 则点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据轴对称的性质，作图即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式的变形求解； （2）将，代入求解； （3）将，代入求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴． 21. 如图，在和中，，，，． 连接，交于点M，连接． （1）求证：； （2）求的大小． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，即可得出的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，由（1）可得 ∴， 由三角形的外角性质得： ， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 22. 如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， 在和中，， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可得，，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据含角的直角三角形的性质可知． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ，， ，， ， 又， ， ， ． 23. “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值问题中应用极为广泛，例如：已知，在求多项式的值时，我们常常将多项式写成的形式，再将代入即可得到．请同学们尝试利用“整体思想”解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值； （3）若关于x的多项式化简后的结果中项的系数为1，若，，求代数式的最小值． 【答案】（1）16 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，根据逆用幂的乘方与同底数幂的乘法，即可求解； （2）根据已知条件可得，进而可得，代入代数式，即可求解； （3）根据题意可得，代入代数式，得出，根据完全平方公式的变形，根据偶次幂的非负性，即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∴原式 【小问3详解】 解： ； 依题意，系数为1 ∴ ∴ ∵，，， ∴原式 ∴最小值为． 【点睛】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值，完全平方公式，整体代入法求解代数式的值，熟练的构造整体是解本题的关键． 24. 已知，如图，在中，延长至点，过点作平分，且． （1）求证：； （2）如图2，若，在上取点，上取点，使，连接，，，求证：是等边三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作，分别交，，于，，，连接交于点． ①求证：； ②若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ 平分 （2） 证明：∵ 是等边三角形， 又 是等边三角形； （3） ①是等边三角形， 是等边三角形， 即， ， 又 ， 又 是等边三角形， 又 ②1 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，由角平分线的性质可得，得出即可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）①由等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质证明和是等边三角形，可得，由“”可证． ②根据，可得，根据①中可得设，可得根据①中可得得出即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 ①略． ② ， ， 设， 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $