精品解析：江苏南通市田家炳初级中学2026-2027学年上学期10月学情自测八年级数学试题

初二年级数学学科作业（十月） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，对称轴．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形，对称轴的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是轴对称图形，有一条对称轴，故不符合要求； B中是轴对称图形，有一条对称轴，故不符合要求； C中不是轴对称图形，故不符合要求； D中轴对称图形，有两条对称轴，，故符合要求； 故选：D． 2. 等腰三角形的一个底角是，则它的顶角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和；等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和为即可解答. 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角是， ∴顶角为. 故选：A. 3. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：由题意可知， 当时，不一定能使，则A符合题意； 当时，，则B不符合题意； 当时，，则C不符合题意； 当时，，则D不符合题意． 4. 如图，在中，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据全等三角形的判定推出，由此可得，再根据三角形的内角和定理求出，由此可得，进而即可求出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据全等三角形的性质得出是解此题的关键． 5. 如图，是的角平分线，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，垂足分别为点，由角平分线的性质定理得到，进一步根据三角形面积公式即可得到． 【详解】解：作，垂足分别为点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵，， ∴． 6. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的底角相等； B. 全等三角形的对应角相等； C. 面积相等的两个三角形一定是全等三角形； D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 【答案】B 【解析】 【分析】先分别写出各选项的逆命题，再结合初中几何知识判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：A、原命题为等腰三角形的底角相等，逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，根据等腰三角形判定定理，此逆命题是真命题，不符合题意； B、原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，对应角相等的两个三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，此逆命题是假命题，符合题意； C、原命题为面积相等的两个三角形一定是全等三角形，逆命题为“全等的两个三角形面积一定相等”，此逆命题是真命题，不符合题意； D、原命题为线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题为“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，根据线段垂直平分线的判定定理，此逆命题是真命题，不符合题意． 7. 如图，点，点，在第三象限作，使，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形构造全等三角形，将长度转化，进而表示出点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点M， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∵、， ∴、， ∴、， 故点的坐标为． 8. 如图，，点在线段上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全等的性质证明、，再结合等边对等角、三角形内角和定理即可求出，问题得解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，且，在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点B坐标与长度，按等腰三角形的顶角顶点分三类讨论，结合坐标轴交点求解，注意排除重复点． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由勾股定理得，即． 当时， 与坐标轴交点为：正半轴上的坐标为：，即， 负半轴上的坐标为：，即； 轴上：由等腰三角形三线合一的性质可知点C的坐标为； 共3个有效点． 当时，与坐标轴交点：轴上：，； 轴上：由等腰三角形三线合一的性质可知点C的坐标为：，已计入； 新增2个有效点． 当时，点在的垂直平分线上： 若在轴上，设，由得， 解得，即，已计入； 若在轴上，设，由得， 解得，即； 新增1个有效点． 综上，满足条件的点共有个． 10. 如图，在中，，，点是的中点，是的平分线，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交的延长线于，延长交的延长线于．证明，由全等三角形的性质得出，由平行线的性质得出，，，，证出，，设，则，，，得出，求出，则可得出答案． 【详解】解：过点作交的延长线于，延长交的延长线于． 点是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， 又平分， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ， 故选：D． 二．填空题（本大题共6小题，第11～15题每小题4分，第16题每空3分，共26分） 11. 如图，，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的内角和为求出，再根据全等的性质即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 12. 如图，是的中线，，的平分线交于点，于点．若的面积为7，，则的长为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】先得出，再根据角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的平分线，且，， ∴， ∵的面积为7， ∴， ∴， 又∵， ∴． 13. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据圆的半径相等可得，根据题目描述识别出是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到，从而将的周长转化为进行求解． 【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径作弧交于点， ∴． ∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接， ∴是线段的垂直平分线， ∵点在上， ∴， ∴的周长． 14. 如图，在四边形中，若，，，则四边形的面积________． 【答案】8 【解析】 【分析】延长至点，使，连接，证明 ， 得到，，，则，，再推出，即可得解． 【详解】解：延长至点，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，，． ， ． ， ． 在中，， ． 15. 如图，已知中，，为上一点，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，利用三角形外角性质建立方程求解． 【详解】解：如图，延长至点使，连接 ， 为上一点 ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 设，则 ， 在与中 ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ． 16. 如图，在中，，，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，设与分别交于点E、点F，且折叠后为等腰三角形．（1）______，（2）如果折叠后也为等腰三角形，那么=______． 【答案】 ①. ②. 或． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）设，则，进而可推出，再分三种情况：当时，则，当时，则，当时，则，分别建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵折叠后为等腰三角形，且， ∴此时只能满足， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， 由折叠的性质可得， 由（1）得， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴， 解得； 当时，则， ∵， ∴， 解得； 当时，则， ∴，此时方程无解，不符合题意； 综上所述，的度数为或． 三．解答题（本大题共9小题，共94分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，此时点关于直线的对称点的坐标为_____； （3）的面积为_____． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的作图和性质、网格中求三角形面积等知识，数形结合和准确作图是关键． （1）找到点A、B、C关于轴对称的点，顺次连接即可； （2）根据题意得到与点关于一条直线成轴对称，则此直线是y轴，即可得到答案； （3）利用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若与点关于一条直线成轴对称，则此直线是y轴， ∴关于直线的对称点的坐标为 故答案为： 【小问3详解】 的面积为 18. 如图，点E、F在上，，，，与相交于点O，求证． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握所学的知识． 证明，得出，根据等腰三角形的判定定理即可证明． 【详解】略 19. 如图，在等边中，M是的中点，，垂足为N，连接，求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形，M是的中点， ∴，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质及“三线合一”的性质得到，再利用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，利用等腰三角形“三线合一”的性质求的度数是解此题的关键． 20. 如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【小问1详解】 证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 21. 如图，是的平分线，垂直平分于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵ 是 的平分线，，， ∴ ． ∵ 垂直平分 ，连接、． ∴ ． 在 和 中， ∴ ． ∴ ． （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的性质得到 ，再由线段垂直平分线的性质得到 ，利用 证明两个直角三角形全等，证出 ． （2）先用证明 和 全等，得到 ，结合第一问 ，代入 ， 列方程，算出 ． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴． ∴． 由图可知，，． ∵， ∴． ∵，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 22. 如图，在中，点在边上，点在的延长线上，线段、交于点． （1）若，添加一个条件________，可直接由“”判定； （2）在满足的条件下，当点是的中点且时，求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2）证明：作交于点F， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）添加条件，可直接由“”证明全等； （2）作交于点F，证明，进而证明是等边三角形，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：添加条件，可直接由“”判定，理由如下： 在和中， ， ； 【小问2详解】 略 23. 如图，在等边中，点是线段上一点，作射线，点关于射线的对称点为，连接并延长交射线于点． （1）若，则_________，_________； （2）求的度数； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）； （2） （3），理由如下： 如图，在上截取，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又根据对称性得到， ∴， ∴， ∴， 故． 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，，求出，再利用等腰三角形性质及三角形内角和求解即可． （2） 连接，设，利用等边三角形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． （3） 如图，在上截取使得，判定是等边三角形，证明，根据对称性得到，代换证明即可． 【小问1详解】 解：连接， 在等边中，， ∵点关于射线的对称点为， ， ∵， ， ， ∴； 在中， ； 【小问2详解】 解：连接， 在等边中，， ∵点关于射线的对称点为， ， 设， ， ， ∴； 在中， ； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，在上截取，连接，在的外部作，且交的延长线于点． （1）证明：； （2）延长到，使，连接、．请在备用图里补全图形，猜想与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． （2）补全的图形如图所示，． 证明：如上图，过点B作于点G， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴，即． ∵于点G， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据“等边对等角”和三角形外角的定义，结合已知条件，可得到，根据“等角对等边”证明． （2）由推出，结合推出，证明，得到；注意到E、A、D、F四点共线，过B作，利用得G为中点，进而证G为中点，由垂直平分线性质得，故，等量代换即得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 在学习八上课本等腰三角形的“三线合一”时，赵老师在课堂上进行了探究式教学． （1）【问题原型】 定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． ①根据图形用几何语言写出该定理． 已知：如图，在中，，平分，点在上． 求证：________，________． ②在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为________； （2）【问题提出】 赵老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们发现该命题正确．请你写出该命题的证明过程． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点． 求证：； （3）【拓展延伸】 如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为、，若，则的最大值为________． 【答案】（1）①， ② （2）证明： 延长到点，使得，连接 为的中点 在和中， 为的角平分线 （等角对等边） 即 （3） 【解析】 【分析】①根据等腰三角形三线合一的性质完成填空即可， ②根据等腰三角形的性质通过等量代换，再代数运算即可 求通过倍长中线法构造三角形，之中证明全等再等量代换即可 需结合前两个问所用的方法来代入到第三个问进行求解 【小问1详解】 解：①略 ②于点 即 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 设，并记 在角平分线上，所以到距离相等， ∴① 与同高 又为的中点 ，而， ② 作点关于的对称点 平分， 落在上，且，于是， 由于共线， ③ 又由①知，，而与共用顶点，底边分别为， ，因此， 又是的中点 代入③：④ 由④： 代入②： ， 设点到直线的距离为，则， 于是，，且， 因此， 当时取等， 设 由勾股定理， 解得， 所以可以取到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学学科作业（十月） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的一个底角是，则它的顶角的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的角平分线，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的底角相等； B. 全等三角形的对应角相等； C. 面积相等的两个三角形一定是全等三角形； D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 7. 如图，点，点，在第三象限作，使，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点在线段上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，且，在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个． A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点是的中点，是的平分线，，则的长为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，第11～15题每小题4分，第16题每空3分，共26分） 11. 如图，，若，，则________． 12. 如图，是的中线，，的平分线交于点，于点．若的面积为7，，则的长为__________． 13. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为________． 14. 如图，在四边形中，若，，，则四边形的面积________． 15. 如图，已知中，，为上一点，且，，则________． 16. 如图，在中，，，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，设与分别交于点E、点F，且折叠后为等腰三角形．（1）______，（2）如果折叠后也为等腰三角形，那么=______． 三．解答题（本大题共9小题，共94分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，此时点关于直线的对称点的坐标为_____； （3）的面积为_____． 18. 如图，点E、F在上，，，，与相交于点O，求证． 19. 如图，在等边中，M是的中点，，垂足为N，连接，求证：． 20. 如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求证：． 21. 如图，是的平分线，垂直平分于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，点在边上，点在的延长线上，线段、交于点． （1）若，添加一个条件________，可直接由“”判定； （2）在满足的条件下，当点是的中点且时，求证：是等边三角形． 23. 如图，在等边中，点是线段上一点，作射线，点关于射线的对称点为，连接并延长交射线于点． （1）若，则_________，_________； （2）求的度数； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 24. 如图，在中，，在上截取，连接，在的外部作，且交的延长线于点． （1）证明：； （2）延长到，使，连接、．请在备用图里补全图形，猜想与的数量关系并加以证明． 25. 在学习八上课本等腰三角形的“三线合一”时，赵老师在课堂上进行了探究式教学． （1）【问题原型】 定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． ①根据图形用几何语言写出该定理． 已知：如图，在中，，平分，点在上． 求证：________，________． ②在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为________； （2）【问题提出】 赵老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们发现该命题正确．请你写出该命题的证明过程． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点． 求证：； （3）【拓展延伸】 如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为、，若，则的最大值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $