2026-2027学年人教版数学九年级上册期中复习

九年级上册期中复习 练习题 2026—2027学年　人教版　九年级数学上册 第二十五～二十七章　一元二次方程·二次函数·反比例函数 满分：100分　　建议用时：90分钟 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 答题说明：本卷共三大题18小题，满分100分，建议用时90分钟。选择题、填空题请直接将答案写在题号旁；解答题须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个选项符合题意） 下列方程中，是一元二次方程的是（　） A. 2x²−x=1　　B. x²−3y=0　　C. (x−1)(x+2)=x²+3　　D. x³−x²=0 方程 (x−3)²=16 的根是（　） A. x₁=7，x₂=−1　　B. x₁=7，x₂=1　　C. x₁=−7，x₂=1　　D. x₁=−7，x₂=−1 若关于 x 的方程 x²−4x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　） A. k<4　　B. k≤4　　C. k>4　　D. k≥4 抛物线 y=−2(x−1)²+3 的顶点坐标和开口方向分别是（　） A. (1,3)，向上　　B. (1,3)，向下　　C. (−1,3)，向下　　D. (−1,−3)，向上 反比例函数 y=− 的图象上有两点 A(−2，y₁)、B(1，y₂)，则 y₁、y₂ 的大小关系是（　） A. y₁>y₂　　B. y₁<y₂　　C. y₁=y₂　　D. 无法确定 将抛物线 y=x² 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的解析式是（　） A. y=(x+2)²−1　　B. y=(x−2)²−1　　C. y=(x+2)²+1　　D. y=(x−2)²+1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 已知一元二次方程 x²+3x−1=0 的两个根分别为 x₁、x₂，则 x₁+x₂=______，x₁·x₂=______。 填空：x²−6x+______=(x−______)²。 二次函数 y=x²−4x+5 的最小值是______。 已知反比例函数 y= 的图象经过点 (2，−3)，则 k=______。 某商品原价为 100 元，经过连续两次降价后售价为 64 元。设每次降价的百分率均为 x，则所列方程为______。 抛物线 y=x²−2x−3 与 x 轴的交点坐标是______。 三、解答题（本大题共6小题，共64分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） （本小题满分10分）用适当的方法解下列方程： （1）x²−6x+8=0； （2）x²−2x−5=0。 （本小题满分10分）某居民小区2023年底绿化面积为 40000 m²，持续推进小区绿化改造后，2025年底绿化面积达到 52900 m²。若绿化面积的年平均增长率相同，求这个增长率。 （本小题满分10分）已知抛物线 y=ax²+bx+c 经过点 (1，0)、(3，0) 和 (0，3)，求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴、顶点坐标和最小值。 （本小题满分11分）某商店销售一款云南小粒咖啡礼盒，进价为每盒40元。当售价为每盒60元时，每月可售出200盒；若售价每上涨1元，月销售量将减少5盒。设售价为每盒 x 元（x≥60），每月销售利润为 W 元。 （1）求 W 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）当售价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少元？ （本小题满分11分）如图1，已知反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=x+b 的图象交于 A(−2，3)、B 两点。 （1）求 k 和 b 的值； （2）求点 B 的坐标； （3）求△AOB 的面积。 图1　反比例函数与一次函数的图象 （本小题满分12分）已知抛物线 y=x²−2x−3。 （1）求该抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）求该抛物线与 x 轴、y 轴的交点坐标； （3）当 x 取何值时，y<0？ （4）将该抛物线先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，写出平移后抛物线的解析式。 图2　抛物线 y=x²−2x−3（示意） 参考答案与解析 一、选择题 1．A　解析：A 可化为 2x²−x−1=0，符合“只含一个未知数、未知数的最高次数为2、是整式方程、二次项系数不为0”；B 中含有两个未知数；C 化简得 x−5=0，是一元一次方程；D 中未知数的最高次数为3。故选 A。 2．A　解析：由 (x−3)²=16，得 x−3=±4，所以 x₁=7，x₂=−1。故选 A。 3．A　解析：方程 x²−4x+k=0 有两个不相等的实数根，所以 Δ=b²−4ac=(−4)²−4×1×k=16−4k>0，解得 k<4。故选 A。 4．B　解析：抛物线 y=−2(x−1)²+3 是顶点式 y=a(x−h)²+k 的形式，其中 a=−2<0，开口向下；h=1，k=3，顶点坐标为 (1，3)。故选 B。 5．A　解析：方法一：y₁=−=，y₂=−=−3，因为 >−3，所以 y₁>y₂。方法二：k=−3<0，图象位于第二、四象限，点 A(−2，y₁) 在第二象限，y₁>0；点 B(1，y₂) 在第四象限，y₂<0，故 y₁>y₂。故选 A。 6．A　解析：抛物线 y=x² 向左平移 2 个单位得 y=(x+2)²，再向下平移 1 个单位得 y=(x+2)²−1。故选 A。 二、填空题 7．−3；−1　解析：由根与系数的关系，x₁+x₂=−=−=−3，x₁·x₂==−=−1。 8．9；3　解析：一次项系数 −6 的一半的平方为 (−3)²=9，所以 x²−6x+9=(x−3)²。 9．1　解析：y=x²−4x+5=(x−2)²+1，因为 (x−2)²≥0，所以当 x=2 时，y 有最小值 1。 10．−6　解析：将点 (2，−3) 代入 y=，得 −3=，解得 k=−6。 11．100(1−x)²=64　解析：第一次降价后售价为 100(1−x) 元，第二次降价后为 100(1−x)² 元，由题意得 100(1−x)²=64。 12．(−1，0) 和 (3，0)　解析：令 y=0，得 x²−2x−3=0，即 (x−3)(x+1)=0，解得 x=−1 或 x=3，所以抛物线与 x 轴的交点坐标为 (−1，0)、(3，0)。 三、解答题 13．解：（1）x²−6x+8=0，因式分解得 (x−2)(x−4)=0，所以 x₁=2，x₂=4。 （2）x²−2x−5=0，这里 a=1，b=−2，c=−5，Δ=b²−4ac=(−2)²−4×1×(−5)=4+20=24>0，所以 x==1±，即 x₁=1+，x₂=1−。 评分参考：每小题5分，解法恰当2分、结果正确3分。 14．解：设绿化面积的年平均增长率为 x，根据题意，得 40000(1+x)²=52900。两边同除以 40000，得 (1+x)²=1.3225，所以 1+x=1.15，解得 x=0.15=15%。 经检验，x=15% 符合题意。答：该小区绿化面积的年平均增长率为 15%。 评分参考：设未知数1分、列方程3分、解方程4分、检验与作答2分。 15．解：设抛物线的解析式为 y=a(x−1)(x−3)，将点 (0，3) 代入，得 3=a×(0−1)×(0−3)=3a，所以 a=1。 所以 y=(x−1)(x−3)=x²−4x+3=(x−2)²−1。对称轴为直线 x=2；顶点坐标为 (2，−1)；因为 a=1>0，开口向上，所以当 x=2 时，y 有最小值 −1。 评分参考：求 a=1 4分、化为顶点式2分、对称轴1分、顶点1分、最小值2分。 16．解：（1）售价为 x 元时，每上涨 (x−60) 元，月销售量为 200−5(x−60) 盒，所以 W=(x−40)[200−5(x−60)]=−5x²+700x−20000。 因为 x≥60，且 200−5(x−60)≥0，即 x≤100，所以 x 的取值范围为 60≤x≤100。 （2）W=−5x²+700x−20000=−5(x−70)²+4500。因为 −5<0，所以当 x=70 时，W 有最大值 4500。 答：当售价定为每盒 70 元时，月利润最大，最大月利润为 4500 元。 评分参考：（1）函数关系式3分、取值范围1分；（2）配方4分、结论3分。 17．解：（1）将点 A(−2，3) 分别代入 y= 和 y=x+b，得 3=，3=−2+b，所以 k=−6，b=5。 （2）联立 y=− 与 y=x+5，得 −=x+5，即 x²+5x+6=0，因式分解得 (x+2)(x+3)=0，解得 x=−2 或 x=−3。 x=−2 对应点 A，x=−3 时 y=x+5=2，所以点 B 的坐标为 (−3，2)。 （3）设直线 AB 与 y 轴交于点 C，由 y=x+5 得 C(0，5)。因为 A(−2，3)、B(−3，2) 到 y 轴的距离分别为 2、3，所以 S△AOC=×5×2=5，S△BOC=×5×3=，所以 S△AOB=S△BOC−S△AOC=−5=。 评分参考：（1）4分，k、b 各2分；（2）4分；（3）3分。 18．解：（1）y=x²−2x−3=(x−1)²−4，所以顶点坐标为 (1，−4)，对称轴为直线 x=1。 （2）令 y=0，得 x²−2x−3=0，即 (x−3)(x+1)=0，解得 x=−1 或 x=3，所以抛物线与 x 轴交于 (−1，0)、(3，0)；令 x=0，得 y=−3，所以与 y 轴交于 (0，−3)。 （3）因为 a=1>0，开口向上，抛物线与 x 轴的交点为 (−1，0)、(3，0)，所以当 −1<x<3 时，y<0。 （4）将抛物线 y=(x−1)²−4 先向左平移 2 个单位，得 y=(x+1)²−4；再向上平移 3 个单位，得 y=(x+1)²−1。所以平移后抛物线的解析式为 y=(x+1)²−1。 评分参考：（1）3分；（2）4分，x 轴交点3分、y 轴交点1分；（3）2分；（4）3分。 学科网（北京）股份有限公司 $