2027年中考数学一轮复习 课堂专训：二元一次方程组

【诊·导·练·评·固】2027新中考数学一轮复习课堂专训： 二元一次方程组（华师大版） 一、【专题学情诊断卷】 1.若是关于x、y的方程x﹣ay＝﹣1的一个解，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 2．（2026·北京·中考真题）方程组的解为（     ） A． B． C． D． 3．（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 4．“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，根据图中信息，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 5．（2025•长安区校级模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 6．（2025•泌阳县二模）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，在我国古代数学史上经常研究这个图．数学上的“九宫图”是一个3×3的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个三阶幻方，则x﹣2y的值为（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．4 7.已知方程x﹣3y＝5，用含y的代数式表示x，则x＝ 。 8．（2026·山东烟台·中考真题）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，个人，根据题意，可列关于，的方程组为__________。 9.为了表彰优秀学生，学校购买了一些钢笔和笔记本作为奖品．已知购买3支钢笔和2本笔记本共需91元，购买5支钢笔和3本笔记本共需149元，则购买1支钢笔和1本笔记本共需 　 　元。 10．已知是二元一次方程x+ky＝8的一个解，则k的值为 　　 ． 11．（2026·四川乐山·中考真题）解方程组： 12． （2026·吉林·中考真题）吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元．求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价． 13.定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 二、【靶向解决导示题】 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有人，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2025•黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（　　） A．6 B．7 C．4 D．5 3．（2025•凉山州）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，则x+y的平方根是（　　） A．8 B．±8 C．±2 D．2 4.如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为 　 5．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则m﹣2n的值为 　 　 6.解方程 （1） （2） 7.阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：。 8.对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如3⊗4＝2×3+4＝10． （1）求4⊗（﹣3）的值； （2）若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝﹣1，求x+y的值。 9.我们规定：关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福方程”．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福方程”．把两个“幸福方程”合在一起叫“幸福方程组”． (1)若关于的方程组是“幸福方程组”，求的值． (2)解“幸福方程组”。 10．（2025•长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元．（不考虑加工损耗） （1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ （2）若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 三、【精准达标训练卷】 1.若是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·云南·中考真题）方程组的解为（     ） A． B． C． D． 3.若满足方程组则的值为（    ） A．1 B． C．6 D． 4．解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则的值应为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5.图①，图②都是由8个一样的小长方形拼成的，且图②中的阴影部分（正方形）的面积为1，设每块小长方形地砖的长为，宽为，下列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．对于实数x、y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．下列四组数值中，（　　）是方程组的解． A． B． C． D． 9、若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为 。 10.已知关于，的二元一次方程组的解是，求的值。 11.解方程（组）： （1） （2） （3） 12．（2026·广东·中考真题）低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种． (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元． (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩。 13.定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”。 (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值。 四、【学业质量评估卷】 1.把方程改写成用含x的式子表示y的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的二元一次方程组的解是，则的值是（    ） A． B．1 C． D．3 3．若关于x，y的方程组的解满足x+y=2022，则k等于（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）若方程组的解为，则表示的数是（     ） A． B． C．1 D．2 5．（2026·甘肃天水·中考真题）甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的倍少亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为亿元、亿元，则可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 6．（2025•宜宾）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A． B． C． D． 7、（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 8．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数大36，则这个两位数是______。 9．如图所示，大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形（无缝隙、不重叠），图中阴影部分面积是　 。 10．解二元一次方程组： （1）（2026·广东深圳·中考真题）解二元一次方程组： (2) 11．先阅读材料，再解方程组 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 五、【固本提升综合卷】 1.若是关于的二元一次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若方程组的解中x与y互为相反数，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·四川眉山·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 4.二元一次方程的正整数解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．（2025•齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6.对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 7．关于的方程组的解满足，则 ． 8.解方程组： (1) (2) 9.已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值。 10．（2025•连云港）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？ （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？ 11.【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 学科网（北京）股份有限公司 $【诊·导·练·评·固】2027新中考数学一轮复习课堂专训： 二元一次方程组（华师大版） (解析篇) 一、【专题学情诊断卷】 1,若二员是关于×、y的方程x-y=-1的一个解，则口的值为() A.3 B.-3 C.1 D.-1 解：把二代入方程xy1 得2-a=-1 解得a=3 故选：A 2.(2026北京中考真题)方程 3x-2y=7的解为() x+y=4 x=3 x=3 C. x=5 x=5 A. B y=-1 y=1 D. y=1 y=-1 【参考答案】A 解： x+y=4① 3.x-2y=7② 将①式两边同乘2得，2x+2y=8③， ②+③得，5x=15, 解得x=3 将x=3代入①式得，3+y=4, 解得y=1 x=3 因此原方程组的解为 y=1 3.(2025·天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良 马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何 日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢 马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列 出的方程为( A.240x=150(x+12) B.240x=150(x-12) C.150x=240(x+12) D.150x=240(x-12) 【参考答案】A 4.“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全 套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的 宽都相等.如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌 面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，根据图中信息，可列方程组为（) A(7,8.75) 欣 燕 编原 固 A. (4m=7 B. ∫4n=7 m+n=8.75 m+n=8.75 C. r4m=7 D.} 4n=7 02m+n=8.75 2m+n=8.75 【参考答案】A 解：根据题意知：横轴方向，4m=7 纵轴方向，+n=8.75 ·方程组为4m=7 m+n=8.75 故选：A 5.(2025长安区校级模拟)若关于x,y的二元一次方程组 4x+2y=5k-4 2x+4y=5 的解满足x+y=1,则k的值为() A.0 B.1 C.2 D.-1 【参考答案】B 解： 4x+2y=5k-4① 2x+4y=5② 方法一：①+②得，6x+6y=5+1 4y=5k+1=1 6 解得k=1 故选：B 6.(2025泌阳县二模)“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案， 故又称龟背图”，在我国古代数学史上经常研究这个图.数学上的“九宫图” 是一个3×3的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也 称为三阶幻方.如图是一个三阶幻方，则x-2y的值为（) A.-5 B.-3 C.-1 D.4 【参考答案】C 解：根据题意得： 4+x=3-2 {4+1-2=y+1+3 解得：化。3 .x-2y=-3-2×(-1)=-1 故选：C 7.已知方程x-3y=5,用含y的代数式表示x,则x= 解：x-3y=5 解得x=3y45 故答案为：3y+5 8.(2026山东烟台，中考真题)路上一群马车行，车车坐人都相等.五人同车三 车空，四人同车九步行.问车有多少辆，共有多少人？设有x辆车，y个人，根 据题意，可列关于x,y的方程组为 y=5(x-3) 【参考答案】y=4r+9 解：设有x辆车，y个人，由题意得 y=5(x-3) y=4x+9 9.为了表彰优秀学生，学校购买了一些钢笔和笔记本作为奖品.已知购买3支钢 笔和2本笔记本共需91元，购买5支钢笔和3本笔记本共需149元，则购买 1支钢笔和1本笔记本共需 元。 解：设钢笔的单价为x元/支，笔记本的单价为y元/本， 依题意得： 3x+2y=91 5x+3y=149 解得： x=25 y=8 ∴.x+y=25+8=33 .购买1支钢笔和1本笔记本共需33元 故答案为：33 10.已知叱子是=元-次方程h=8的一个解，则表的值为 【参考答案】2. 解：将代入=8得：253=8 解得：k=2。 2x+y=5 11.(2026四川乐山中考真题)解方程组： x+y=1 【参考答案】 x=4 y=-3 解： 2x+y=5① x+y=1② ①-②，得x=4 把x=4代入②，得y=-3 ∫x=4 y=-3 12.(2026吉林.中考真题)吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉 米享誉全国.购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元：购 买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元.求每箱“吉林一号”玉 米和每箱“吉林二号”玉米的售价 【参考答案】每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45 元 解：设每箱“吉林一号”玉米售价为x元，每箱“吉林二号”玉米售价为y元. 7x+9y=580 根据题意列方程组得 2x-y=5 [x=25 解得 y=45 答：每箱“吉林一号"玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元。 13.定义：关于x,y的二元一次方程x+y=b与bx+y=a互为“对称二元一次方 程”，例如：2x+y=3与3x+y=2互为“对称二元一次方程”. (1)直接写出二元一次方程4x+y=-1的“对称二元一次方程”： (2)关于x,y的二元一次方程(1+2a)x+y=-4-3b与(2a+3)x+y=-b-4 互为“对称二元一次方程”，求a,b的值. 【参考答案】(1)-x+y=4 (28=子 解：（1)解：方程4x+y=-1的“对称二元一次方程”是-x+y=4; (2解：题忘得(+水品 解符日子 即6-7 二、【靶向解决导示题】 1.(2026黑龙江绥化中考真题)《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记 载了这样一道题目：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步.问人有几何？ 意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需 要步行.问共有多少人？设共有x人，可列方程为() A298含2= D. 2 C.考-2=9 2 【参考答案】B 2.（2025·黑龙江)为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足 球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购 买方案( A.6 B.7 C.4 D.5 【参考答案】C 解：设购买x个足球，y个篮球 根据题意得：80x+120y=1200 y=10-数 又x,y均为正整数， 6二8此=6=4=22 ∴.共有4种购买方案 3.（2025·凉山州)若(3x+2y-19)2+2x+y-11=0,则x+y的平方根是（) A.8 B.±8 C.±2W2 D.2V2 【参考答案】C 解：，（3x+2y-19)2+2x+y-11=0, :/3x+2y-19=00 (2x+y-11=0② ②×2，得4x+2y-22=0③ ①-②，得-x+3=0 解得：x=3 把x=3代入②，得2×3+y-11=0 解得：y=5 .∴.x+y=3+5=8 ∴.±V⑧=t2v2 ∴.x+y的平方根是±22 故选：C 4.如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方 形，则图中阴影部分的面积为 20 【参考答案】60 解：设小长方形的长为x,宽为y 由题意可得：x+2y=20 (x=3y 解得： x=12 y=4 ∴.阴影部分的面积=15×20-5×12×4=60 故答案为：60 5已知乙是关于y的二元一次方指到[化的一组鲜。则m 2n的值为 【参考答案】3. 解：代=子是关于x于的-元一次方程低二y；的解 x-y=3 .2×(-2)+3×1=m,-2n-1=3 解得：m=-1,n=-2 .m-2n=-1-2×（-2)=-1+4=3 故答案为：3 6.解方程 (1)x5y+13=0 l9x+6y-8=0 2x-5y=-13① 解：(1)对原方程组进行整理可得 9x+6y=8 ② ①X6+②×5，得57x=-38 解得x=一 将x=一 代入②，得，y= X三 故原方程组的解为 (2) (2) 仔+岁-10 x+y=4② 化简①得，3x+2y=7③ ②×2-③得，-x=1 解得，x=-1 将x=-1代入②得，y=5, 故原方程组的解是；女=5 X=-1 7.阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 3x+5(x+y)=36① 3y+4(x+y)=24② 解：由①+②，得3(x+y)+9(x+y)=60,化简，得x+y=5③ 将③代入①，得3x+25=36,解得x-号 将国代入②，得3y+20=24,解得y= x=11 所以原方程组的解为 3 ly= 3 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法， (1)已 2x+3x-2列=31，则x-2y= 4y-2(x-2y)=10' (2)已知关于x,y的方程组 2x+3(x+3y)=11 6y-4(x+3y)=2m-1 的解满足x+3y=m,求m 的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组： 1320x-1319y=3840 1319x-1318y=3837 【参考答案】(1)3 (2)m=-10 = 解：(1)解： 2x+3(x-2y)=31① 4y-2(x-2y)=10② ①-②，得2x-2y)+5(&-2y)=21 解得x-2y=3: (2)解：} 2x+3(&+3y)=11① 6y-4(&+3y)=2m-1② ①+②，得2x+3y)-(x+3y)=11+2m-1 化简，得x+3y=10+2m .'x+3y =m .10+2m=m 解得m=-10 (3)解： 1320x-1319y=3840① 1319x-1318y=3837② ①-②，得x-y=3,即x=y+3③， 把③代入②，得1319(y+3)-1318y=3837,解得y=-120 把y=-120代入③，得x=-120+3=-117 6贸 8.对于实数a、b,定义关于“☒”的一种运算：a☒b=2什b,例如3⑧4=2×3+4 =10: (1)求4⑧(-3)的值： (2)若x☒(（-y)=2,(2y)⑧x=-1,求x+y的值. 解：(1)根据题中的新定义得：原式=2×4+(-3)=8-3=5： (2)根据题中的新定义化简得： 2x-y=2① x+4y=-1② ①+②得：3x+3y=1 则y=君 9.我们规定：关于x,y的二元一次方程ax+by=c,若满足a+b=c,则称这个 方程为“幸福方程”.例如：方程2x+3y=5,其中a=2,b=3,c=5,满足a+ b=c,则方程2x+3y=5是“幸福方程”.把两个“幸福方程”合在一起叫“幸福 方程组” A若关于xy的方程组mr十Om十1)y=n-1是“幸福方程组”，求m,n的值. mx+2my=n (2)解"幸福方程组mx+(m+1)y=n-1 mx+2my =n 【答案】细-看 a-引 解：1由总，符品n1 整理，得： 2m-n=-2 3m=n 解得： m=2 In 6 (2)由(1)，得原方程组为} 2x+3y=5 2x+4y=6’ 解将化二1 10.(2025·长沙)为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品 由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A, B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等 级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共 收入68元.（不考虑加工损耗） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少 元？ (2)若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销 售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 【参考答案】(1)每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级 农产品的销售单价为10元： (2)至少需加工A等级农产品2000千克。 解：（1)设每千克A等级农产品的销售单价为x元，每千克B等级农产品的 销售单价为y元， ∫6x+4y=112 由题意得：4+2y=68 解得： X=12 y=10 答：每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售单 价为10元： (2)设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品(6000-m)千 克， 由题意得：(12-8)m+(10-8)(6000-m)≥16000， 解得：1m≥2000， 答：至少需加工A等级农产品2000千克 三、【精准达标训练卷】 1.若xm-2y-2=2022是关于x,y的二元一次方程，则m,n的值分别是() A.m=1,n=0B.m=0,n=1C.m=2,n=2D.m=1,n=3 【参考答案】D x+2y=9 2.(2026云南中考真题)方程组3x-2v=-1的解为() x=2 x=2 x=-2 x=2 5 A.y=2 B. y=7c.y=5 D.=3 【参考答案】A x+2y=9① 解：3r-2y=-1② .①+②，得4x=8 解得x=2 将x=2代入①，得2+2y=9, 解得" [x=2 7 y= ∴原方程组的解为2 2x+4y=6, 3.若x,y满足方程组 x+5=5则-y的值为( A.1 B.-1 C.6 D.-19 【参考答案】A 4解方指细“y5,时，将台百错后得季到子正确结果应=子 则a+b+c的值应为( A.3 B.4 C.5 D.6 【参考答案】C 5.图①，图②都是由8个一样的小长方形拼成的，且图②中的阴影部分（正方形) 的面积为1，设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为vcm,下列方程组正确的是 ( ) 图① 图② 「3x=5y [3x=5y C. [3y=5x [3y=5x A. D. 2x-y=1 2y-x=1 2y-x=1 2x-y=1 【参考答案】B 6.(2026贵州中考真题)在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价 是每斤9文，锡的单价是每斤7文，购买相同斤数的铜和锡共花费10贯(1贯=1000 文).问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是x,下列方程正确 的是() A.9x+7x=10x1000 B.9x-7x=10x1000 C.9x+7x=10 D.9x-7x=10 【参考答案】A 7.对于实数x、y定义新运算：x⑧y=ar++5,其中a,b为常数.已知1⑧2=9， (-3)⑧3=2，则ab的值为() A.0 B.1 C.2 D.4 【参考答案】cC 解：.x⑧y=m+by+5,且1⑧2=9，（-3)⑧3=2 a+2b+5=9 3a+3b+5=2 a=2 解得：b=1 ∴.b=2×1=2 (a+b+c=0 8.下列四组数值中，()是方程组 2a-b+c=-5的解. 3a-b-c=-4 a=0 (a=-1 A. 3b=1 B. b=2 (c=-1 (c=-1 (a=-1 (a=1 C.b=1 D. b=-2 (c=-2 (c=3 a+b+c=0① 解：{2a-b+c=-5② 3a-b-c=-4③ ①+③得：4a=-4, 解得：a=-1 ②+③得：5a-2b=-9④ 把a=-1代入④得：-5-2b=-9 解得：b=2 把a=-1,b=2代入①得：-1+2+c=0 解得：c=-1 (a=-1 故原方程组的解为b=2 (c=-1 故选：B 9、若关于x,y的二元一次方程组 2x-y=5k x+y=k 的解也是方程3x-2y=8的解，则k 的值为 【答案】1 2x-y=5k① 解： x+y=k②’ ①+②得：3x=6k 解得x=2k 将x=2k代入②，得y=- 又.3x-2y=8 ∴.6k+2k=8 .8k=8 解得：k=1 k的值为1 故答案为：1 10.已知关于x,y的二元一次方程组 ax+4y=2 {7x-=3的解是 3求+位 【参考答案】-4 解：把代入 ax+4y=2 「a+8=2 7-2b=3' 解架公： ∴.a+b=-6+2=-4 11.解方程（组）： (1) 后x+1=y 2(x+1)-y=6 (2) 2x-3y=7 l(4x+5y=3 (3)=2=1 3 (1) 6x+1=0 2(x+1)-y=6② 将①代入②，得2(x+1)-(5x+1)=6 2x+23x-1=6 1 2x-3×=6+1-2 x=5,解得x=3 把x=3代入②，得6-y=4,解得y=2 所以方程组的解为心=2 X=3 (2) 2x-3y=7① 4x+5y=3② ②-①×2，得11y=-11,解得y=-1 把y=-1代入①，得23=7，解得x=2 所以方程组的解为二乙】 (3)方程组可化为 3x+y=2① x+2y=3② ①×2-②，得5x=1,解得x= 把x-代入①，得=2，解得y=名 1-5 所以方程组的解为 12.(2026·广东.中考真题)低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田 里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹.现 有A,B两种型号的无人机可用来播种. (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机 和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元 (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种 1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机 每台日均分别播种多少亩， 【参考答案】(1)A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元. (2)A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩. 解：(1)解：设A型无人机的单价是x万元、B型无人机的单价是y万元， x+3y=9 根据题意得： 3x+y=11 解得： x=3 y=2 答：A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元； (2)解：设A型无人机每台日均播种m亩，B型无人机每台日均播种(-200)亩， 则 1500900 -200 解得m=500 经检验m=500是分式方程的解且符合题意 -200=500-200=300 答：A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩. 13.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程为“和 1方程”.例如：方程4x=8和x+1=0为“和1方程”。 (1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是“和1方程”，求m的值： (2)若“和1方程"的两个方程解的差为8，其中一个解为n,求n的值. 【参考答案】(1)m的值为9： (2)n的值为-3.5或4.5 解：(1)解：3x+m=0 3x=-m 3 4x-2=x+10 4x-x=10+2 3x=12 x=4 ,关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是“和1方程”， -g+4=1 m=1-4 3 m -3-3 m=9 m的值为9 (2)解：设另一个方程的解为m, ,“和1方程”的两个方程解的差为8， +-A mm 鲜得：-行m4 .n的值为-3.5或4.5 四、【学业质量评估卷】 1.把方程2x-y=4改写成用含x的式子表示y的形式正确的是（) A.y=2x-4B.x=y+2C.y=2x+4D.x=2y-2 【参考答案】A 2.已知关于x,y的二元-次方程组十二的解是2，则a+b的值是 3x+b=4 () A.-1 B.1 C.-3 D.3 【参考答案】A 解：将-一2代入二元次方程组（二手符， 2a-(-2)=4 6+b=4 解得：62 a+b=1+(-2)=-1 故选：A 3.若关于x,y的方程组 3x-2y=2k-3的解满足2022，则k等于(） 2x+7y=3k-2 A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【参考答案】D 解： 3x-2y=2k-3① 2x+7y=3k-2② ①+②，得5x+5y=5k-5 ∴.x+y=k-1 .x+y=2022 .k-1=2022 .k=2023 故选：D. 4.(2026四川攀枝花中考真题)若方程组 的解为仁子则老不数 x=4 是() A.-1 B.-2 C.1 D.2 【参考答案】A -x十y=△ x=4 解：：方程组2x-y=5的解为Uy=3 ∴.△=-4+3=-1 5.（2026甘肃天水中考真题)甘肃省是“一带一路"沿线上重要的节点省份，特 色农产品正借势加速走向世界.兰州海关数据显示，2026年第一季度甘肃省农产 品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，苹果 汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元.设苹果汁和黄芪的出口额分别为x亿元、 y亿元，则可列二元一次方程组为() [x+y=3.4 「x+y=3.4 A. B. x=2y+0.4 y=2x+0.4 x+y=3.4 x+y=3.4 C. y=2x-0.4 D. 1x=2y-0.4 【参考答案】D 6.(2025·宜宾)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛 五、羊二，直金十两：牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意 思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那 么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两， 列出方程组应为() 5x+2y=10 A.{2x+5y=8 B. 5x+2y=8 2x+5y=10 c. 5x-2y=10 D. 5x+2y=10 2x+5y=8 2x-5y=8 【参考答案】A 7、(2025·天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良 马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何 日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢 马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列 出的方程为( A.240x=150（x+12) B.240x=150（x-12) C.150x=240（x+12) D.150x=240(x-12) 解：依题意，得：240x=150（x+12) 故选：A 8.一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数大36， 则这个两位数是 0 【参考答案】59 解：设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y 依题意得： x+y=14 (10y+x)-(10x+y)=36 解得： x=5 y=9 .10x+y=10×5+9=59 故答案为：59 9.如图所示，大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形（无缝隙、 不重叠)，图中阴影部分面积是 4cm 12cm 【参考答案】24cm2. 解：设小长方形的长为xcm,宽为yc, 由题意得： x+3y=12 x+y-2y=4 解得： x=6 y=2' ∴.图中阴影部分面积=12×(4+2×2)-6×6×2=96-72=24(c2), 故答案为：24cm 10.解二元一次方程组： x+2y=9 (1)（2026广东深圳.中考真题)解二元一次方程组： 2x+3y=16 (3x+2y=10 (X=3 【参考答案】(1) x=5 y=2 (2) y= 解：(1) x+2y=9① 2x+3y=16② 由①x2-②得y=2 将y=2代入①得x+2×2=9 解得x=5 x=5 方程组的解为 y=2 (2)解： +1=1 2 3x+2y=10 整理得： 3x-2y=8① 3x+2y=10② ①+②得：6x=18,解得x=3, 把x=3代入①得：9-2y=8,解得y= =3 方程组的解 11.先阅读材料，再解方程组 解方程组： x+y=4① 3(x+y)+y=14② 解：将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y=14,解得y=2. 把y=2代入①，得x=2, 所以原方程组的解为 x=2 y=2 x-y-1=0① 这种解法称为整体代入法”，请用这种方法解方程组： 4(x-y)-y=5② 【参考答案】 x=0 y=-1 解：由①，得x-y=1.③ 把③代入②，得4×1-y=5,解得y=-1 把y=-1代入③，得x=0 所以原方程组的解为 x=0, y=-1 五、【固本提升综合卷】 1若x1+y=5是关于xy的二元一次方程，则k的值为() A.k=1 B.k=2 C.k=3 D.k=0 【参考答案】B 2.若方和低+y-4店解与y互为相反数，则6的位 A.1 B.2 C.3 D.4 解为程细11y4的解中与于百为荆反流 2x+3y=1① x+y=0② 解这个方程组。符11 把代入方程-*(1)=4 得t1+(t1)×1=4 解这个方程，得m=1 故选：A 3.(2026四川眉山中考真题)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中 记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两：雀重燕轻， 互换其中一只，恰好一样重.问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y 两，则可列出方程组为() 5x+6y=16 5x+6y=16 A. B 4x+y=5y+x 5.x+y=6y+x 6x+5y=16 6x+5y=16 C. D 4x+y=5y+x 5x+=6v+x 【参考答案】A 4.二元一次方程x+3y=9的正整数解有（) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【参考答案】B 5.(2025·齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激 发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参 观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座 位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 【参考答案】B 解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：45x+60y=900 整理得：x=20-y x、y均为正整数， -6=6281日 y=12 .租车方案有4种， 故选：B. 6.对于x、y,规定一种运算：必y=ax+,其中a、b为常数，已知3※4=11， (-3)※5=16，则b-3a的平方根是（) A.2 B.±2 C.√ D.5 【参考答案】B 3a+4b=11 解：由题意得： -3a+5b=16' a= 解得： 3 b=3 ∴.b-3a=3-3× 1 4,4的平方根是±2 3) ∴.b-3a的平方根是±2 故选：B. 2x+3y=1 7.关于x,y的方程组 2x+y=-g的解满足x+y=1,则a= 【参考答案】 2x+3y=1① 解： 2x+y=8a-9② ①-②，得：2y=10-8a ∴.y=5-4a 代入②得：2x+5-4a=8a-9 解得：x=6a-7 .x+y=6a-7+5-4a=2a-2 .2a-2=1 解得：a} 枝答案为：号 8解方程组： x+2(x-y)=7 0号=3 [5x-2y=17 (2) 3x+4y=5 x+2(x-y)=7 (1) 1+y=-3 2 整理得 3x-2y=7① x+2y=-5② ①+②，得4x=2, 解得x=号 把x=代入@，得=号 所以原方程组的解是 2 11 V=- 4 (2)解： 5x-2y=17① 3x+4y=5② ①×2+②得：13x=39 解得：x=3 把x=3代入①得：y=-1 x=3 则方程组的解为 y=-1 9.已知关于x、y的方程组 3x-y=1 2x+3y=8 ar-m=3和 ar+by=-5的解相同，求a和b的值. a=-1 【参考答案】 1b=-2 3x-y=1 解：由题意得： 2r+3=8的解即为 a-y=3 m+b=-5的解， 对于 3x-y=1 2x+3y=8' 将3x-y=1等号两边同乘3，可得9x-3y=3 两式相加，可得9x-3y+2x+3y=3+8 解得x=1 将x=1代回3x-y=1中，即3×1-y=1 解得y=2 2x+3=8的解为 3x-y=1 x=1 (y=2 将代入 -y=3 +b=-5中 即/a-2b=3 a+2b=-5 两式相加，可得a-2b+a+2b=3-5 解得a=-l 将a=-1代回a-2b=3中，即-1-2b=3 解得b=-2 …8 10.(2025·连云港)如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长 方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等 甲种纸盒 乙种纸盒 硬纸片 (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两 种纸盒各多少个？ (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数 量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？ 【参考答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个； (2)至少需要134张正方形硬纸片. 解：(1)设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 根据题意得：} x+2y=200 4x+3y=400 解得： x=40 y=801 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个； (2)设制作乙种纸盒个，需要w张正方形硬纸片，则制作甲种纸盒（100 -m)个， 根据题意得：w=2m叶(100-m)=+100 .k=1>0 w随m的增大而增大 又：m≥(100-m) 解得：2g9 ,m为正整数 ∴.当m=34时，w取得最小值，最小值为34+100=134（张). 答：至少需要134张正方形硬纸片. 11.【定义】我们把关于xy的两个二元一次方程+by=c与bx+ay=c(a≠b)叫作 对称二元一次方程”，二元一次方程组 rc+=C叫做关于xy的“对称二元一次 bx+ay=c 方程组”.例如：2x+y=3与x+2y=3是对称二元一次方程”，二元一次方程组 代+23叫做关于)的对称二元一次方程组 [2x+y=3 【理解】 (1)方程2x+3y=5的对称二元一次方程”是 ②)若关于价方程粗为对称元一次方程细，则 = b= 2x+y=3 (3)观察方程组 +2y=3中两个方程“系数对称”且常数项相同，可直接相加 减消元： 解：两式相加：(2x+y)+(x+2y)=3+3 3x+3y=6 x+y=2③ 两式相减：x-y=0 .x=y④ 代入求解： 把x=y代入方程③x+y=2,得：x+x=2,解得x=1,则y=1. x=1 所以这个方程组的解是： y=1 【探究】 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解）： [2x+3y=10 2x-4y=-6 ① 3x+2y=10 -4x+2y=-6- x=2 x=3 【参考答案】(1)3x+2y=5;(2)2,-1;(4)① y=2，② y=3 解：（1)方程2x+3y=5的对称二元一次方程”是3x+2y=5; 故答案为：3x+2y=5 (2)由题意，得：2-a=2a-4,b+4=2-b 解得：a=2,b=-1 (4)①5 2x+3y=10① 3x+2y=10② ①+②，得：5x+5y=20 ∴.x+y=4③ ①-②，得：-x+y=0④ ∴.③+④，得：2y=4,解得：y=2 ③-④，得：2x=4,解得：x=2 2x-4y=-6① ② -4x+2y=-6② ①+②，得：-2x-2y=-12 ∴.x+y=6③ ①-②，得：x-y=0④ ∴.③+④，得：2x=6,解得：x=3 ③-④，得：2y=6,解得：y=3 …【诊·导·练·评·固】2027新中考数学一轮复习课堂专训： 二元一次方程组（华师大版） 一、【专题学情诊断卷】 1,若都二是关于x、y的方程x-0y=1的个解，则口的值为() A.3 B.-3 C.1 D.-1 2.（2026北京中考真题)方程组 3x-2y=7的解为() x+y=4 x=3 x=3 x=5 「x=5 A.y=1 B y=-1 D. y=1 y=-1 3.(2025·天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良 马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何 日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢 马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列 出的方程为() A.240x=150(x+12) B.240x=150(x-12) C.150x=240(x+12) D.150x=240(x-12) 4.“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全 套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的 宽都相等.如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌 面的宽为m尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为() A(7,8.75) 欣 燕 U 原本 固 0 A. r4m=7 B. 4n=7 m+n=8.75 m+n=8.75 C. ∫4m=7 D. 4n=7 2m+n=8.75 2m+n=8.75 5.(2025长安区校级模拟)若关于x,y的二元一次方程组} 4x+2y=5k-4 2x+4y=5 的解满足x+y=1,则k的值为() A.0 B.1 C.2 D.-1 6.(2025•泌阳县二模)“九宫图传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案， 故又称“龟背图”，在我国古代数学史上经常研究这个图.数学上的“九宫图” 是一个3×3的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也 称为三阶幻方.如图是一个三阶幻方，则x-2y的值为（) 4 x 3 2 A.-5 B.-3 C.-1 D.4 7.已知方程x-3y=5,用含y的代数式表示x,则x= 8.（2026山东烟台中考真题)路上一群马车行，车车坐人都相等.五人同车三 车空，四人同车九步行.问车有多少辆，共有多少人？设有x辆车，y个人，根 据题意，可列关于x,y的方程组为 9为了表彰优秀学生，学校购买了一些钢笔和笔记本作为奖品.已知购买3支钢 笔和2本笔记本共需91元，购买5支钢笔和3本笔记本共需149元，则购买 1支钢笔和1本笔记本共需元。 10.已知二是-元一次方程物=8的个解，则太的值为一 [2x+y=5 11.（2026四川乐山中考真题)解方程组： x+y=1 12.（2026吉林.中考真题)吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林 玉米享誉全国.购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元： 购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元.求每箱“吉林一号” 玉米和每箱“吉林二号玉米的售价， 13.定义：关于x,y的二元一次方程ax+y=b与bx+y=a互为“对称二元一次方 程”，例如：2x+y=3与3x+y=2互为“对称二元一次方程”. (1)直接写出二元一次方程4x+y=-1的“对称二元一次方程”： (2)关于x,y的二元一次方程(1+2a)x+y=-4-3b与(2a+3)x+y=-b-4 互为“对称二元一次方程”，求a,b的值. 二、【靶向解决导示题】 1.(2026黑龙江绥化中考真题)《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记 载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人有几何？ 意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的：2个人坐一辆车，有9个人需 要步行.问共有多少人？设共有x人，可列方程为() 2 D.2-+9 3-2 2.（2025·黑龙江)为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足 球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购 买方案() A.6 B.7 C.4 D.5 3.(2025·凉山州)若(3x+2y-19)+2x+y-11=0,则x+y的平方根是() A.8 B.±8 C.±22 D.2V2 4如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方 形，则图中阴影部分的面积为 20 5。已知二12是关于少的=元一次方托组+》3的一粗解，则m 2n的值为 6.解方程 (1) 2x-5y+13=0 x-1+y1=1 (9x+6y-8=0 (2) 23 x+y=4 7.阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 3x+5(x+y)=36① 3y+4(x+y)=24② 解：由①+②，得3(x+y)+9(x+y)=60,化简，得x+y=5③ 将国代入①，得3x+25-36,解得x-号 将③代入②，得3y+20=24,解得y=寺 x= 11 所以原方程组的解 l-i 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法. a胆6+农-匆=0 则x-2y= 2)已知关于x,y的方程组 2x+3(x+3y)=11 6y-4(x+3y)=2m-1 的解满足x+3y=m,求m 的值； 1320x-1319y=3840 (3)请仿照上面的解题思路，解方程组： 1319x-1318y=3837 8.对于实数a、b,定义关于“☒”的一种运算：a⑧b=2a什b,例如3☒4=2×3+4 =10. (1)求4☒(-3)的值： (2)若x⑧（-y)=2,（2y)⑧x=-1,求x+y的值。 9.我们规定：关于x,y的二元一次方程ax+by=c,若满足a+b=c,则称这个 方程为“幸福方程”.例如：方程2x+3y=5,其中a=2,b=3,c=5,满足a+ b=c,则方程2x+3y=5是“幸福方程”.把两个“幸福方程”合在一起叫“幸福 方程组” 若关于xy的方程组mx+m+1)y二n-1是“幸福方程组”，求m,n的值。 mx+2my =n (2)解“幸福方程组mx+(m+1)y=n-1 mx+2my =n 10.（2025·长沙)为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品 由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A, B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等 级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共 收入68元.（不考虑加工损耗） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少 元？ （2)若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销 售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 三、【精准达标训练卷】 1.若xm-2yn-2=2022是关于x,y的二元一次方程，则m,n的值分别是() A.m=1,n=0B.m=0,n=1C.m=2,n=2D.m=1,n=3 x+2y=9 2.(2026云南中考真题)方程组3x-2y=-1的解为() X=2 x=2 7 x=-2 [x=2 5 A. \y-2 B y=7 C. y=5 D N23 [2x+4y=6, 3.若x,y满足方程组 ) x+5y=5. 则x-y的值为( A.1 B.-1 C.6 D.-19 4. 解方程 bx-cy=1时，将a看错后得到x=? ax+y=5 y=3' 正确结果应为x=1 y=2’ 则a+b+c的值应为( A.3 B.4 C.5 D.6 5.图①，图②都是由8个一样的小长方形拼成的，且图②中的阴影部分（正方形） 的面积为1，设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为vcm,下列方程组正确的是 ( 图① 图② ∫3x=5y 「3x=5y 「3y=5x [3y=5x A. B. C. D. 2x-y=1 2y-x=1 2y-x=1 2x-y=1 6.(2026贵州.中考真题)在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价 是每斤9文，锡的单价是每斤7文，购买相同斤数的铜和锡共花费10贯(1贯-1000 文).问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是x,下列方程正确 的是（) A.9x+7x=10x1000 B.9x-7x=10x1000 C.9x+7x=10 D.9x-7x=10 7.对于实数x、y定义新运算：x⑧y=x+y+5,其中a,b为常数.已知1⑧2=9， （-3)⑧3=2，则ab的值为() A.0 B.1 C.2 D.4 (a+b+c=0 8.下列四组数值中，()是方程组}2a-b+c=-5的解. 3a-b-c=-4 a=0 (a=-1 A.b=1 B. b=2 (c=-1 (c=-1 a=-1 (a=1 C. b=1 D. b=-2 (C=-2 c=3 9、若关于x,y的二元一次方程组 x+=k的解也是方程3x-2y=8的解，则石 2x-y=5k 的值为一。 ax+4y=2 10.己知关于x,y的二元一次方程组 x-b=3的解是 x=1 =2求a+b的值。 11.解方程（组)： (1) x+1=y (2) 2x-3y=7 2(x+1)-y=6 4x+5y=3 (3)3x+=+y=1 3 12.（2026广东中考真题)低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田 里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹.现 有A,B两种型号的无人机可用来播种. (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机 和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元. (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种 1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机 每台日均分别播种多少亩。 13.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程为“和 1方程”.例如：方程4x=8和x+1=0为“和1方程”。 (1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是“和1方程”，求m的值： (2)若“和1方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为m,求n的值。 四、【学业质量评估卷】 1.把方程2x-y=4改写成用含x的式子表示y的形式正确的是() A.y=2x-4B.x=2y+2 C.y=2x+4D.x=2y-2 2已知关于)的二元一次方程组（名在的解是（二2，则+b的值是 () A.-1 B.1 C.-3 D.3 3,若关于x,y的方程组 3x-2y=2k-3的解满足y-2022,则k等于（） 2x+7y=3k-2 A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 -x+y=△ 2x-y=5的解为 x=4 4.(2026四川攀枝花.中考真题)若方程组 y=3 则△表示的数 是() A.-1 B.-2 C.1 D.2 5.(2026甘肃天水中考真题)甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特 色农产品正借势加速走向世界.兰州海关数据显示，2026年第一季度甘肃省农产 品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为3.4亿元，苹果 汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元.设苹果汁和黄芪的出口额分别为x亿元、 y亿元，则可列二元一次方程组为() [x+y=3.4 x+y=3.4 A. B. x=2y+0.4 y=2x+0.4 x+y=3.4 「x+y=3.4 D. y=2x-0.4 x=2y-0.4 6.(2025·宜宾)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛 五、羊二，直金十两：牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意 思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那 么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两， 列出方程组应为() A. 5x+2y=10 (5x+2y=8 (2x+5y=8 B. 2x+5y=10 c. 5x-2y=10 (5x+2y=10 2x+5y=8 D.{2x-5y=8 7、(2025·天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良 马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何 日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢 马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列 出的方程为() A.240x=150(x+12) B.240x=150（x-12) C.150x=240（x+12) D.150x=240（x-12) 8.一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数大36， 则这个两位数是 9.如图所示，大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形（无缝隙、 不重叠)，图中阴影部分面积是 4cm 12cm 10.解二元一次方程组： x+2y=9 (1)(2026广东深圳中考真题)解二元一次方程组： 2x+3y=16 (3x+2y=10 11.先阅读材料，再解方程组 x+y=4① 解方程组： 3(x+y)+y=14② 解：将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y=14,解得y=2. 把y=2代入①，得x=2, x=2 所以原方程组的解为 y=2 x-y-1=0① 这种解法称为整体代入法，请用这种方法解方程组： 4(x-y)-y=5② 五、【固本提升综合卷】 1.若x1+y=5是关于x,y的二元一次方程，则k的值为（) A.k=1 B.k=2 C.k=3 D.k=0 2.若方程组2x+3y=1 m-x+(m+1)y=4的解中x与y互为相反数，则m的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2026四川眉山中考真题)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中 记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两：雀重燕轻， 互换其中一只，恰好一样重.问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y 两，则可列出方程组为() 5x+6y=16 5x+6y=16 A. B. 4x+v=5v+x 5x+y=6v+x [6x+5y=16 6x+5y=16 C. D. 4x+v=5v+x 5x+y=6y+x 4.二元一次方程x+3y=9的正整数解有() A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 5.(2025·齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激 发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参 观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座 位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有() A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 6.对于x、y,规定一种运算：※y=ax+by,其中a、b为常数，已知3※4=11， (-3)※5=16，则b-3a的平方根是() A.2 B.±2 C.√2 D.±√2 「2x+3y=1 7.关于x,y的方程组 2x+y=8a-g的解满足x+y=1,则a= 8.解方程组： x+2(x-y)=7 [5x-2y=17 (1)x-1+ 1+y=-3 (2) 3x+4y=5 2 9.已知关于x、y的方程组 红和红物，的解相同，求a和b的直。 「2x+3y=8 10.(2025·连云港)如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长 方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等 甲种纸盒 乙种纸盒 硬纸片 (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两 种纸盒各多少个？ (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数 量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？ 11.【定义】我们把关于xy的两个二元一次方程m+by=c与bx+y=c(a≠b)叫作 对称二元一次方程”，二元一次方程组 [a+=c叫做关于xy的“对称二元一次 bx+ay=c 方程组”.例如：2x+y=3与x+2y=3是对称二元一次方程”，二元一次方程组 2x+y=3 +2y=3叫做关于小y的对称二元一次方程组 【理解】 (1)方程2.x+3y=5的对称二元一次方程是： (2a-4)x+=2b为对称二元一次方程组，则 x+(2-a)y=b+4 (2)若关于Ky的方程组 a= b= 2x+y=3 (3)观察方程组 x+2y=3 中两个方程“系数对称，且常数项相同，可直接相加 减消元： 解：两式相加：(2x+y)+(x+2y)=3+3 3x+3y=6 .x+y=2③ 两式相减：x-y=0 .x=y④ 代入求解： 把x=y代入方程③x+y=2,得：x+x=2,解得x=1,则y=1. x=1 所以这个方程组的解是： y=1 【探究】 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解）： [2x+3y=10 2x-4y=-6 ① 3x+2y=10- ② -4x+2y=-6 【诊·导·练·评·固】2027新中考数学一轮复习课堂专训： 二元一次方程组（华师大版） （解析篇） 一、【专题学情诊断卷】 1.若是关于x、y的方程x﹣ay＝﹣1的一个解，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 解：把代入方程x﹣ay＝﹣1 得2﹣a＝﹣1 解得a＝3 故选：A 2．（2026·北京·中考真题）方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【参考答案】A 解： 将①式两边同乘2得，， 得，， 解得 将代入①式得，， 解得 因此原方程组的解为 3．（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 【参考答案】A 4．“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，根据图中信息，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【参考答案】A 解：根据题意知：横轴方向，4m＝7 纵轴方向，m+n＝8.75 ∴方程组为 故选：A 5．（2025•长安区校级模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【参考答案】B 解： 方法一：①+②得，6x+6y＝5k+1 ∴x+y1 解得k＝1 故选：B 6．（2025•泌阳县二模）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，在我国古代数学史上经常研究这个图．数学上的“九宫图”是一个3×3的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个三阶幻方，则x﹣2y的值为（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．4 【参考答案】C 解：根据题意得： 解得：， ∴x﹣2y＝﹣3﹣2×（﹣1）＝﹣1 故选：C 7.已知方程x﹣3y＝5，用含y的代数式表示x，则x＝ 。 解：x﹣3y＝5 解得x＝3y+5 故答案为：3y+5 8．（2026·山东烟台·中考真题）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，个人，根据题意，可列关于，的方程组为__________。 【参考答案】 解：设有辆车，个人，由题意得 9.为了表彰优秀学生，学校购买了一些钢笔和笔记本作为奖品．已知购买3支钢笔和2本笔记本共需91元，购买5支钢笔和3本笔记本共需149元，则购买1支钢笔和1本笔记本共需 　 　元。 解：设钢笔的单价为x元/支，笔记本的单价为y元/本， 依题意得： 解得： ∴x+y＝25+8＝33 ∴购买1支钢笔和1本笔记本共需33元 故答案为：33 10．已知是二元一次方程x+ky＝8的一个解，则k的值为 　　 ． 【参考答案】2． 解：将代入x+ky＝8得：2+3k＝8 解得：k＝2。 11．（2026·四川乐山·中考真题）解方程组： 【参考答案】 解： ，得 把代入②，得 12．（2026·吉林·中考真题）吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元．求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价． 【参考答案】每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元． 解：设每箱“吉林一号”玉米售价为元，每箱“吉林二号”玉米售价为元． 根据题意列方程组得 解得 答：每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元。 13.定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 【参考答案】(1) (2) 解：（1）解：方程的“对称二元一次方程”是； （2）解：由题意得， 解得， 即。 二、【靶向解决导示题】 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有人，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【参考答案】B 2．（2025•黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（　　） A．6 B．7 C．4 D．5 【参考答案】C 解：设购买x个足球，y个篮球 根据题意得：80x+120y＝1200 ∴y＝10x 又∵x，y均为正整数， ∴或或或 ∴共有4种购买方案 3．（2025•凉山州）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，则x+y的平方根是（　　） A．8 B．±8 C．±2 D．2 【参考答案】C 解：∵（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0， ∴ ②×2，得4x+2y﹣22＝0③ ①﹣②，得﹣x+3＝0 解得：x＝3 把x＝3代入②，得2×3+y﹣11＝0 解得：y＝5 ∴x+y＝3+5＝8 ∴ ∴x+y的平方根是 故选：C． 4.如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为 　 【参考答案】60 解：设小长方形的长为x，宽为y 由题意可得： 解得： ∴阴影部分的面积＝15×20﹣5×12×4＝60 故答案为：60 5．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则m﹣2n的值为 　 　 【参考答案】3． 解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解， ∴2×（﹣2）+3×1＝m，﹣2n﹣1＝3 解得：m＝﹣1，n＝﹣2 ∴m﹣2n＝﹣1﹣2×（﹣2）＝﹣1+4＝3 故答案为：3 6.解方程 （1）； 解：（1）对原方程组进行整理可得， ①×6+②×5，得57x＝﹣38 解得 将代入②，得， 故原方程组的解为 （2） （2） 化简①得，3x+2y＝7③ ②×2﹣③得，﹣x＝1 解得，x＝﹣1 将x＝﹣1代入②得，y＝5， 故原方程组的解是； 7.阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 【参考答案】(1)3 (2) (3) 解：（1）解： ，得 解得； （2）解： ，得 化简，得 ∵ ∴ 解得 （3）解： ，得，即， 把③代入②，得，解得 把代入③，得 ∴ 8.对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如3⊗4＝2×3+4＝10． （1）求4⊗（﹣3）的值； （2）若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝﹣1，求x+y的值． 解：（1）根据题中的新定义得：原式＝2×4+（﹣3）＝8﹣3＝5； （2）根据题中的新定义化简得： ①+②得：3x+3y＝1 则x+y 9.我们规定：关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福方程”．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福方程”．把两个“幸福方程”合在一起叫“幸福方程组”． (1)若关于的方程组是“幸福方程组”，求的值． (2)解“幸福方程组” 【答案】(1) (2) 解：（1）由题意，得 整理，得： 解得： （2）由（1），得原方程组为， 解得 10．（2025•长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元．（不考虑加工损耗） （1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ （2）若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 【参考答案】（1）每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售单价为10元； （2）至少需加工A等级农产品2000千克。 解：（1）设每千克A等级农产品的销售单价为x元，每千克B等级农产品的销售单价为y元， 由题意得： 解得：， 答：每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售单价为10元； （2）设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品（6000﹣m）千克， 由题意得：（12﹣8）m+（10﹣8）（6000﹣m）≥16000， 解得：m≥2000， 答：至少需加工A等级农产品2000千克 三、【精准达标训练卷】 1.若是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是（　　） A． B． C． D． 【参考答案】D 2．（2026·云南·中考真题）方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【参考答案】A 解： ∵①②，得 解得 将代入①，得， 解得 ∴原方程组的解为 3.若满足方程组则的值为（    ） A．1 B． C．6 D． 【参考答案】A 4．解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则的值应为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【参考答案】C 5.图①，图②都是由8个一样的小长方形拼成的，且图②中的阴影部分（正方形）的面积为1，设每块小长方形地砖的长为，宽为，下列方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【参考答案】B 6．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【参考答案】A 7．对于实数x、y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【参考答案】C 解：∵，且， ∴ 解得： ∴ 8．下列四组数值中，（　　）是方程组的解． A． B． C． D． 解： ①+③得：4a＝﹣4， 解得：a＝﹣1 ②+③得：5a﹣2b＝﹣9④ 把a＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9 解得：b＝2 把a＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0 解得：c＝﹣1 故原方程组的解为 故选：B 9、若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为 。 【答案】1 解：， 得： 解得 将代入，得 又∵ ∴ ∴ 解得： ∴k的值为1 故答案为：1 10.已知关于，的二元一次方程组的解是，求的值 【参考答案】 解：把代入，得， 解得 ∴ 11.解方程（组）： （1） （2） （3） （1） 将①代入②，得 ，解得x＝3 把x＝3代入②，得6﹣y＝4，解得y＝2 所以方程组的解为 （2）， ②﹣①×2，得11y＝﹣11，解得y＝﹣1 把y＝﹣1代入①，得2x+3＝7，解得x＝2 所以方程组的解为 （3）方程组可化为 ①×2﹣②，得5x＝1，解得x 把x代入①，得y＝2，解得y 所以方程组的解为 12．（2026·广东·中考真题）低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种． (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元． (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩． 【参考答案】(1)A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元． (2)A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 解：（1）解：设A型无人机的单价是x万元、B型无人机的单价是y万元， 根据题意得： 解得： 答：A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元； （2）解：设A型无人机每台日均播种m亩，B型无人机每台日均播种亩，则 解得 经检验是分式方程的解且符合题意 答：A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 13.定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”。 (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 【参考答案】(1)的值为； (2)的值为或 解：（1）解： ∵关于的方程与方程是“和方程”， ∴ ∴的值为 （2）解：设另一个方程的解为， ∵“和方程”的两个方程解的差为， ∴ ∴或 解得：或 ∴的值为或． 四、【学业质量评估卷】 1.把方程改写成用含x的式子表示y的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【参考答案】A 2．已知关于的二元一次方程组的解是，则的值是（    ） A． B．1 C． D．3 【参考答案】A 解：将代入二元一次方程组得， 解得： 故选：A 3．若关于x，y的方程组的解满足x+y=2022，则k等于（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【参考答案】D 解： ①+②，得5x+5y＝5k﹣5 ∴x+y＝k﹣1 ∵x+y＝2022 ∴k﹣1＝2022 ∴k＝2023 故选：D． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）若方程组的解为，则表示的数是（     ） A． B． C．1 D．2 【参考答案】A 解：∵方程组的解为 ∴ 5．（2026·甘肃天水·中考真题）甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的倍少亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为亿元、亿元，则可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 【参考答案】D 6．（2025•宜宾）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A． B． C． D． 【参考答案】A 7、（2025•天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 解：依题意，得：240x＝150（x+12） 故选：A 8．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数大36，则这个两位数是______。 【参考答案】59 解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y 依题意得： 解得： ∴ 故答案为：59 9．如图所示，大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形（无缝隙、不重叠），图中阴影部分面积是　 【参考答案】24cm2． 解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 由题意得： 解得：， ∴图中阴影部分面积＝12×（4+2×2）﹣6×6×2＝96﹣72＝24（cm2）， 故答案为：24cm2 10．解二元一次方程组： （1）（2026·广东深圳·中考真题）解二元一次方程组：． (2) 【参考答案】（1） （2） 解：（1） 由得 将代入①得 解得 ∴方程组的解为 （2）解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为． 11．先阅读材料，再解方程组 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 【参考答案】 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得 把代入③，得 所以原方程组的解为 五、【固本提升综合卷】 1.若是关于的二元一次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 【参考答案】B 2．若方程组的解中x与y互为相反数，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵方程组的解中x与y互为相反数， ∴． 解这个方程组，得 把代入方程m﹣x+（m+1）y＝4 得m+1+（m+1）×1＝4 解这个方程，得m＝1 故选：A 3．（2026·四川眉山·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【参考答案】A 4.二元一次方程的正整数解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【参考答案】B 5．（2025•齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【参考答案】B 解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：45x+60y＝900 整理得：x＝20y ∵x、y均为正整数， ∴或或或 ∴租车方案有4种， 故选：B． 6.对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 【参考答案】B 解：由题意得：， 解得：， ∴，4的平方根是 ∴的平方根是 故选：B． 7．关于的方程组的解满足，则 ． 【参考答案】 解： ①②，得： ∴ 代入②得： 解得： ∴ ∴ 解得： 故答案为： 8.解方程组： (1) (2) （1） 整理得 ，得， 解得 把代入②，得 所以原方程组的解是 （2）解： 得： 解得： 把代入得： 则方程组的解为 9.已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 【参考答案】 解：由题意得：的解即为的解， 对于， 将等号两边同乘3，可得 两式相加，可得 解得 将代回中，即 解得 的解为 将代入中 即 两式相加，可得 解得 将代回中，即 解得 ∴ 10．（2025•连云港）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？ （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？ 【参考答案】（1）恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个； （2）至少需要134张正方形硬纸片． 解：（1）设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 根据题意得： 解得：． 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个； （2）设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片，则制作甲种纸盒（100﹣m）个， 根据题意得：w＝2m+（100﹣m）＝m+100 ∵k＝1＞0 ∴w随m的增大而增大 又∵m（100﹣m） 解得：m ∵m为正整数 ∴当m＝34时，w取得最小值，最小值为34+100＝134（张）． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 11.【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 【参考答案】（1）；（2），；（4）① ，② 解：（1）方程的“对称二元一次方程”是； 故答案为： （2）由题意，得： 解得： （4）① ，得： ∴ ，得： ∴，得：，解得： ，得：，解得： ∴ ② ，得： ∴ ，得： ∴，得：，解得： ，得：，解得： ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $