3.4实数的运算（分层作业，3大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 3.4 实数的运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 实数的混合运算 题型02 实数与实际应用 题型03 用计算器进行计算 实数的混合运算题型01 1．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求一个数算术平方根和乘方运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不成立； B.，故该选项不成立； C.，故该选项成立； D.，故该选项不成立； 故选：C． 【点睛】本题考查了一个数算术平方根和乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）设的整数部分为a，小数部分为b，则值为（   ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，进而得到的范围，求出整数部分，再根据小数部分等于原数减去整数部分得到，最后计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， ∴， ∴. 3．________． 【答案】2 【详解】解：． 4．（24-25七年级下·重庆·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，先化简各表达式，然后再进行计算即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算开方和绝对值，再算加减即可； （2）先算开方，再算加减． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 6．用估算法比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和5． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较． （1）估算出的大小后与比较即可； （2）估算出的大小后与比较即可； （3）估算出的大小后与5比较即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， ∴． 7．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 8．老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题关键．求出，则可得两种情况：①这三个连续整数为，②这三个连续整数为，分别计算每个整数的平方，由此即可得． 【详解】解：∵是三个连续整数的平方，且，，，， ∴， 又∵是三个连续整数的平方， ∴①当这三个连续整数为时，，舍去； ②当这三个连续整数为时，，，符合题意； 则． 实数与实际应用题型02 1．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 2．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【答案】D 【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可． 【详解】依题意，还在自出生后的天数是： 2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算． 3．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 4．已知一直角三角形的两直角边长分别为1，2，斜边长为． (1)根据一直角三角形，写出关于的方程， 并说明是有理数吗？为什么？ (2)估计的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计． (3)如果结果精确到百分位呢？ 【答案】(1)，不是有理数，是无理数 (2) (3) 【分析】本题考查了平方根的应用、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，再求出的值，判断即可得出答案； （2）估算出，结合，，，即可得出答案； （3）结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， 故不是有理数，是无理数； （2）解：∵， ∴，即， ∵，，，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 6．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】能办到；长方形的长和宽分别为米和米 【分析】先求得长方形的长为，正方形的边长为，比较大小，即可求解． 【详解】解：设长方形的长为米，则宽为米， 则由题意得，解得（取正值）， 所以长为米，宽为米， 因为面积为平方米的正方形的边长为， 因为，所以， 所以李师傅能办到，长方形的长和宽分别为米和米． 7．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 8．已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 【答案】（1）10； （2）作图如下： . 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积； （2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2）边长为的正方形，则面积为， 则每个三角形的面积为， 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长． 用计算器进行计算题型03 1．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求立方根．根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】 解：依次按键，对应的计算是． 故选：A． 2．小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 【答案】B 【分析】本题考查立方根，分别求各选项的立方根即可求解． 【详解】解：A、，与7相差较大，故不符合题意； B、，最接近7，故符合题意； C、，与7相差较大，故不符合题意； D、，与7相差较大，故不符合题意； 故选：B． 3．（2025·山东淄博·一模）请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了用计算器计算无理数，特殊角的三角函数值，掌握计算器的使用是关键．根据题意可得需要计算的是的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，运用科学计算器录入后显示的数据为， ∴最接近的整数是2， 故选：C． 4．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【详解】用计算器对上述各数进行计算，部分计算结果列于下表中. (计算值精确到0.001) 原数 1 … 计算值 1.000 0.707 0.577 … 0.236 0.229 0.224 由计算结果可知，这20个数按题目中给出的顺序依次减小. 由于选出的数的和应小于1，所以应该从最小的数开始依次选取若干个数才能满足选取的数的个数最多的要求. 因为， 而， 所以选取的数最多是4个. 故本题应选A. 点睛： 本题综合考查了计算器的使用和规律的分析与探索. 本题解题的关键在于结合各个数的计算值总结出这一系列数的变化规律. 在解决这一类型题目的时候，要注意先分析规律再利用所得的规律和题意寻找突破口. 盲目尝试不仅费时费力而且容易出错. 5．用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用，实数比较大小，利用计算器计算各数结果，然后比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 6．利用计算器计算：＝___，＝____，＝____．猜想＝_____． 【答案】 4 44 444 【分析】用计算器分别进行计算得出前三个数，找到规律猜想的值即可求解． 【详解】解：根据计算器计算可得：＝4， ＝44， ＝444， 根据以上结果可以看出开方结果的位数与底数的位数相同， 所以． 故答案为4，44，444，． 【点睛】本题考查了用计算器计算算术平方根，通过计算，观察出计算结果的位数与被开方数中底数的位数相同是解决此题的关键． 7．计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数加减运算： （1）利用计算器进行近似计算，保留小数点后两位，即可； （2）分别利用计算器进行近似计算，保留小数点后两位，即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 8．对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 【答案】(1)在数轴上位于整数和之间 (2)，（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】（1）由，可得出在哪两个整数之间； （2）先借助计算器，将估算到小数点后第位； 再结合，不难找出有理数和的值． 【详解】（1）解：，，且， ， 即在数轴上位于整数和之间； （2）借助计算器，得， 取， ， （答案不唯一，符合条件即可）． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.4 实数的运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 实数的混合运算 题型02 实数与实际应用 题型03 用计算器进行计算 实数的混合运算题型01 1．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）设的整数部分为a，小数部分为b，则值为（   ）． A． B．2 C． D． 3．________． 4．（24-25七年级下·重庆·期末）计算：_______． 5．计算： (1)； (2)． 6．用估算法比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和5． 7．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 8．老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 实数与实际应用题型02 1．一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 2．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 3．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 4．已知一直角三角形的两直角边长分别为1，2，斜边长为． (1)根据一直角三角形，写出关于的方程， 并说明是有理数吗？为什么？ (2)估计的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计． (3)如果结果精确到百分位呢？ 5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 6．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 7．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 8．已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 用计算器进行计算题型03 1．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 2．小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 3．（2025·山东淄博·一模）请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 5．用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 6．利用计算器计算：＝___，＝____，＝____．猜想＝_____． 7．计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 8．对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $