福建省厦门集美中学附属滨水学校2025—2026学年九年级上学期数学第二次学情自测

2025—2026学年第一学期初中毕业班第二次限时训练考试 数 学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3.可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. ⊙O半径为4，点A在内，则的长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 二次函数的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程（　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3 8. 如图，正六边形内接于，若的边心距，则正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 10. 一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示． 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果点与点关于原点对称，那么点的坐标是______． 12. 是方程的一个根，的值是______． 13. 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为________． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值：__________． 15. 有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是：如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”（一种直角曲尺，可以画直角）过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分．请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理：______________． 16. 将抛物线向上平移（）个单位长度，＜k＜，平移后的抛物线与双曲线y＝（x＞0）交于点P（p，q），M（1＋，n），则下列结论正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） ① 0＜p＜1－； ② 1－＜p＜1； ③ q＜n； ④ q＞2k－k． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是非负数． 20. 如图，在中，，．以点为圆心，为半径作圆，延长交于点． （1）请在图中作出点关于直线的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，证明：直线与相切． 21. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求的值； （2）已知二次函数过点，若A、B是二次函数与x轴的交点（A在B的左边），点P是该二次函数图象上的动点并且位于x轴上方，设点P的横坐标为m，求m为何值时，面积最大，并求最大面积． 22. 某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量（单位：万盒）随价格（单位：元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示．该药品2021年价格为60元/盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳入医保，2022年价格下调至30元/盒．但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同，根据已知信息解决下列问题： （1）求2022年该药品的年销售量； （2）该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%．为惠及更多患者，该企业计划在2023年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比2022年至少增加2500万元用于制药技术的研发，请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由． 23. 图是某产品电子组件的平面示意图．该组件包含一个边长为的正方形电子板和一个矩形感应带．该组件的工作方式是：电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，且电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域． （1）为尽可能节省材料，应如何设计矩形感应带的尺寸？（直接写出尺寸即可） （2）该产品用户要求加装指示灯，在产品工作过程中指示灯能按一定时间间隔闪烁，以起到提醒、警示的作用．研发团队拟在（1）的基础上采取如下方案：在点处、的延长线与的交点处、正方形电子板的边上分别加装一个传感器，电子板旋转时，当边上的传感器捕捉到与，两处传感器的距离相等时，指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒．该方案是否可行？若可行，求的长；若不可行，请说明理由． 24. 如图所示，已知与直线相切于点，等边三角形与在直线的同侧，且点，在直线上，，连接，，，是与的交点，． （1）求的长； （2）将沿射线的方向平移至． ①当点落在之间且时，判断点与线段的位置关系，并说明理由； ②在平移过程中，与交于点，是否存在的情形？若存在，请求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 25. 在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， （1）分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） （2）求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） （3）请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； （4）请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 2025—2026学年第一学期初中毕业班第二次限时训练考试 数 学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3.可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】1（答案不唯一） 【15题答案】 【答案】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 【16题答案】 【答案】②④##④② 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】 证明：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是非负数． 【20题答案】 【答案】（1） 如图点即为所求， 作线段的垂直平分线，利用对称轴垂直平分对应点所连线段即可得到点关于直线的对称点；     （2） 证明：连接，，交于点，如图所示，     ∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得，垂直平分. ∴， ∴在中，平分， ∴， 即， ∴直线与相切； 【21题答案】 【答案】（1）的值为 （2）当时，的面积最大，最大面积为 【22题答案】 【答案】（1）700万盒 （2）该药品价格满足元/盒， 设2021年的制药成本为元/盒， 由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒， 因为2022年销售该药品的利润与2021年相同， 可得， 化简得， 解得， 因为2023年继续下调该药品的价格， 所以2023年该药品的价格，则年销售量为万盒， 依题意得， 化简得， 因为，根据不等式的性质，不等式两边同乘以正数，可得， 所以， 答：该药品价格满足元/盒． 【23题答案】 【答案】（1）应设计矩形感应带的边长为和 （2）可行， 【24题答案】 【答案】（1） （2）①点在线段上， 将沿射线的方向平移至，当点落在之间且时， 解法一：点在线段上，理由如下： 过作于点，交的延长线于点， ∴四边形是矩形， ，， 点在之间，且， ． 由（1）可知， 在中，， 在等边三角形中，，， ，， 在中，， ， ， ， 点在线段上． 解法二：点在线段上，理由如下： 如图所示，以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 由（1）可得：点坐标为，点坐标为， 平移至，连接，过作于点， 点在之间，且， ， ， 点的坐标为， 在等边三角形中，，， ， 点坐标为， 设直线的表达式为：， 则有， 直线的表达式为：， 当时，，且， 点在线段上． ②存在， 【25题答案】 【答案】（1）， （2） （3）可以用整数18作为峰值的估计值， 解法一： 因为第二次操作后，峰值在第三段，不妨设该段为，其中为该段的左端值， 所以，解得 因为峰值为该段的最大值， 所以，解得． 因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以，解得． 所以． 所以可以用整数18作为峰值的估计值， 解法二： 因为第二次操作后，峰值在该次操作的第三段，又因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以 解这个不等式组得． 所以可以用整数18作为峰值m的估计值． （4）不是， 解法一： 事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的 假设：用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值这一段． 那么，解得，与矛盾． 所以假设不成立： 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 解法二： 事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的． 因为， 当时，，即， 所以第三次操作后，峰值不在第三段． 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $