2.2 立方根（八大题型）（题型专练）数学新教材湘教版七年级下册

2.2立方根 【题型一】立方根概念理解 【例1】下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零 B．任何数的立方根都只有一个 C．负数没有立方根 D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 【答案】B 【分析】若，则叫做的立方根，；一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是；据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A.一个数的立方根等于它本身的数是或，结论错误，不符合题意； B.任何数的立方根都只有一个，结论正确，符合题意； C.负数有立方根，结论错误，不符合题意； D.负数有立方根，但没有平方根，结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根定义，理解定义是解题的关键． 【变式1-1】下列说法中：①任意一个数都有平方根；②任意一个数都有立方根；③一个数有平方根，那么它一定有立方根；④一个数有立方根，那么它一定有平方根．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平方根以及立方根的定义，即可求解． 【详解】解：①负数没有平方根，故①错误； ②任意一个数都有立方根，故②正确； ③一个数有平方根，那么它一定有立方根，故③正确； ④一个数有立方根，这个数有可能为负数，而负数没有平方根，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平方根以及立方根，熟练掌握平方根以及立方根的定义是解决本题的关键． 【变式1-2】下列说法正确的是（     ） A．立方根是负数的数一定是负数 B．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的平方根与立方根不能相等 【答案】A 【分析】根据平方根和立方根的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、立方根是负数的数一定是负数，故A符合题意； B、一个数的立方根有且只有一个，故B不符合题意； C、负数有立方根，它一定没有平方根，故C不符合题意； D、一个数的平方根与立方根不能相等（0除外），故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键． 【变式1-3】有下列说法：①负数没有立方根；②一个正数有两个立方根，它们互为相反数；③任何一个数有且只有一个立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；⑤一个数有立方根，就一定有算术平方根；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的．其中正确的是 （填序号）． 【来源】京改版八年级数学上册第11章 实数和二次根式 单元测试卷 【答案】③④⑥ 【分析】根据算术平方根、平方根和立方根的意义求解即可． 【详解】解：①负数有立方根，原说法错误； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，原说法错误； ③任何一个数有且只有一个立方根，说法正确； ④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，说法正确； ⑤一个数有立方根，不一定有算术平方根，原说法错误； ⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的，这个数是0，说法正确； 综上，正确的是③④⑥． 故答案为：③④⑥． 【点睛】本题考查算术平方根、平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的意义是正确解答的前提． 【题型二】求一个数的立方根 【例2】的立方根是 ，平方根是 ． 【来源】山东省青岛市青岛第七中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题 【答案】 【分析】先将原式化简，，再求立方根、平方根． 【详解】解：，立方根； 故答案为： 【点睛】本题考查立方根、平方根的求解；注意一个正数的平方根有两个． 【变式2-1】已知是49的平方根，是的立方根，求的值． 【答案】或 【分析】先根据是49的平方根，是的立方根求出、的值，再分当，时和当，时，代入计算即可得到答案． 【详解】解：是49的平方根， ， 是的立方根， ， 当，时，； 当，时，． 【点睛】本题主要考查了求立方根、求平方根，已知字母的值，求代数式的值，准确进行计算是解题的关键． 【变式2-2】的平方根是x，的立方根是y，则的值为（   ） A．2 B．0 C．0或 D．2或 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：，4的平方根为，即， ， 当，时，， 当，时，， 故选：C． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 【变式2-3】已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相反数的定义、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根 【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子，利用二次根式与平方式的非负性可求出与的值，即可求出与的积的立方根． 【详解】解：与互为相反数 即 ， ，； ， ， 与的积的立方根为：． 故答案为：． 【题型三】已知一个数的立方根，求这个数 【例3】已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数是， 故选：． 【变式3-1】已知的立方根是3，，则＝ ． 【答案】1或3/3或1 【分析】根据题意求出，的值，代入即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， ， ， ， 当，时， ； 当，时， ； 综上，的值为1或3， 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查平方根与立方根，掌握开方与乘方之间的关系是关键． 【变式3-2】已知的平方根为，的立方根为2． (1)求，的值； (2)求的平方根及的立方根． 【答案】(1)， (2)；4 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）先根据算术平方根、立方根的定义列出关于a，b的方程，解方程，即可求解； （2）将，代入和，再根据平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的平方根为，的立方根为2， ，， 解得，． （2）解：由（1）知，， ， 的平方根为4和， ， 的立方根为4． 【变式3-3】已知，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键． 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． 【详解】解：，即一个数的立方根等于它本身， ∴当时， 解得，； 当时， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 【题型四】利用立方根解方程 【例4】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）直接利用平方根的定义求解即可； （2）移项，利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 当时， 当时， 或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】方程的根是 ． 【答案】5 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：方程即为， 所以； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了利用立方根解方程，熟知立方根的概念是解题的关键． 【变式4-2】解方程：，则 ． 【答案】 【分析】先整理，然后再求的立方根，进而可得的值． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了立方根，关键是掌握立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴ 解得： 【题型五】立方根的实际应用 【例5】如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根的实际应用，正方体的体积；设原正方体的棱长为，变化后的棱长为，得到原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为，根据题意得到，即可得出结论． 【详解】解：设原正方体的棱长为，变化后的棱长为， ∴原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为， ∵正方体的体积扩大到原来的9倍， ∴，即， ∴它的棱长扩大到原来的倍， 故选：A． 【变式5-1】如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【答案】10.95厘米 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是根据圆柱体积公式，结合已知条件列出关于底面半径r的方程并求解． 根据圆柱体积公式，代入数据计算即可．由题意得 【详解】 （厘米） 答：底面半径约是10.95厘米． 【变式5-2】魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故答案为：2． 【变式5-3】已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查实数的实际应用，先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方形水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长，进而根据正方形的表面积公式即可求解． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的棱长为， 所以需要铁皮为． 答：第二个水箱需要铁皮． 题型六 算术平方根和立方根的综合应用（基础） 【例6】的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 【变式6-1】已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 【答案】C 【分析】根据平方根，立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入求解，再计算出其算术平方根即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 又∵的立方根是3， ∴， ∴把x的值代入解得： ， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案选：C． 【点睛】此题考查了平方根，立方根的概念，解题关键是根据定义判断出一个非负数的算术平方根，借助乘方运算来寻找答案． 【变式6-2】已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，则的算术平方根是 ． 【答案】或/或 【分析】根据立方根的定义求出a，估算无理数的大小得到b的值，根据平方根的定义得到c的值，代入代数式求值再求算术平方根即可． 【详解】解：∵a的立方根是2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵c是9的平方根， ∴， 当时，，算术平方根为； 当时，，算术平方根为； 综上分析可知，的算术平方根为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了无理数的估算，平方根，考查分类讨论的思想，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解． 【变式6-3】已知的算术平方根是2，的立方根是，的平方根是． (1)求，，的值； (2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)a，b，c的值分别为3，2，4 (2)平方根是，立方根为 【分析】（1）根据平方根和立方根的概念分别计算出a、b、c即可； （2）利用（1）的结论结合平方根和立方根的性质求值即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵的平方根是， ∴， ∴； 即a，b，c的值分别为3，2，4； （2）解：由（1）得，， ∴的平方根是，立方根为． 【点睛】本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键． 【题型七】算术平方根和立方根的综合应用（复杂） 【例7】（1）一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，求的平方根． （2）已知、满足，求的立方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平方根和立方根的概念确定a和b的值，然后代入求解； （2）根据算术平方根和绝对值的非负性确定a和b的值，然后代入求解． 【详解】解：（1）∵一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为； （2）∵，且，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为． 【点睛】本题考查平方根和立方根，理解算术平方根和绝对值的非负性，掌握平方根和立方根的概念是解题关键． 【变式7-1】（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （3），求的立方根． 【答案】（1）49；（2）；（3）－1 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数列式子求解即可； （2）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a、b、c的式子求值，再计算平方根即可； （3）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，从而得出a的值，再计算两数的和，从而得出立方根． 【详解】解：（1）解：依题意：，解得， ，． （2）解依题意：，， 解得，， ，16的平方根是 （3）解：依题意，得， 代入，得 ，的立方根是－1． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出式子是解题的关键． 【变式7-2】如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)2 (2)阴影部分的面积为2，边长为 (3)或． 【难度】0.65 【知识点】立方根的实际应用、实数与数轴、算术平方根的实际应用 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得： 故这个魔方的棱长为2； （2）棱长为2， 每个小立方体的棱长都是1， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）正方形的边长为，点A与1重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 【变式7-3】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中、为有理数，那么_________，_________； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根； (3)若、都是有理数，且，试求的立方根． 【答案】(1)   (2)的算术平方根为5 (3)的立方根为1或 【难度】0.65 【来源】江苏省扬州市梅岭中学教育集团2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，进而可得：，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答； （3）根据已知可得，从而可得，，进而可得，，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵，其中a、b为有理数， ∴，， ，， 故答案为：；； （2）解：， ， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ∴， ∴其算术平方根为5； （3）解：， ， ∴， 解得：或， ∴∴当，时，，的立方根为1； 当，时，，的立方根为． 【题型八】与立方根有关的规律探索 【例8】根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【答案】(1)数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位 (2)①12和13之间；②12.26；③9.02平方米 【难度】0.65 【来源】第八章 实数 数学活动 【知识点】求一个数的立方根、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴ ∴介于整数12和13之间； ②∵ ∴ 故答案为：12.26； ③设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 【变式8-1】阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 【变式8-2】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又， ，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写结果： ①________． ②________． 【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56． 【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案； ②根据例题进行推理得出答案； ③根据例题进行推理得出答案； ④根据②③得出答案； （2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论. 【详解】（1）①， ， ∴， ∴能确定195112的立方根是一个两位数， 故答案为：两； ②∵195112的个位数字是2，又∵， ∴能确定195112的个位数字是8， 故答案为：8； ③如果划去195112后面三位112得到数195， 而， ∴， 可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5， 故答案为：5； ④根据②③可得：195112的立方根是58， 故答案为：58； （2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2， ∴13824的立方根是24， 故答案为：24； ②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5， ∴175616的立方根是56， 故答案为：56. 【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键. 【变式8-3】小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 1已知：一个正数的两个平方根分别是和 (1) 求的值；       (2)求的立方根. 【答案】（1）   （2）2 【分析】（1）根据正数a的两个平方根互为相反数列出方程，解方程即可； （2）由（1）中的值可求出a的值，代入求出值，再求立方根即可． 【详解】(1) 由题意得： 解得： (2)由(1)得： 则 的立方根是 【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用以及立方根的性质.解答此题的关键是要明确：一个正数的两个平方根互为相反数.一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 2化简求值. （1）已知x，y为实数，且，求的值； （2）已知，求的平方根. 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）利用二次根式有意义的条件求出x，y的值即可得解； （2）先根据立方根的意义求出x的值，进而求出x+17的平方根即可. 【详解】（1）∵ ∵且， ∴，. ∴. （2）∵， ∴， ∴， ∴， 的平方根是. 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及立方根的意义，正确得出x，y的值是解题的关键. 3．(1)若a是(－4)2的平方根，b的一个平方根是2，求式子a＋b的立方根； (2)实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求式子x2＋(a＋b＋cd)x＋＋的值． 【答案】(1) 2或0; (2) 8＋,8－. 【详解】试题分析:（1）根据题意求得a、b的值，再求得a+b的值，从而求得a＋b的立方根；（2）由a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，可得a+b=0，cd=1，x=，再代入代数式求值即可. 试题解析: (1)依题意得a＝±4，b＝4，所以a＋b＝4＋4＝8或a＋b＝－4＋4＝0，所以a＋b的立方根是2或0. (2)因为实数a，b互为相反数，所以a＋b＝0.因为c，d互为倒数，所以cd＝1.因为x的绝对值为，所以x为±. 当x＝时，x2＋(a＋b＋cd)x＋＋＝7＋＋0＋1＝8＋. 当x＝－时，x2＋(a＋b＋cd)x＋＋＝7－＋0＋1＝8－. 4动画片《喜羊羊与灰太狼》中，“喜羊羊”和“灰太狼”每天都是斗来斗去，每次都是以“灰太狼”的：“我还会回来的！”结束，但有一次，由于“喜羊羊”的疏忽大意，“喜羊羊”被“灰太狼”抓住了，为了让“喜羊羊”心甘情愿地被他吃掉，“灰太狼”决定把自己苦想多日才解决的问题“已知，求x-2 0152的值”让“喜羊羊”在5分钟之内完成，如果能完成，则放了“喜羊羊”，否则就会被吃掉．“喜羊羊”想了一会，就把问题解决了，“灰太狼”只好把“喜羊羊”放了，那么你知道“喜羊羊”是怎样做的吗？请你完成． 【答案】2016. 【详解】试题分析：本题主要考查了立方根的性质 ，由立方根的性质可知=2015-x,从而原式可变为，然后根据算术平方根的定义求解即可. ，可以变为 ， 所以，所以x=2 0152+2 016， 因此x-2 0152 =2 0152+2 016-2 0152=2 016. 点睛：如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，由立方根的定义可得立方根的性质 .如果一个正数x的平方等于a，即x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，所以可变形为x-2016=2 0152，从而可求出x的值. 5．观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2立方根 【题型一】立方根概念理解 【例1】下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零 B．任何数的立方根都只有一个 C．负数没有立方根 D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 【变式1-1】下列说法中：①任意一个数都有平方根；②任意一个数都有立方根；③一个数有平方根，那么它一定有立方根；④一个数有立方根，那么它一定有平方根．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列说法正确的是（     ） A．立方根是负数的数一定是负数 B．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的平方根与立方根不能相等 【变式1-3】有下列说法：①负数没有立方根；②一个正数有两个立方根，它们互为相反数；③任何一个数有且只有一个立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；⑤一个数有立方根，就一定有算术平方根；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的．其中正确的是 （填序号）． 【题型二】求一个数的立方根 【例2】的立方根是 ，平方根是 ． 【变式2-1】已知是49的平方根，是的立方根，求的值． 【变式2-2】的平方根是x，的立方根是y，则的值为（   ） A．2 B．0 C．0或 D．2或 【变式2-3】已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 【题型三】已知一个数的立方根，求这个数 【例3】已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知的立方根是3，，则＝ ． 【变式3-2】已知的平方根为，的立方根为2． (1)求，的值； (2)求的平方根及的立方根． 【变式3-3】已知，则的值为 ． 【题型四】利用立方根解方程 【例4】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式4-1】方程的根是 ． 【变式4-2】解方程：，则 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）求下列各式中的值： (1) (2) 【题型五】立方根的实际应用 【例5】如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 【变式5-1】如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【变式5-2】魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． 【变式5-3】已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 题型六 算术平方根和立方根的综合应用（基础） 【例6】的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【变式6-1】已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 【变式6-2】已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，则的算术平方根是 ． 【变式6-3】已知的算术平方根是2，的立方根是，的平方根是． (1)求，，的值； (2)求的平方根和立方根． 【题型七】算术平方根和立方根的综合应用（复杂） 【例7】（1）一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，求的平方根． （2）已知、满足，求的立方根． 【变式7-1】（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （3），求的立方根． 【变式7-2】如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【变式7-3】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中、为有理数，那么_________，_________； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根； (3)若、都是有理数，且，试求的立方根． 【题型八】与立方根有关的规律探索 【例8】根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【变式8-1】阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【变式8-2】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又， ，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写结果： ①________． ②________． 【变式8-3】小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 1已知：一个正数的两个平方根分别是和 (1) 求的值；       (2)求的立方根. 2化简求值. （1）已知x，y为实数，且，求的值； （2）已知，求的平方根. 3．(1)若a是(－4)2的平方根，b的一个平方根是2，求式子a＋b的立方根； (2)实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求式子x2＋(a＋b＋cd)x＋＋的值． 4动画片《喜羊羊与灰太狼》中，“喜羊羊”和“灰太狼”每天都是斗来斗去，每次都是以“灰太狼”的：“我还会回来的！”结束，但有一次，由于“喜羊羊”的疏忽大意，“喜羊羊”被“灰太狼”抓住了，为了让“喜羊羊”心甘情愿地被他吃掉，“灰太狼”决定把自己苦想多日才解决的问题“已知，求x-2 0152的值”让“喜羊羊”在5分钟之内完成，如果能完成，则放了“喜羊羊”，否则就会被吃掉．“喜羊羊”想了一会，就把问题解决了，“灰太狼”只好把“喜羊羊”放了，那么你知道“喜羊羊”是怎样做的吗？请你完成． 5．观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $