3.3 立方根分节讲练测2026-2027学年浙教版七年级数学上册

3.3 立方根 分节讲练测 浙教版《数学》七年级上册（2024年新版）· 第3章 实数 · 第3课时（满分100分） 第一部分 知识梳理 一、立方根的概念 一般地，一个数的立方等于 a，即 ，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（cube root），也叫做 a 的三次方根，记作 。其中 a 是被开方数，3 是根指数，符号读作“三次根号”。 例如 ，其中 2 是 8 的立方根，即 ；，其中 −2 是 −8 的立方根，即 。 注意：立方根的根指数 3 不能省略，要写在根号的左上角。 二、立方根的性质 任何数都有立方根，并且只有一个：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0。 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，即 。例如 。 三、开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方是立方运算的逆运算，可以运用立方运算来求一个数的立方根。 例如求 −27 的立方根，因为 ，所以 −27 的立方根是 −3，即 。 四、立方根与平方根的区别 ① 一个正数有两个平方根（互为相反数），但只有一个立方根； ② 负数没有平方根，但有立方根； ③ 平方根的符号中省略了根指数 2，而立方根的根指数 3 不能省略； ④ 平方根是它本身的数只有 0，而立方根是它本身的数有 −1、0、1。 图1 体积为 8 cm³ 的正方体，其棱长为 2 cm 第二部分 典例精讲 例1　求下列各数的立方根（教材例1）： （1）27；（2）−27；（3）；（4）−0.064；（5）0。 【分析】求一个数的立方根，就是找出立方等于这个数的数，可逆向运用立方运算。 【解答】（1）因为 ，所以 ； （2）因为 ，所以 ； （3）因为 ，所以 ； （4）因为 ，所以 ； （5）因为 ，所以 。 【点拨】立方根与被开方数同号；正数、负数、0 都有唯一的立方根。 例2　计算（教材例2）： （1）；（2）。 【分析】先把被开方数写成某个数的立方，再开立方；注意区分立方根与算术平方根。 【解答】（1）因为 ，所以 ； （2），，所以原式 。 【点拨】小数与分数的立方根要先“想立方”：，。 例3　判断下列说法是否正确，并说明理由（教材课内练习1、作业题1）： （1） 的立方根是 ；（2）负数不能开立方；（3）8 的立方根是 ±2；（4）−8 的立方根是 −2。 【分析】抓住立方根的性质：任何数都有唯一的立方根，符号与被开方数相同。 【解答】（1）错误， 的立方根只有一个，是 ，不能带“±”； （2）错误，负数可以开立方，负数的立方根是负数； （3）错误，8 的立方根是 2，不是 ±2； （4）正确，因为 。 【点拨】“立方根是 ±”是高频易错点：一个数只有一个立方根，与平方根有两个要区分开。 例4　由立方根求原数与解方程（教材作业题2）： （1）已知 ，求 x 的值；（2）解方程 。 【分析】先把 （或 x−1）看作一个整体，求出它的值，再用立方运算求 x。 【解答】（1）由 得 ，所以 ； （2）由 得 ，所以 。 【点拨】已知立方根求原数，用立方运算 “”；形如 的方程开立方后只有唯一解。 例5　立方根的实际应用（教材作业题6）： 要制作一个立方体，使它的体积是已知立方体体积的 27 倍，那么它的棱长应是已知立方体棱长的几倍？ 【分析】设已知立方体的棱长为 a，则其体积为 ；新立方体体积为 ，求它的棱长即求 的立方根。 【解答】设新立方体的棱长为 x。由题意 ，所以 ，即它的棱长是已知立方体棱长的 3 倍。 【点拨】正方体的体积 = 棱长的立方；已知体积求棱长，用开立方。 例6　用公式求值（杭州拱墅区期末）： 已知球的体积 ，若一个球的体积是 ，求它的半径 r。 【分析】把 V = 36π 代入公式，得到关于 r 的方程，再用开立方求 r。 【解答】由 得 ，所以 。答：这个球的半径为 3。 【点拨】遇到含公式的实际问题，先把已知量代入，再转化为 “” 的形式开立方求解。 例7　平方根与立方根的综合（杭州滨江区期末）： 已知 3a+1 的两个平方根分别是 7−m 和 2−2m，9+b 的立方根是 2。（1）求 m、a、b 的值；（2）求 7a−b 的平方根。 【分析】平方根互为相反数，可列和为 0 的方程求 m；再由 “被开方数 = 立方根的立方” 求 b。 【解答】（1）因为 7−m 与 2−2m 互为相反数，所以 ，解得 。此时两个平方根为 4 与 −4，所以 ，解得 ；由 得 。 （2），36 的平方根是 ±6。 【点拨】综合题中先分别求出各字母的值，最后注意平方根有正、负两个，而算术平方根、立方根都只有一个。 第三部分 分层训练 说明：本部分按基础、提升、拓展三个层次编排，共 13 题，满分 100 分。题目选自近三年各地期末考试真题，答案与提示见第四部分。 A组 基础过关（每小题 5 分，共 30 分） 1.（5分）−8 的立方根是（　　）（河北新乐市一模） A. ±2　　B. 2　　C. −2　　D. 不存在 2.（5分）下列说法正确的是（　　）（广东汕头市金平区期中） A. 　　B. −3² 的算术平方根是 3　　C. 0 没有立方根　　D. 是 7 的一个平方根 3.（5分）计算： = 　　　　　。（杭州萧山区、临平区期末） 4.（5分）若一个数的立方根是 ，则这个数是 　　　　　　。（河北沧州市期末） 5.（5分）−0.027 的立方根是 　　　　　； = 　　　　　。（教材作业题改编） 6.（5分）有下列判断：①49 的平方根是 7；②只有正数才有平方根；③ 的算术平方根是 ；④0.64 的立方根是 0.4。其中正确的有（　　）（山西临汾市尧都区期中） A. 1 个　　B. 2 个　　C. 3 个　　D. 4 个 B组 能力提升（每小题 10 分，共 50 分） 7.（10分）解方程：（1）；（2）。（湖北武汉市洪山区校级月考） 8.（10分）已知 ，求 的立方根。（山东菏泽市月考） 9.（10分）判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）互为相反数的数的立方根也互为相反数；（2）立方根是它本身的数只有 0；（3）平方根是它本身的数只有 0。（教材作业题改编） 10.（10分）我们知道 时 也成立，若把 a 看成 的立方根，b 看成 的立方根，可得结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。（1）请举一个例子说明上述结论成立；（2）若 与 互为相反数，求 的值。（广东雷州市期末） 11.（10分）已知 3a+1 的平方根是 ±4，2a+b−5 的算术平方根是 3。（1）求 a、b 的值；（2）求 5b+a+2 的立方根。（北京市昌平区期中） C组 拓展探究（每小题 10 分，共 20 分） 12.（10分）小明做了两个正方体纸盒，已知第一个纸盒的棱长为 3 厘米，第二个纸盒比第一个纸盒的体积大 189 立方厘米，求第二个正方体纸盒的棱长。（内蒙古满洲里市校级期末） 13.（10分）我国著名数学家华罗庚一次在飞机上看到一道智力题：一个数是 59 319，求它的立方根。华罗庚脱口而出：39。他的方法是：由 ，，确定 是两位数；由 59 319 个位上的数是 9，确定其立方根个位上的数是 9；划去 59 319 后面的三位 319 得到 59，而 ，，由此确定十位上的数是 3，所以 。 （1）请用上述方法确定 的值； （2）仿照上面的方法，直接写出 的值。 第四部分 参考答案 （本答案与试题分离，供批阅与自查使用） 【典例精讲·例1—例7】 例1（1）3；（2）−3；（3）；（4）−0.4；（5）0。 例2（1）；（2）0。 例3（1）错，应为 ；（2）错，负数可以开立方；（3）错，应为 2；（4）对。 例4（1）x = −27；（2）x = −2。 例5新立方体的棱长是已知立方体棱长的 3 倍。 例6r = 3。 例7（1）m = 3，a = 5，b = −1；（2）7a−b = 36，其平方根是 ±6。 A组 基础过关 1．C因为 ，所以 −8 的立方根是 −2。立方根唯一，没有 ±2。 2．DA 中 ，不是 ±3；B 中 是负数，没有算术平方根；C 中 0 的立方根是 0；D 中 ，所以 是 7 的一个平方根。选 D。 3．4。因为 。 4．。因为 。 5．−0.3；。因为 ，。 6．A①错，49 的平方根是 ±7；②错，0 也有平方根；③对，，其算术平方根是 ；④错，，0.64 的立方根不是 0.4。只有③正确，选 A。 B组 能力提升 7．（1）由 得 ，所以 或 ； （2）由 得 ，，所以 。 8．由非负性得 ，，，所以 ，，，，其立方根是 。 9．（1）正确，例如 ，两数 −8 与 8 互为相反数，其立方根也互为相反数；（2）错误，立方根是它本身的数还有 −1 和 1；（3）正确，平方根是它本身的数只有 0。 10．（1）例如 ，立方根互为相反数，其被开方数 −1 与 1 也互为相反数（举例合理即可）； （2）由两个数的立方根互为相反数，得 ，解得 ，所以 。 11．（1）由 得 ；由 得 。 （2），其立方根是 3。 C组 拓展探究 12．第一个纸盒体积为 （cm³），第二个纸盒体积为 （cm³）。因为 ，所以第二个纸盒的棱长为 （cm）。 13．（1）由 ， 确定它是两位数；195 112 的个位是 2，而 ，故个位上的数是 8；划去后三位 112 得 195，而 ，，故十位上的数是 5，所以 ； （2）。 / 学科网（北京）股份有限公司 $