精品解析：福建省厦门集美中学附属滨水学校2025—2026学年九年级上学期数学第二次学情自测

2025—2026学年第一学期初中毕业班第二次限时训练考试 数 学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3.可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. ⊙O半径为4，点A在内，则的长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 二次函数的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程（　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3 8. 如图，正六边形内接于，若的边心距，则正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 10. 一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示． 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果点与点关于原点对称，那么点的坐标是______． 12. 是方程的一个根，的值是______． 13. 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为________． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值：__________． 15. 有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是：如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”（一种直角曲尺，可以画直角）过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分．请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理：______________． 16. 将抛物线向上平移（）个单位长度，＜k＜，平移后的抛物线与双曲线y＝（x＞0）交于点P（p，q），M（1＋，n），则下列结论正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） ① 0＜p＜1－； ② 1－＜p＜1； ③ q＜n； ④ q＞2k－k． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是非负数． 20. 如图，在中，，．以点为圆心，为半径作圆，延长交于点． （1）请在图中作出点关于直线的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，证明：直线与相切． 21. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求的值； （2）已知二次函数过点，若A、B是二次函数与x轴的交点（A在B的左边），点P是该二次函数图象上的动点并且位于x轴上方，设点P的横坐标为m，求m为何值时，面积最大，并求最大面积． 22. 某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量（单位：万盒）随价格（单位：元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示．该药品2021年价格为60元/盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳入医保，2022年价格下调至30元/盒．但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同，根据已知信息解决下列问题： （1）求2022年该药品的年销售量； （2）该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%．为惠及更多患者，该企业计划在2023年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比2022年至少增加2500万元用于制药技术的研发，请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由． 23. 图是某产品电子组件的平面示意图．该组件包含一个边长为的正方形电子板和一个矩形感应带．该组件的工作方式是：电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，且电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域． （1）为尽可能节省材料，应如何设计矩形感应带的尺寸？（直接写出尺寸即可） （2）该产品用户要求加装指示灯，在产品工作过程中指示灯能按一定时间间隔闪烁，以起到提醒、警示的作用．研发团队拟在（1）的基础上采取如下方案：在点处、的延长线与的交点处、正方形电子板的边上分别加装一个传感器，电子板旋转时，当边上的传感器捕捉到与，两处传感器的距离相等时，指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒．该方案是否可行？若可行，求的长；若不可行，请说明理由． 24. 如图所示，已知与直线相切于点，等边三角形与在直线的同侧，且点，在直线上，，连接，，，是与的交点，． （1）求的长； （2）将沿射线的方向平移至． ①当点落在之间且时，判断点与线段的位置关系，并说明理由； ②在平移过程中，与交于点，是否存在的情形？若存在，请求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 25. 在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， （1）分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） （2）求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） （3）请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； （4）请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期初中毕业班第二次限时训练考试 数 学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3.可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. ⊙O半径为4，点A在内，则的长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点A在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 2. 二次函数的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的特点，掌握顶点式的特点，二次函数最值的计算方法是解题的关键． 根据二次函数顶点式可得顶点坐标为，二次函数图象开口向上，由此即可求解． 【详解】解：二次函数中，， ∴图形开口向上，顶点坐标为， ∴最小值为， 故选：D ． 3. 如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆内角度的关系是解题关键． 同弧或等弧所对的圆周角相等，从同弧或等弧的角度去寻找相等的角即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 4. 如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得，旋转角为和． 【详解】解：∵绕点B顺时针旋转至，点C的对应点是E， ∴旋转角为和． 故选：C． 5. 某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．依题意，2023年年底的图书数量=2025年年底的图书数量，据此列方程． 【详解】解：设图书数量的平均增长率为x, 由题意得，． 故选：C． 6. 如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，根据正方形的性质和中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O旋转后与重合， ∴与成中心对称的是． 故选：A． 7. 将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】继续解一元二次方程即可求解． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 8. 如图，正六边形内接于，若的边心距，则正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，连接，证明是等边三角形，求出的长即可解决问题． 【详解】解：连接，如图， ∵正六边形内接于， ∴， ∴是等边三角形， ∵是的边心距， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴ 解得，， ∴， 故选：A 9. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，设，对于所在的曲线，；对于所在的曲线，；数形结合得到矩形的面积，即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值，即可得到答案．熟记反比例函数的几何意义，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，设， 对于所在的曲线，；对于所在的曲线，； 矩形的面积， 即矩形的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值， 故选：B． 10. 一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示． 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来．依据题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，再设抛物线解析式为，又由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为，从而可得抛物线的函数表达式为，将代入，求出或，则此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧，则，进而可以判断得解． 【详解】解∶由题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图∶ 设抛物线解析式为， 由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为． ． ． 抛物线的函数表达式为． 将代入，得． 求出或． 此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶． 即此时B、E两位学生分别站在队列两侧 ． 故选∶C 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果点与点关于原点对称，那么点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】平面直角坐标系中点关于原点对称的坐标特征，关于原点对称，横变号，纵也变号． 【详解】解：关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标都互为相反数． 已知点，横坐标 的相反数是，纵坐标 的相反数是 ． 所以点 的坐标是 ． 12. 是方程的一个根，的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程的根，将其代入方程后等式成立，从而建立关于未知数的方程求解． 【详解】解：将代入方程，得， 即，解得． 13. 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 根据扇形面积公式计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值：__________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数图象的对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式可得顶点坐标为，对称轴直线为，结合题意，当时，随的增大而减小，可得图象开口向上，，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴顶点坐标为，对称轴直线为， ∵当时，随的增大而减小， ∴二次函数图象开口向上， ∴， ∴（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） ． 15. 有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是：如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”（一种直角曲尺，可以画直角）过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分．请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理：______________． 【答案】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 【解析】 【分析】本题考查了圆心角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等． 【详解】解：采用的四等分圆周的一种方法，可以利用圆心角定理来解释， 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 故答案为：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等． 16. 将抛物线向上平移（）个单位长度，＜k＜，平移后的抛物线与双曲线y＝（x＞0）交于点P（p，q），M（1＋，n），则下列结论正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） ① 0＜p＜1－； ② 1－＜p＜1； ③ q＜n； ④ q＞2k－k． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】先画出函数图像，判断出当时抛物线和反比例函数图象上的点的纵坐标的关系，确定抛物线右支与反比例函数图象的交点个数，再利用抛物线的对称性与反比例函数的图象与性质直接判断即可． 【详解】解: ∵抛物线, ∴该抛物线对称轴为，顶点坐标为(1，)， 将该抛物线向上平移（）个单位长度， 则顶点坐标为(1，)， 当时，反比例函数图象上点的坐标为(1，)， 如图所示，抛物线平移后的顶点纵坐标即为m，反比例函数上横坐标为1的点的纵坐标即为s， ∴m-s=， ∵＜k＜， ∴ ∴抛物线的右支与反比例函数图象只有一个交点，且该交点横坐标大于1； ∵平移后的抛物线与双曲线y＝（x＞0）交于点P（p，q），M（1＋，n）， ∴点M为抛物线右支与反比例函数图象的交点， ∴点P为抛物线左支与反比例函数图象的交点， 由于反比例函数的图像在第一象限内y随x的增大而减小，且抛物线关于直线对称 ∴1－＜p＜1；q＞2k－k． ∴②④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了抛物线与反比例函数的图像与性质，解题关键是弄清楚这两个交点分别位于抛物线的左支和右支上，再利用抛物线的轴对称性和反比例函数图像的增减性进行判断． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原方程可化为， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：原方程可化为， 或， 解得，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 19. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是非负数． 【答案】 证明：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是非负数． 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进而得到，代入，得到，即可得证． 【详解】略 20. 如图，在中，，．以点为圆心，为半径作圆，延长交于点． （1）请在图中作出点关于直线的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，证明：直线与相切． 【答案】（1） 如图点即为所求， 作线段的垂直平分线，利用对称轴垂直平分对应点所连线段即可得到点关于直线的对称点；     （2） 证明：连接，，交于点，如图所示，     ∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得，垂直平分. ∴， ∴在中，平分， ∴， 即， ∴直线与相切； 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线即可； （2）连接，，交于点，根据垂直平分线的性质和圆性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图和切线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求的值； （2）已知二次函数过点，若A、B是二次函数与x轴的交点（A在B的左边），点P是该二次函数图象上的动点并且位于x轴上方，设点P的横坐标为m，求m为何值时，面积最大，并求最大面积． 【答案】（1）的值为 （2）当时，的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）利用纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称求出对称轴，结合对称轴公式推导与的比值； （2）先代入已知点坐标结合第一问结论求二次函数解析式，再将的面积最大值转化为点纵坐标的最大值，利用二次函数顶点性质求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 整理得； 【小问2详解】 解：∵二次函数过点，且由（1）知， ∴将代入解析式得， 把代入上式，得， 解得， ∴， ∴二次函数的解析式为， 令，则， 解得，， ∵、是二次函数与轴交点，且在的左边， ∴，， ∴， 设点的横坐标为， ∵点在二次函数图象上且位于轴上方， ∴，且，中边上的高为点的纵坐标， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 综上所述，当时，的面积最大，最大面积为． 22. 某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量（单位：万盒）随价格（单位：元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示．该药品2021年价格为60元/盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳入医保，2022年价格下调至30元/盒．但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同，根据已知信息解决下列问题： （1）求2022年该药品的年销售量； （2）该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%．为惠及更多患者，该企业计划在2023年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比2022年至少增加2500万元用于制药技术的研发，请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由． 【答案】（1）700万盒 （2）该药品价格满足元/盒， 设2021年的制药成本为元/盒， 由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒， 因为2022年销售该药品的利润与2021年相同， 可得， 化简得， 解得， 因为2023年继续下调该药品的价格， 所以2023年该药品的价格，则年销售量为万盒， 依题意得， 化简得， 因为，根据不等式的性质，不等式两边同乘以正数，可得， 所以， 答：该药品价格满足元/盒． 【解析】 【分析】（1）设双曲线的解析式为，代入点，求出解析式，再将代入即可解答； （2）设2021年的制药成本为元/盒，由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒，根据2022年销售该药品的利润与2021年相同，列得，求出a，根据2023年该药品的价格，则年销售量为万盒，列得，即可求出答案． 【小问1详解】 解：设双曲线的解析式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 可得， 所以， 所以当时，； 答：2022年该药品的年销售量是700万盒； 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． 23. 图是某产品电子组件的平面示意图．该组件包含一个边长为的正方形电子板和一个矩形感应带．该组件的工作方式是：电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，且电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域． （1）为尽可能节省材料，应如何设计矩形感应带的尺寸？（直接写出尺寸即可） （2）该产品用户要求加装指示灯，在产品工作过程中指示灯能按一定时间间隔闪烁，以起到提醒、警示的作用．研发团队拟在（1）的基础上采取如下方案：在点处、的延长线与的交点处、正方形电子板的边上分别加装一个传感器，电子板旋转时，当边上的传感器捕捉到与，两处传感器的距离相等时，指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒．该方案是否可行？若可行，求的长；若不可行，请说明理由． 【答案】（1）应设计矩形感应带的边长为和 （2）可行， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关的知识点，学会利用正方形和旋转的性质求线段长度是解题的关键． （1）由旋转的性质可知，绕点从起始位置顺时针旋转后，恰好落在边上，则有，连接，则有，电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域，则有，结合题意即可求出矩形感应带的尺寸； （2）由题意“两次闪烁间隔3秒”，分析可得当指示灯闪烁时，电子板应处于相对初始位置旋转角为的位置，结合（1）中的结论可得，设与的交点为，进而推出，得到，当边上的传感器装在点处，则符合题意，所以方案可行，再利用正方形的性质求出的长即可解答． 【小问1详解】 解：电子板在起始位置时，有， 绕点从起始位置顺时针旋转后，恰好落在边上， 如图，连接，则有， 又电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域， ，， ，， 的最小值为，的最小值为， 尽可能节省材料， 应设计矩形感应带的边长为和． 【小问2详解】 解：方案可行，理由如下： 因为电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，并且指示灯两次闪烁间隔3秒，根据该方案，当指示灯闪烁时，电子板应处于相对初始位置旋转角为的位置． 此时，在（1）的条件下，在正方形的对角线上，点与点重合，，设与的交点为． ， ，，． 在正方形与中，、是对角线，， ，，， ，即，． 又， ． ，，即． 若边上的传感器装在点处，当电子版处于相对于初始位置旋转角为的位置时，则指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒，因此该方案可行． 在正方形中，，， ， 在中，， ． ． 24. 如图所示，已知与直线相切于点，等边三角形与在直线的同侧，且点，在直线上，，连接，，，是与的交点，． （1）求的长； （2）将沿射线的方向平移至． ①当点落在之间且时，判断点与线段的位置关系，并说明理由； ②在平移过程中，与交于点，是否存在的情形？若存在，请求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①点在线段上， 将沿射线的方向平移至，当点落在之间且时， 解法一：点在线段上，理由如下： 过作于点，交的延长线于点， ∴四边形是矩形， ，， 点在之间，且， ． 由（1）可知， 在中，， 在等边三角形中，，， ，， 在中，， ， ， ， 点在线段上． 解法二：点在线段上，理由如下： 如图所示，以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 由（1）可得：点坐标为，点坐标为， 平移至，连接，过作于点， 点在之间，且， ， ， 点的坐标为， 在等边三角形中，，， ， 点坐标为， 设直线的表达式为：， 则有， 直线的表达式为：， 当时，，且， 点在线段上． ②存在， 【解析】 【分析】（1）连接，设的半径，根据切线的性质可得，得到，，由勾股定理解得，最后运用弧长公式计算即可； （2）①解法一：过作于点，交的延长线于点，运用矩形的性质，勾股定理等知识可得，，，由此即可求解； 解法二：如图所示，以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，由（1）可得：点坐标为，点坐标为，平移至，连接，过作于点，则点坐标为，运用待定系数法可得直线的表达式为：，由点与直线的位置关系即可求解； ②根据题意，过作于点，交的延长线于点，可得矩形，证明，结合角的关系即可求解． 【小问1详解】 解：连接，设的半径， 与直线相切于点， ， ，， 在中，，， ，即， 解得， ． 【小问2详解】 解：① 略 ②当平移距离为时，，理由如下： 当平移距离为时，， ， ，故点与点重合， 由（1）可知， ， 在中，， 过作于点，交的延长线于点，可得矩形， ，，， 在中，， 点在上，且， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，求弧长，勾股定理，切线的性质，点与直线的位置关系，待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，图形平移的性质，圆周角定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 25. 在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， （1）分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） （2）求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） （3）请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； （4）请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）可以用整数18作为峰值的估计值， 解法一： 因为第二次操作后，峰值在第三段，不妨设该段为，其中为该段的左端值， 所以，解得 因为峰值为该段的最大值， 所以，解得． 因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以，解得． 所以． 所以可以用整数18作为峰值的估计值， 解法二： 因为第二次操作后，峰值在该次操作的第三段，又因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以 解这个不等式组得． 所以可以用整数18作为峰值m的估计值． （4）不是， 解法一： 事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的 假设：用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值这一段． 那么，解得，与矛盾． 所以假设不成立： 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 解法二： 事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的． 因为， 当时，，即， 所以第三次操作后，峰值不在第三段． 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 【解析】 【分析】本题考查了阅读理解题型、推理与论证等内容； （1）根据材料易知第一次操作后，峰值m在第三段，且，即峰值m不在第一段内，也不在第二段内，从而求出第一个分点，因为实验指标从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，所以第二段内数值逐渐增大，进而求出第二个分点； （2）因为第一次操作后，峰值m在第三段，且，所以第二次操作中所设置的； （3）因为第二次操作后，峰值m在该次操作的第三段，又因为第二次操作后，该段的左端值大于16，所以，解不等式组即可； （4）由题意得，第三次操作中所设置的，继而推出即，与题意不符，进而得解． 【小问1详解】 解： 解法一： 因为小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值在第三段，且，即峰值不在第一段内，也不在第二段内． 所以第一个分点． 因为实验指标从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16， 所以第二段内数值逐渐增大． 所以第二段的最小值是，最大值是． 所以根据“分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于”可得． 解得第二个分点． 解法二： 因为小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值在第三段且． 所以峰值不在第一段内． 所以第一个分点． 因为峰值在第三段， 所以根据“分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于”可得． 解得第二个分点． 【小问2详解】 解：因为第一次操作后，峰值在第三段，且， 所以第二次操作中所设置的 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $