精品解析：江西赣州市兴国县第六中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

兴国六中2026-2027学年上学期九年级第一次综合练习 说明：考试范围：第25-26章考试时间：120分钟，满分120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 3. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） x 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 5. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线与轴的交点的坐标是_____． 8. 若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 9. 已知，，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 10. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为______． 11. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 12. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确的结论有___________（填序号）． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 15. 为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 16. 已知函数（其中）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）当m为何值时，y是x的一次函数？ 17. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某种流感病毒传播很快，开始有 2 人感染，经过两轮传染后共有 128 人感染（含最初的 2 人）． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）按照这样的传播速度，第三轮传染后共有多少人感染？ 19. “动若脱兔”是一个成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．兔子跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）兔子一次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式； （2）若兔子起跳点2米处有一个高度为米的木桩，请问兔子是否能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演？ 20. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________ … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 ．… （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①关于的方程实数根为___________； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________． 六、解答题（本大题1小题，12分） 23. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴国六中2026-2027学年上学期九年级第一次综合练习 说明：考试范围：第25-26章考试时间：120分钟，满分120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 3. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. 将变形为. ∴顶点坐标为. 4. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） x 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】C 【解析】 【详解】解：由表可以看出，当x的值为1和2之间的某个数时，，即这个数是方程的正数解， ∴该方程的正数解在1和2之间． 5. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 6. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 抛物线与轴的交点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，令，则，即可得到交点坐标． 【详解】解：令，则， 抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 8. 若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【解析】 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 9. 已知，，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系；根据题意可得，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 10. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故答案为：． 11. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 12. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确的结论有___________（填序号）． 【答案】②③④⑤ 【解析】 【分析】结合二次函数的开口方向，对称轴所在位置以及与轴的交点，确定的符号，从而可判断结论①；结合对称轴的表达式，推导得出的关系式，从而可判断结论②；根据二次函数上关于对称轴对称的两点对应的函数值相等，得到与对应的函数值均小于，从而可判断结论③；根据二次函数与轴有两个不同的交点，对应一元二次方程有两个不同的实数根，因此判别式大于，从而可判断结论④；由图象可知，当时，二次函数取得最大值，因此任意实数的函数值均小于等于该最大值，列出不等式关系，从而可判断结论⑤． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下， ， ∵对称轴为直线， ， ， ∵抛物线与轴正半轴相交， ， ，故结论①错误； 由对称轴，得， ，故结论②正确； 二次函数的图象关于直线对称， 和对应的函数值相等， 由图象可知，当时，函数值， 当当当s时，，故结论③正确； 抛物线与轴有两个不同交点， 对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，故结论④正确； 由图象可知，当时，二次函数取得最大值，最大值为， 对任意实数，都有， 两边同时消去，整理得，，故结论⑤正确． 综上所述，正确的结论有②③④⑤． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得， ． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， 解得． 15. 为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 16. 已知函数（其中）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）当m为何值时，y是x的一次函数？ 【答案】（1）2 （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当且时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 且， 解得， 即当时，y是x的二次函数； 【小问2详解】 ①当且时，即时，y是x的一次函数； ②当且时，y是x的一次函数， 解得； ③当且时，y是x的一次函数， 解得； 即当为或或时，y是x的一次函数． 【点睛】本考查了二次函数和一次函数的定义，熟练掌握二次函数和一次函数的定义是解题的关键． 17. 已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）当时，抛物线的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减； （2）由二次函数的性质可得在上，随着的增大而减小，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为； 故当时，抛物线的最大值为，最小值为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某种流感病毒传播很快，开始有 2 人感染，经过两轮传染后共有 128 人感染（含最初的 2 人）． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）按照这样的传播速度，第三轮传染后共有多少人感染？ 【答案】（1）7人 （2）1024人 【解析】 【分析】（1）设平均一人传染了人，根据有2人感染，经过两轮传染后共有128人感染，列出方程求解； （2）根据（1）所求数据，进而表示出经过三轮传染后感染的人数． 【小问1详解】 解：设平均一人传染了人， 根据题意得：， 化简得：， 解得：，（不符合题意舍去） 故每轮传染中平均一个人传染了7个人； 【小问2详解】 解：由（1）知：经过三轮传染后感染的人数为：（人）； 答：经过三轮传染后共有1024个人感染． 19. “动若脱兔”是一个成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．兔子跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）兔子一次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式； （2）若兔子起跳点2米处有一个高度为米的木桩，请问兔子是否能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演？ 【答案】（1） （2）兔子能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先求出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）求出时，的值，再根据比较大小即可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，即为， ∴可设该抛物线的解析式为， 把代入得∶， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 因为， 所以兔子能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演． 20. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 【答案】（1） 当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． （2） 每双鞋子应降价元． 【解析】 【分析】（1）设降价金额为自变量，根据总利润的等量关系列出二次函数，利用二次函数顶点性质求最值； （2）根据给定利润列一元二次方程，结合“让顾客尽可能多得实惠”的条件选取较大的解． 【小问1详解】 解：设每双鞋子降价元，每天获得的总利润为元， 由题意得，每双鞋子的利润为元，每天的销售量为双， 总利润 （）， 整理得 ， ∵ ， ∴ 当时，取得最大值， 将代入得 （元）； 答：当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． 【小问2详解】 解：令，则 ， 整理得 ， 解得 ，， ∵ 要让顾客尽可能多得实惠， ∴ 选择较大的降价幅度，即． 答：每双鞋子应降价元． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 22. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________ … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 ．… （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①关于的方程实数根为___________； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________． 【答案】（1）0 （2） 如图所示，即为所求； （3） 观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称， ②当时，随的增大而增大； （4）①；② 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论； （2）根据表格数据，描点补充完图形； （3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的增减性，此题得解； （4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入函数，得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点， ∴对应的方程有3个实数根， 运用数形结合思想，得关于x的方程实数根为． ②由函数图象知： 关于的方程有4个实数根，即函数与直线有四个交点， 运用数形结合思想，得满足题意的的取值范围是． 六、解答题（本大题1小题，12分） 23. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $