精品解析：福建省厦门市集美区灌口中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

厦门一中集美分校九年级数学学科第二次校本限时训练 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． 【详解】∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 3. 任意画一个三角形，下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 这个三角形有两条边相等 B. 这个三角形有一个内角是直角 C. 这个三角形三个内角的和是 D. 这个三角形两条边的和等于第三条边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的三边关系、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、这个三角形有两条边相等是随机事件，不符合题意； B、这个三角形有一个内角是直角是随机事件，不符合题意； C、这个三角形三个内角的和是是必然事件，符合题意； D、这个三角形两条边的和等于第三条边是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 4. 如图所示，如图，点A，B，C在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，计算即可． 【详解】解：由圆周角定理得，， 故选：C． 5. 某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用该种药品经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 6. 如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据题意得，从而可得结论 【详解】解：如图， ， ∵ ∴， ∴的面积， 故选：B 8. 已知二次函数的图象与轴的交点的坐标为，顶点的坐标为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点的坐标为，且，可得函数的对称轴为直线，根据二次函数的对称性可得函数与轴另外一个交点的坐标为，设抛物线的表达式为，可得，把代入即可求解． 【详解】解：∵二次函数顶点的坐标为，且， 函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象与轴的交点的坐标为， 根据二次函数的对称性可得，函数与轴另外一个交点的坐标为， 则设抛物线的表达式为， 即，解得， 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，解题的关键是掌握概率计算公式． 利用概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：从袋子中随机摸出1个球，摸出黄球的概率是， 故答案为：． 10. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，在解题时要重视解题思路的逆向分析．将代入方程，利用根的定义求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴代入得， 解得 ． 故答案为： ． 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点坐标的关系，解题的关键是掌握点关于原点对称的坐标规律．平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，从而可得出答案． 【详解】解：根据中心对称的性质，得点关于原点对称点的坐标是． 故答案为：． 12. 如图，为上两点，于点，且，则的长是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，先根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 13. 若抛物线与x轴只有一个交点，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，结合抛物线与x轴只有一个交点，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴令，则， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 若反比例函数图象上的两点，且，则k的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数图象上的两点，， ∴随着的增大而减小， ∴反比例函数图象经过第一象限， ∴， 解得 故答案为：． 15. 如图，等边三角形中，为边上一动点，，垂足分别为则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H，首先证明是顶角为的等腰三角形，当的值最小时，的值最小，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C、D、P、E四点共圆， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可得，当时，，此时最小，， ∵，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的值最小为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当时最小是解题的关键． 16. 二次函数可以写成的形式，其能与函数建立联系，发现当时，，当时，．我们把上述现象称为函数参照取值延后，延后值为．若函数参照取值延后，延后值为3，则的值是_____． 【答案】39 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值，理解新定义是解决本题的关键． 根据取值延后的含义可得，则，即可求得的值． 【详解】解：函数参照取值延后，延后值为3， ∴， ， ， 故答案为：39． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 , 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．先通过十字相乘法找到乘积为、和为的两个数和，将方程因式分解为，再依据“积为则至少一个因式为”的性质，即可解答． 【详解】解：， ， 则或， 解得：． 18. 如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的加法运算，再计算分式的除法运算，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 在某项针对岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m，规定： 当时为A级， 当时为B级， 当时为C级． 现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下表： 日均发微博条数 0 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 人数 1 1 2 1 3 3 3 1 4 2 3 1 1 2 1 1 （1）求样本数据中为A级的频率： （2）试估计 1000个岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数； （3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人，用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率． 【答案】（1） （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计总体，列举法求概率，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用样本数据中为A级的人数比上样本总人数，即可得到样本数据中为A级的频率： （2）利用总人数1000乘以样本数据中A级的频率，即可解题； （3）根据题意画出树状图，得到从样本数据为C级的人中随机抽取2人的情况数与抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的情况数，再结合概率公式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：根据表格数据可知，样本数据中为A级的频率为； 【小问2详解】 解：（人）， 答：1000个岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数为人； 【小问3详解】 解：根据表格数据可知，样本数据为C级的人“日均发微博条数”分别为， 则画树状图如下： 由图知，从样本数据为C级的人中随机抽取2人的情况数为种，其中抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的情况数为种， 抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率为． 21. 如图， 在中， ， 以为直径的交于点D， ， 垂足为E， （1）求证： 是的切线； （2）若， ， 求扇形 的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据得到，结合得到即可得到，从而得到，即可证明是的切线； （2）由，得，可求得，则，由，求得，则，即可根据扇形的面积公式求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 扇形的面积为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、切线的判定定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 在中，，D为平面内一点． （1）当D在线段上时，将线段绕点A顺时针旋转至，连接，请你在图中用尺规作图补全图形； （2）在（1）的条件下，试判断线段与的数量关系并证明． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 线段与的数量关系为：， 连接， 由旋转可得，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出图形，熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）过点A作的垂线，在左侧垂线上截取，再连接即可； （2）连接，先证明，然后证明，则由勾股定理得到，结合以及进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩12米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完12米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求12米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．求出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1） 建立如图所示的平面直角坐标系， （2）的长为米, 的长为米 （3） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）在中， ，则 得到，即可求解； （3）由矩形周长，即可求解. 【小问1详解】 ∵所在直线是的垂直平分线，且 ， ∴点的坐标为， ， ∴点的坐标为， ∵点是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 点在抛物线上， ∴设点的坐标为 ，交轴于点， ， ， ∵在中，， ， ， 根据题息， 得 ， 解得：(不符合题意，舍去)， ， ， 答： 的长为米， 的长为米； 【小问3详解】 如图矩形灯带为， 由点的坐标得， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 同理的表达式分别为：， 设点，， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． 24. 中，，是外接圆上的一点，且点是所对的弧的中点． （1）如图1，过点作于点， ①连接，则的度数为______； ②若，，求外接圆的半径； （2）如图2，连接，过点的直线交于点，交该外接圆于点，交的延长线于点；的延长线交于点．若，，求证：． 【答案】（1）①；② （2） 证明：如图所示，过点作于点，过点作于点， 由（1）可得四边形是正方形， ∵， 即 ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴是直径， 又∵是直径， ∴是圆心， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据直角所对的圆周角是直角可得是直径，进而可得，根据点是所对的弧的中点得出，即可求解； ②过点作于点，证明得出，，进而得出四边形是正方形，求得，进而根据勾股定理，求得，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，同（1）得出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，结合已知，得出，根据等边对等角可得，进而得出是直径，即可得出是圆心，即可得证． 【小问1详解】 解：①∵，是外接圆上的一点， ∴是直径，， 又∵点是所对的弧的中点 ∴ ∴ 故答案为：． ②如图所示，过点作于点， ∵， ∴， 又∵ ∴四边形是矩形， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵ ∴， 又∵ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形， ∴ ∴ 在中， ∵是直径， ∴外接圆的半径为 【小问2详解】 略 25. 已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6． （1）求抛物线的对称轴和解析式； （2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； （3）若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线必过定点． 【答案】（1）直线, （2） （3） 证明：设，设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线过定点 ∴ 得： ∵直线 过N点， ∴，， ∴ 令， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴直线必过定点 【解析】 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，可得，根据的面积可得点的坐标，据此即可求解； （2）设点，由平行四边形的性质可得，据此即可求解； （3）设，可求出直线的解析式；根据直线过定点K可得；结合题意可求出点，即可进一步求出直线的解析式，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴ 令，则 ∴ ∵的面积为6． ∴， 解得： ∴， 将代入得：， 解得：， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴ 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴且 ∴，即： ∵顶点Q在原抛物线上， ∴， 解得： ∴ ∴平移后抛物线的表达式为： 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及了函数解析式的求解，平行四边形的性质，函数的平移等知识点，掌握待定系数法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门一中集美分校九年级数学学科第二次校本限时训练 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 任意画一个三角形，下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 这个三角形有两条边相等 B. 这个三角形有一个内角是直角 C. 这个三角形三个内角的和是 D. 这个三角形两条边的和等于第三条边 4. 如图所示，如图，点A，B，C在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 7. 在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象与轴的交点的坐标为，顶点的坐标为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是_______． 10. 若是方程的一个根，则的值为______． 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 如图，为上两点，于点，且，则的长是_____． 13. 若抛物线与x轴只有一个交点，则___________． 14. 若反比例函数图象上的两点，且，则k的取值范围是______． 15. 如图，等边三角形中，为边上一动点，，垂足分别为则的最小值为______． 16. 二次函数可以写成的形式，其能与函数建立联系，发现当时，，当时，．我们把上述现象称为函数参照取值延后，延后值为．若函数参照取值延后，延后值为3，则的值是_____． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在某项针对岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m，规定： 当时为A级， 当时为B级， 当时为C级． 现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下表： 日均发微博条数 0 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 人数 1 1 2 1 3 3 3 1 4 2 3 1 1 2 1 1 （1）求样本数据中为A级的频率： （2）试估计 1000个岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数； （3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人，用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率． 21. 如图， 在中， ， 以为直径的交于点D， ， 垂足为E， （1）求证： 是的切线； （2）若， ， 求扇形 的面积． 22. 在中，，D为平面内一点． （1）当D在线段上时，将线段绕点A顺时针旋转至，连接，请你在图中用尺规作图补全图形； （2）在（1）的条件下，试判断线段与的数量关系并证明． 23. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩12米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完12米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求12米材料恰好用完时与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．求出符合设计要求的矩形周长的最大值． 24. 中，，是外接圆上的一点，且点是所对的弧的中点． （1）如图1，过点作于点， ①连接，则的度数为______； ②若，，求外接圆的半径； （2）如图2，连接，过点的直线交于点，交该外接圆于点，交的延长线于点；的延长线交于点．若，，求证：． 25. 已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6． （1）求抛物线的对称轴和解析式； （2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； （3）若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线必过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $