【专题 01】三角形的三边关系及重要线段 期中专项训练 2026-2027学年人教版八年级上册数学

2026-2027学年八年级上册数学期中专项训练 【专题01】三角形的三边关系及重要线段 2026-2027学年人教版八年级上册数学期中专项训练 班级： 姓名： 成绩： （本试卷满分90分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各组线段的长度中，能作为三角形三边长的是（ ） A. 2,3,6 B. 3,4,5 C. 1,1,3 D. 4,4,8 2. 已知△ABC的三边分别为a、b、c，且三边长均为正整数，a<b<c,a+b+c=18，则满足条件的三角形个数有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 3. 已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边a的取值范围是（ ） A. 4＜a＜10 B. 3＜a＜7 C. 10＜a＜17 D. a＜4 4. 一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 10 5. 下列关于三角形重要线段的说法，正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是射线 B. 三角形的中线是直线 C. 三角形的三条高都在三角形的内部 D. 三角形的三条中线都在三角形的内部，并且交于一点 6. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论一定正确的是（ ） A. AD⊥BC B. ∠BAD=∠CAD C. S△ABD=S△ACD D. AB=AC 7. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=6，△ABC的面积为24，BE是AC边上的中线，则BC的长与△ABE的面积分别为（ ） A. 8,12 B. 6,12 C. 8,6 D. 12,12 8. 若a、b、c是△ABC的三边长，则化简|a+b−c|−|b−a−c|的结果是（ ） A. 2b−2c B. 2a+2b C. 2a−2c D. 0 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为奇数，则第三边长为________。 10. 一个等腰三角形的两边长分别为6和13，则它的周长为________。 11. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，连接CE。若S△ABC=16，则S△CDE=________。 12. 若一个三角形的三条高中有两条在三角形的外部，则这个三角形是________三角形。 13. 用长度相同的小棒搭三角形，按如图的方式摆放：搭1个三角形需要3根小棒，搭2个需要5根，搭3个需要7根……照此规律，搭第n个图形需要________根小棒，搭第2026个图形需要________根。 三、解答题（本大题共5小题，共51分） 14.（9分）如图，给出了三个三角形，请分别画出指定边上的高，并用字母表示垂足。 （1） 图（1）中BC边上的高； （2） 图（2）中斜边AB上的高（∠ACB=90°）； （3） 图（3）中BC边上的高（∠ABC为钝角），并指出垂足的位置有什么特点。 15.（9分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE。设△ABC的面积为S。 （1） 若S=36，求△ABD的面积； （2） 在（1）的条件下，求△BEC的面积； （3） 由上面的计算，猜想△BEC的面积与△ABC的面积之间的数量关系，并说明理由。 16.（9分）某手工小组要用三根木条钉成一个三角形挂件，已有两根木条的长分别为20 cm和50 cm。设第三根木条的长为x cm。 （1） 求x的取值范围； （2） 若第三根木条的长取10的倍数，则共有多少种不同的取法？请把它们写出来； （3） 若钉成的是等腰三角形，求这个三角形挂件的周长。 17.（9分）如图，P是△ABC内部的任意一点，连接PB、PC。求证：PB+PC＜AB+AC。（提示：延长BP交AC于点D） 18.（15分）我们知道：三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形（等底同高）。请利用这一结论，并结合三角形三边关系解答下面的问题。 （1） 如图①，D是BC的中点，E是AD的中点。若S△ABC=8，求S△ABE； （2） 如图②，D、E、F分别是BC、AD、CE的中点。若S△ABC=16，求S△BEF； （3） 在图①中，若AB=7，AC=3，求△ABD与△ACD的周长之差； （4） 在（3）的条件下，求第三边BC长的取值范围。 【答案与解析】 1、 选择题 1.【答案】B 【解析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。故选B。 2.【答案】A 【解析】 由三角形三边关系 a + b > c，又a + b = 18 - c，代入得：18 - c > c，解得 c < 9。 由a < b < c可知 c > 18 ÷ 3 = 6，即 c ≥ 7。所以c = 7或c = 8。 当c = 7时，a + b = 11，且a < b < 7。满足条件的只有a = 5，b = 6，即(5, 6, 7)； 当c = 8时，a + b = 10，且a < b < 8。满足条件的有a = 3，b = 7即(3, 7, 8)，以及a = 4，b = 6即(4, 6, 8)。共3个满足条件的三角形。故选A。 3.【答案】A 【解析】 根据三角形三边关系：两边之差 < 第三边 < 两边之和。 7 - 3 < a < 7 + 3，即 4 < a < 10。故选A。 4.【答案】B 【解析】 分两种情况讨论： 情况一：腰长为2，底边为5。此时2 + 2 = 4 < 5，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 情况二：腰长为5，底边为2。此时5 + 2 = 7 > 5，满足三角形三边关系，可以构成三角形。 周长 = 5 + 5 + 2 = 12。故选B。 5.【答案】D 【解析】 A选项：三角形的角平分线是线段，不是射线，错误； B选项：三角形的中线是线段，不是直线，错误； C选项：钝角三角形的两条高在三角形外部，错误； D选项：三角形的三条中线都在三角形内部，并且交于一点（重心），正确。故选D。 6.【答案】C 【解析】 AD是BC边上的中线，则D为BC中点，BD = DC。 A选项：AD ⊥ BC，只有等腰三角形才成立，不一定正确； B选项：∠BAD = ∠CAD，只有等腰三角形才成立，不一定正确； C选项：S△ABD = S△ACD，因为BD = DC（等底），且两个三角形共用顶点A（同高），所以面积相等，正确； D选项：AB = AC，不一定成立。 故选C。 7.【答案】A 【解析】 （1）求BC的长： AD是BC边上的高，AD = 6，S△ABC = 24。 S△ABC = × BC × AD = 24 × BC × 6 = 24 BC = 8 （2）求S△ABE： BE是AC边上的中线，则E为AC中点。 △ABE和△ABC中，AE = AC，且共用顶点B（高相同）， 所以S△ABE = × S△ABC = × 24 = 12。 故BC = 8，S△ABE = 12。故选A。 8.【答案】A【解析】 a、b、c是△ABC的三边长，由三角形三边关系： a + b > c，所以 a + b - c > 0，故 |a + b - c| = a + b - c； a + c > b，所以 b - a - c < 0，故 |b - a - c| = -(b - a - c) = -b + a + c。 原式 = (a + b - c) - (-b + a + c) = a + b - c + b - a - c = 2b - 2c。故选A。 2、 填空题 9.【答案】5【解析】 设第三边长为x。 由三角形三边关系：5 - 2 < x < 5 + 2，即 3 < x < 7。 因为x为奇数，在3和7之间的奇数只有5。 所以第三边长为5。 10.【答案】32 【解析】 分两种情况讨论： 情况一：腰长为6，底边为13。此时6 + 6 = 12 < 13，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 情况二：腰长为13，底边为6。此时13 + 6 = 19 > 13，满足三角形三边关系，可以构成三角形。 周长 = 13 + 13 + 6 = 32。 11.【答案】4【解析】 因为AD是BC边上的中线，所以S△ABD = S△ACD = × S△ABC = × 16 = 8。 因为E是AD的中点，在△ACD中，DE = AD，且△CDE和△ACD共用顶点C（高相同）， 所以S△CDE = × S△ACD = × 8 = 4。 12.【答案】钝角 【解析】 锐角三角形：三条高都在三角形内部； 直角三角形：两条高分别是两条直角边（在边上），一条高在内部； 钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在内部。 所以三条高中有两条在三角形外部的三角形是钝角三角形。 13.【答案】2n + 1；4053 【解析】 观察规律： 搭1个三角形需要3根小棒：3 = 2 × 1 + 1； 搭2个三角形需要5根小棒：5 = 2 × 2 + 1； 搭3个三角形需要7根小棒：7 = 2 × 3 + 1； 由此归纳：搭第n个图形需要 (2n + 1) 根小棒。 当n = 2026时，2 × 2026 + 1 = 4052 + 1 = 4053。 所以搭第2026个图形需要4053根小棒。 三、解答题 14.解： （1）图（1）为锐角三角形。过点A作BC的垂线，垂足为D（D在BC边上），则AD为BC边上的高。 （2）图（2）为直角三角形（∠ACB = 90°）。过点C作斜边AB的垂线，垂足为D（D在AB边上），则CD为AB边上的高。 （3）图（3）为钝角三角形（∠ABC为钝角）。过点A作BC所在直线的垂线，垂足为D（D在CB的延长线上，即BC边向B点方向延长线上）。则AD为BC边上的高。 垂足位置特点： 垂足D落在BC边的延长线上（在顶点B的外侧），即垂足不在边BC上，而在BC边所在直线上、BC线段的外部。 15.解：（1）因为AD是BC边上的中线，所以BD = DC。 △ABD和△ACD等底（BD = DC）同高（顶点A到BC的距离）， 所以S△ABD = × S△ABC = × 36 = 18。 即△ABD的面积为18。 （2）因为E是AD的中点， 在△ABD中，BE是中线（E为AD中点）， 所以S△BDE = × S△ABD = × 18 = 9。 同理，在△ACD中，CE是中线（E为AD中点）， 所以S△CDE = × S△ACD = × 18 = 9。 所以S△BEC = S△BDE + S△CDE = 9 + 9 = 18。 即△BEC的面积为18。 （3）猜想： S△BEC = × S△ABC。 理由：因为AD是BC边上的中线，所以S△ABD = S△ACD = × S△ABC = S。 因为E是AD的中点， 在△ABD中，S△BDE =× S△ABD = ×S = S； 在△ACD中，S△CDE = × S△ACD =× S =S。 所以S△BEC = S△BDE + S△CDE = S + S = S = × S△ABC。 即△BEC的面积等于△ABC面积的一半。 16.解：（1）由三角形三边关系： 50 - 20 < x < 50 + 20 即 30 < x < 70。 所以x的取值范围是 30 < x < 70。 （2）因为x为10的倍数，且30 < x < 70， 所以x可以取：40，50，60。 共3种不同的取法，分别是40cm、50cm、60cm。 （3）若钉成等腰三角形，分两种情况： 情况一：x = 20。此时三边为20，20，50。但20 + 20 = 40 < 50，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 情况二：x = 50。此时三边为20，50，50。20 + 50 = 70 > 50，满足三角形三边关系，可以构成等腰三角形。 周长 = 20 + 50 + 50 = 120（cm）。 答：这个三角形挂件的周长为120cm。 17.证明：延长BP交AC于点D。 在△ABD中，由三角形三边关系（两边之和大于第三边）： BD < AB + AD ……① 因为点P在BD上，所以BD = BP + PD，代入①得： BP + PD < AB + AD 即 BP < AB + AD - PD ……② 在△PDC中，由三角形三边关系： PC < PD + DC ……③ ② + ③ 得： BP + PC < (AB + AD - PD) + (PD + DC) BP + PC < AB + AD + DC 因为AD + DC = AC， 所以 BP + PC < AB + AC。 即 PB + PC < AB + AC。 证毕。 18.解：（1）因为D是BC的中点， 所以S△ABD = S△ACD = × S△ABC = × 8 = 4。 因为E是AD的中点， 在△ABD中，BE是中线（E为AD中点）， 所以S△ABE = × S△ABD = × 4 = 2。 即S△ABE = 2。 （2）因为D是BC的中点， 所以S△ABD = S△ACD = × S△ABC = × 16 = 8。 因为E是AD的中点， 在△ABD中，S△BDE = × S△ABD = × 8 = 4； 在△ACD中，S△CDE = × S△ACD = × 8 = 4。 所以S△BCE = S△BDE + S△CDE = 4 + 4 = 8。 因为F是CE的中点， 在△BCE中，BF是中线（F为CE中点）， 所以S△BEF = × S△BCE = × 8 = 4。 即S△BEF = 4。 （3）因为D是BC的中点，所以BD = CD。 △ABD的周长 = AB + BD + AD = 7 + BD + AD △ACD的周长 = AC + CD + AD = 3 + BD + AD（因为CD = BD） 周长之差 = (7 + BD + AD) - (3 + BD + AD) = 7 - 3 = 4。 即△ABD与△ACD的周长之差为4。 （4）在△ABC中，由三角形三边关系： AB - AC < BC < AB + AC 7 - 3 < BC < 7 + 3 即 4 < BC < 10。 所以第三边BC长的取值范围是 4 < BC < 10。 1 学科网（北京）股份有限公司 $