3.3立方根（分层作业，11大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 3.3 立方根 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求一个数的立方根 题型02 立方根的理解 题型03 立方根与实际问题 B组 能力进阶 题型01 开立方的化简 题型02 已知立方根求这个数 题型03 解方程 题型04 立方根的性质的综合应用 题型05 立方根与算术平方根、平方根的综合 C组 思维拔高 题型01 立方根的小数点移动规律 题型02 立方根的材料探究问题 题型03 立方根的新定义问题 求一个数的立方根题型01 1．-27的立方根是    (　　) A．3 B．-3 C．±3 D．-9 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级·期中）的立方根是___，的绝对值是___． 4．的立方根是______． 5．求下列各数的立方根：，，，，，． 立方根的理解题型02 1．立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列语句正确的是（　　） A．一个数的立方根不是正数就是负数 B．负数没有立方根 C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零 D．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零 4．下列各数中，立方根一定是负数的是（    ） A． B． C． D． 5．（1）对于正数，随着值的增大，它的算术平方根怎样变化？ （2）对于正数，随着值的增大，它的立方根怎样变化？如果是一个负数，随着值的增大，它的立方根又怎样变化呢？ 立方根与实际问题题型03 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 2．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ）    A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 3．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 4．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是______．（注：球的体积计算公式为） 5．（24-25八年级上·河南周口·月考）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 开立方的化简题型01 1．计算的正确结果是 A．-7 B．7 C．±7 D．无意义 2．的值是（    ） A．8 B．－8 C．2 D．－2 3．化简：______． 4．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 5．根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 已知立方根求这个数题型02 1．若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 2．实数a的立方根与的倒数相等，则a的值为（    ） A．8 B． C． D． 3．若，则_______． 4．已知实数的立方根是4，则的平方根是__________． 解方程题型03 1．若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）《西游记》主要讲述了唐僧师徒们西天取经，历经九九八十一难，最终取得真经的故事．其主要人物孙悟空战斗力强，他的武器金箍棒尤为厉害，若金箍棒的攻击力满足，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．若，则___． 4．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____． 5．求x的值：． 立方根的性质的综合应用题型04 1．（25-26七年级下·河南长垣·期中）已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．若，则x与y关系是______． 3．已知，且与互为相反数，求x，y的值． 4．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 5．（25-26八年级上·上海·月考）设，且，且，求的值． 立方根与算术平方根、平方根的综合题型05 1．下列各式中，正确的是（      ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·月考）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 3．已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为-2．求的平方根． 4．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 5．如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(b,0)，C(2,7)，连接 AC，交y轴于 D，且，． （1）求点D的坐标． （2）如图 2，y轴上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． （3）如图 3，若 Q(m,n)是 x轴上方一点，且的面积为20，试说明：7m＋3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由． 立方根的小数点移动规律题型01 1．若，，则等于：（   ） A．19.02 B．190.2 C．40.98 D．409.8 2．(1)已知 , ， ，则____； (2)已知 , ， ，则 ____； (3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位； (4)如果，则___，____． 3．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）已知，且，则______． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 5．（24-25八年级上·河北保定·月考）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 立方根的材料探究问题题型02 1．（25-26七年级下·福建·期中）我国古代数学经典《九章算术·少广》中，系统记载了开平方、开立方的算法，是世界上最早系统论述开方运算的文献之一．魏晋数学家刘徽在为《九章算术》作注时，进一步完善了开方术，提出“开方不尽求微数”的思想，开创了十进制小数表示无理数的先河，为后世根式运算奠定了重要基础．今有算题：若，，则b等于_______． 2．观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 3．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根.华罗庚脱口而出,你知道怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由,确定的立方根是 位数； （2）由的个位数是确定的立方根的个位数是 ； （3）如果划去后面的三位得到数,而,由此能确定的立方根的十位数是 ；所以的立方根是 ； （4）用类似的方法，请说出的立方根是 . 4．（25-26七年级·北京·期中）类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 5．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 立方根的新定义问题题型03 1．（24-25九年级上·期末）设，都是有理数，规定 ，则=__________． 2．在平面直角坐标系中，已知任意两点，，规定，若，且，求点Q的坐标． 3．（24-25七年级下·北京·期中）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． (1)①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； (2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； (3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 立方根 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求一个数的立方根 题型02 立方根的理解 题型03 立方根与实际问题 B组 能力进阶 题型01 开立方的化简 题型02 已知立方根求这个数 题型03 解方程 题型04 立方根的性质的综合应用 题型05 立方根与算术平方根、平方根的综合 C组 思维拔高 题型01 立方根的小数点移动规律 题型02 立方根的材料探究问题 题型03 立方根的新定义问题 求一个数的立方根题型01 1．-27的立方根是    (　　) A．3 B．-3 C．±3 D．-9 【答案】B 【分析】根据立方根的概念求解即可． 【详解】∵-3的立方等于-27 ∴-27的立方根是为-3. 故选：B. 【点睛】本题考查求立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键.还需注意一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的定义，根据立方根、算术平方根的定义计算，并逐项判断即可． 【详解】A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算正确，符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级·期中）的立方根是___，的绝对值是___． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的性质，正确把握相关性质是解题关键．直接利用实数的性质进而分析得出答案． 【详解】解：的立方根是：，的绝对值是：． 故答案为：，． 4．的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的定义，能熟记算术平方根和立方根定义是解此题的关键，注意：a（）的算术平方根是，a的立方根是. 先求出，再求出2的立方根即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故答案为． 5．求下列各数的立方根：，，，，，． 【答案】，，，，，． 【分析】根据立方根的概念进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了立方根的计算，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 立方根的理解题型02 1．立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，注意正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．根据开立方的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的有，0，1． 故选：A． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的性质，掌握负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，一个数的算术平方根是非负数是解题的关键． 根据算术平方根与立方根的性质进行逐项分析即可． 【详解】A．，故该选项错误； B．，故该选项错误； C．，故该选项错误； D．，故该选项正确； 故选D． 3．下列语句正确的是（　　） A．一个数的立方根不是正数就是负数 B．负数没有立方根 C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零 D．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零 【答案】D 【分析】此题考查立方根定义及性质，熟练掌握立方根定义是解题的关键． 【详解】解：0的立方根为0，既不是正数也不是负数，所以A错误； 任何有理数都有立方根，所以B错误． 1的立方根是1，的立方根是，所以C错误． 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零，所以D正确， 所以选D． 4．下列各数中，立方根一定是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：A．当时，，立方根不是负数，故本选项不符合题意； B．当b=0时，=0，立方根不是负数，故本选项不符合题意； C．当b=1时，代数式的值为0，立方根不是负数，故本选项不符合题意； D．当b为任意数时，代数式都为负数，所以立方根一定是负数，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了立方根，牢记“正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数”是解题的关键． 5．（1）对于正数，随着值的增大，它的算术平方根怎样变化？ （2）对于正数，随着值的增大，它的立方根怎样变化？如果是一个负数，随着值的增大，它的立方根又怎样变化呢？ 【答案】（1）正数的算术平方根随着值的增大而增大； （2）正数的立方根随着值的增大而增大；负数的立方根随着值的增大而增大． 【分析】（1）依据算术平方根的定义举例说明即可； （2）根据立方根的定义举例说明． 【详解】解：（1）例如：4的算术平方根为2，9的算术平方根为3，16的算术平方根为4， ∴正数的算术平方根随着值的增大而增大； （2）例如：8的立方根为2，27的立方根为3，64的立方根为4， -8的立方根为-2，-27的立方根为-3，-64的立方根为-4， ∴正数的立方根随着值的增大而增大；负数的立方根随着值的增大而增大． 【点睛】此题考查算术平方根及立方根的定义，熟记定义是解题的关键． 立方根与实际问题题型03 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 2．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ）    A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键． 根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设正方体铁块的棱长为，根据题意，得 ， ， ∵， ∴， ∴该正方体铁块的棱长位于3和4两个相邻整数之间． 故选：B． 3．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 【答案】 【分析】依据锻造前后铁块体积不变，先计算原长方体的体积，再根据立方体体积公式结合立方根的概念即可求出棱长． 【详解】解：由题意得，锻造前后铁块的体积不变，原长方体铁块的体积为， 设立方体铁块的棱长为， 根据立方体体积公式得， 因此即锻造成的立方体铁块的棱长为． 4．如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是______．（注：球的体积计算公式为） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，解答本题的关键在于熟练掌握立方根的概念及运算．根据球的体积计算公式，进行求解即可． 【详解】解：设容器的半径是，则 ， 解得， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河南周口·月考）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可； （2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的边长为， ∴甲正方体纸盒的体积为：， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为． （2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体的体积为：， ∴丙正方体纸盒的棱长为． 开立方的化简题型01 1．计算的正确结果是 A．-7 B．7 C．±7 D．无意义 【答案】A 【分析】根据开立方与立方互为逆运算的关系，求解即可. 【详解】因为=-7 ， 故本题答案应为：A. 【点睛】开立方与立方互为逆运算的关系是本题的考点，熟练掌握其关系是解题的关键. 2．的值是（    ） A．8 B．－8 C．2 D．－2 【答案】B 【分析】根据立方根进行计算即可； 【详解】∵， ∴； 故选B. 【点睛】本题主要考查了立方根，掌握立方根的运算是解题的关键. 3．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作． 根据计算即可． 【详解】， 故答案为：． 4．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查立方根． （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可； （3）根据立方根的定义求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：． 5．根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 已知立方根求这个数题型02 1．若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键． 由，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 2．实数a的立方根与的倒数相等，则a的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义、倒数的定义求解． 【详解】解：，倒数为，故， 故选：C． 【点睛】本题考查算术平方根，立方根，倒数，熟练相关定义是解题的关键． 3．若，则_______． 【答案】-125 【分析】根据立方根定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：-125． 【点睛】本题考查立方根，如果，则x是a的立方根． 4．已知实数的立方根是4，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据立方根的性质得到a=64，求出=8，由此得到答案． 【详解】解：∵a的立方根是4， ∴a=43=64， ∴， ∵8的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了由一个数的立方根求这个数，求一个数的平方根，熟练掌握立方根定义及平方根定义是解题的关键． 解方程题型03 1．若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则． 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）《西游记》主要讲述了唐僧师徒们西天取经，历经九九八十一难，最终取得真经的故事．其主要人物孙悟空战斗力强，他的武器金箍棒尤为厉害，若金箍棒的攻击力满足，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根和立方根的实际应用，由得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 3．若，则___． 【答案】3 【分析】利用立方根的定义求出的值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 4．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____． 【答案】0或﹣1或﹣ 【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案. 【详解】∵﹣2x﹣1＝0， ∴＝2x+1， ∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣． 故答案为：0或﹣1或﹣． 【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键. 5．求x的值：． 【答案】 【分析】本题考查了根据立方根的定义解方程． 先两边同时乘以2，将分母去掉，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 立方根的性质的综合应用题型04 1．（25-26七年级下·河南长垣·期中）已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是一个整数的立方， 又∵要求满足条件的正整数最小， ∴正整数最小是，此时，符合题意． 2．若，则x与y关系是______． 【答案】x+y=0 【分析】先移项，然后两边同时进行三次方运算，继而可得答案. 【详解】∵， ∴， ∴（）3=（）3， ∴x=-y， ∴x+y=0， 故答案为x+y=0. 【点睛】本题考查了立方根，明确是解题的关键. 3．已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】，，或者，，或者， 【分析】将等式变型为，再两边同时立方，得到，再采用因式分解法求出x的值，再根据相反数的定义求出y的值，问题随之解得． 【详解】， ， ， ， ， ， ∴，或者，或者， ∴，或者，或者， ∵与， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 即，，或者，，或者，． 【点睛】本题主要考查了采用因式分解法解方程，相反数的定义，立方根的性质等知识，求出，或者，或者，是解答本题的关键． 4．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·上海·月考）设，且，且，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了立方根条件求值问题，设，则可得，由，则，，，原等式变形为，再整理成即可求解，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两边平方，因式分解求出代数式的值是解题的关键． 【详解】解：设，则可得， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 立方根与算术平方根、平方根的综合题型05 1．下列各式中，正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据算术平方根、平方根、立方根的定义求解即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（25-26七年级上·上海·月考）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 3．已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为-2．求的平方根． 【答案】±5 【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根据立方根的定义求出b的值，根据平方根的定义求出的平方根． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根是和 ∴， ∴， ∵的立方根为-2， ∴， ∴， ， 其平方根为±5． 【点睛】本题考查的是平方根、立方根的定义，解题的关键是理解正数的平方根有两个，且互为相反数；会求平方根和立方根． 4．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 5．如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(b,0)，C(2,7)，连接 AC，交y轴于 D，且，． （1）求点D的坐标． （2）如图 2，y轴上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． （3）如图 3，若 Q(m,n)是 x轴上方一点，且的面积为20，试说明：7m＋3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为；（2）点的坐标为或；（3）的值为或75 【分析】（1）根据立方根与算术平方根的定义求出a，b，连接，设，根据求出x的值即可； （2）先求出△ABC的面积，设点的坐标为，根据列式求解； （3）分两种情况考虑，当点在直线的左侧时与当点在直线的右侧时，过点作轴，垂足为，连接，根据进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ，， ，， ， 如图1，连接，设， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为； （2）如图2，由，，三点的坐标可求， ∵点在轴上， ∴设点的坐标为， 由，且点的坐标为， 解得：或15， ∴点的坐标为或； （3）∵点在轴上方， 如图3，当点在直线的左侧时， 过点作轴，垂足为，连接， 由，且 ； 如图4，当点在直线的右侧时， 过点作轴，垂足为，连接， 由，且， ， ， 综上所述，的值为或75． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，立方根与算术平方根的定义，由点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 立方根的小数点移动规律题型01 1．若，，则等于：（   ） A．19.02 B．190.2 C．40.98 D．409.8 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点移动一位． 【详解】解：， ， 故选：A． 2．(1)已知 , ， ，则____； (2)已知 , ， ，则 ____； (3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3位，立方根的小数点则向___移动____位； (4)如果，则___，____． 【答案】 300； 0.04； 左(或右)， 1； 10a， 【详解】（1）根据已知等式确定出所求式子的值即可； （2）根据已知等式确定出所求式子的值即可； （3）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （4）根据得出的规律写出结果即可． 解：（1）已知，，，则300； （2）已知， ，，则 0.04； （3）从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左（或右）移动3位，立方根的小数点则向左（或右）移动1位； （4）如果，则10a，， 故答案为：（1）300；（2）0.04；（3）左（或右）；1；（4）10a；． 本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的关系．解题关键是根据所给式子的特征得到被开方数与其立方根的小数点变化规律． 3．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）已知，且，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 5．（24-25八年级上·河北保定·月考）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】（1）一；（2）①；②1248平方米 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）①根据解析（1）中规律进行解答即可； ②先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． （2）①∵， ∴； ②∵正方体的体积为3000立方米， ∴正方体的棱长为：米， ∴需要铁皮的面积为： （平方米）． 立方根的材料探究问题题型02 1．（25-26七年级下·福建·期中）我国古代数学经典《九章算术·少广》中，系统记载了开平方、开立方的算法，是世界上最早系统论述开方运算的文献之一．魏晋数学家刘徽在为《九章算术》作注时，进一步完善了开方术，提出“开方不尽求微数”的思想，开创了十进制小数表示无理数的先河，为后世根式运算奠定了重要基础．今有算题：若，，则b等于_______． 【答案】1000 【分析】根据立方根的特点求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是的倍， ∴． 2．观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 【答案】 【分析】观察已知等式中各部分的数字特征，归纳出一般性规律，即可得到第8个等式． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：， ∴第8个等式为：． 3．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根.华罗庚脱口而出,你知道怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由,确定的立方根是 位数； （2）由的个位数是确定的立方根的个位数是 ； （3）如果划去后面的三位得到数,而,由此能确定的立方根的十位数是 ；所以的立方根是 ； （4）用类似的方法，请说出的立方根是 . 【答案】（1）两；（2）9；（3）3，39；（4） 【分析】（1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数； （2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定； （4）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后依次确定十位数，即可求得立方根． 【详解】解：（1）∵1000＜59319＜1000000， ∴， ∴的立方根是两位数， 故答案为：两； （2）只有个位数是9的立方数的个位数依然是9， ∴的立方根的个位数是9， 故答案为9； （3）∵27＜59＜64， ∴， ∴的十位数是3， ∴， 故答案为3，39； （4）根据上述知识可知， ∵-1000000＜-110592＜-1000， ∴， ∴-110592的立方根的个位数是-8， ∵-125＜-110＜-64， ∴， ∴的十位数是-4， 则， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键． 4．（25-26七年级·北京·期中）类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】本题类比已学的二次方根、三次方根、四次方根的定义，探究五次方根的相关知识，整体解题思路为：先根据已知定义类比得到五次方根的概念，再结合非负数的性质、一元方程的求解方法，利用乘方与开方互逆运算计算各小题的结果． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 5．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2) (3)或，或， 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算立方根的性质，根据立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1或 解得：或或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时， 当时，； 当，． 立方根的新定义问题题型03 1．（24-25九年级上·期末）设，都是有理数，规定 ，则=__________． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：1 2．在平面直角坐标系中，已知任意两点，，规定，若，且，求点Q的坐标． 【答案】点Q的坐标为 【分析】题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用题中的新定义计算求出与的值，即可确定出点坐标． 【详解】设点Q的坐标为，依题意得： ， 可得：，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 3．（24-25七年级下·北京·期中）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． (1)①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； (2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； (3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)①4；②2 (2)1，511 (3)存在，x的值为4或9 【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根，立方根，无理数的估算． （1）①根据题意，列式进行计算即可；②根据题意，列式进行计算即可； （2）根据立方根的定义列式求解即可； （3）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 故答案为：4； ②， ， 不超过的最大整数为2， 故答案为：2； （2）解：根据题意得：， ，且m是整数， m的最小值是1；最大值是； 故答案为：1，511； （3）解：存在，x的值为4或9， ，， 当时，即， ， 当时，， ， ∴当时，， 当时，， ， 所以当时，， 当时，的最小值为，的最小值为3， ， 不存在x值使得， x的值为4或9时，成立． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $