精品解析：江苏扬州市广陵区部分校2026-2027学年八年级上学期第一次限时作业数学卷

八年级数学 一、单选题（共8题，每题3分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意. 2. 若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分的角是顶角和底角时，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 若的角是底角，则底角为， 此时顶角为，符合三角形内角和定理； 若的角是顶角， ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴底角为， ∴该等腰三角形的底角为或． 3. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】解：由作图方法可得， ， ， 即． 4. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较每组中较短两边长度之和与最长边的大小，即可判断能否摆成三角形． 【详解】解：A.，不能摆成三角形； B.，不能摆成三角形； C.，不能摆成三角形； D.，能摆成三角形． 5. 如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的度数为，根据垂直平分线性质得，则，根据三角形外角性质得，再根据得，然后根据得，最后由三角形内角和定理得，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设的度数为， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，由三角形内角和定理得：， ，解得， 的度数为． 6. 已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得，点P是得中点，根据作图意义解答即可． 本题考查了中线与三角形的面积，尺规作图，熟练掌握性质和作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，得，点P是的中点， A. 作图是的垂直平分线，点P是的中点，符合题意； B. 作图是,点P不是的中点，不符合题意； C. 作图是是的平分线，点P不是的中点，不符合题意； D. 作图是，点P不是的中点，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，是的中线，点E，F分别为的中点，若的面积为3，则的面积为（　　） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据求出结论． 【详解】解：∵F为的中点，的面积为3， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴． 8. 如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． ①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； ②根据等角的余角相等得出，利用证明即可； ③利用角平分线的性质得出相等角，利用①②的结论得出相等角，然后利用等角对等边即可； ④延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确，符合题意； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故②正确，符合题意； ③∵平分， ∴， 由②得， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， 由②得， ∴， ∵， ∴， ∴； 故③正确，符合题意； ④如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为钝角， ∴在中，， ∴； 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为①②③④； 故选：D． 二、填空题（共10题，每题3分） 9. 若等腰三角形的周长为10，腰长为3，则它的底边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形两腰相等，求出底边，再验证即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等，周长为，腰长为， ∴底边长为 ， 则底边长为4. 10. 如图所示的两个三角形全等，则的度数是_________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】由三角形全等的性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 两个三角形全等，， ． 11. 如图，已知，添加一个条件使，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明． 【详解】解：∵，， 添加，∴； 添加，∴； 添加，∴； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分腰长为和腰长为两种情况讨论，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解： 分两种情况讨论： 情况1：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 情况2：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 因此这个等腰三角形的周长为或． 13. 如图，，分别是的高线和角平分线，若，，则______． 【答案】##16度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、高和三角形外角，解题的关键是熟练掌握角的变换． 由三角形内角和定理求得，则根据角平分线的定义易求，根据三角形外角定理，即可求得，在直角中，利用直角三角形的两个锐角互余的性质求得，即可作答． 【详解】解：在中，，， ． 是的角平分线， ， ， 是的高线， 为直角三角形， ， 故答案为：． 14. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是_______ ． 【答案】18 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：，边的垂直平分线分别交于点，， ，， △的周长为18， ， ． 15. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故答案为：． 16. 如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】延长交于点F，证明，得，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 17. 如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是__________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ①当，即D点在处时， 此时 ； ②当时，即D点在处时， 此时， ③当时，即D点在处时， 此时， 综上所述的度数是或或． 故答案为：或或． 18. 如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等． 【答案】2或或12 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想以及全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ，， 当，则， ，解得：． ③如图3，当Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ，， ， ∴， 当，则，即，解得：． ∴当秒或秒或12秒时，与全等． 三、解答题（共10题，共96分） 19. 如图，点E、F在上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】根据推出，进而即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，属于简单题，熟悉全等三角形的判定方法是解题关键． 20. 如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵ AC= DB ∴AB= CD，且AE= DF，BE= CF， ∴ △ABE≌△DCF (SSS) ∴∠A= ∠D， ∴AE∥DF． 【解析】 【分析】“SSS” 可证△ABE≌△DCF，可得∠A=∠D，即可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 21. 利用网格画图： （1）在上找一点，使点到和的距离相等； （2）在射线上找一点，使． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 如图，点Q即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，正确找出格点是解题的关键． （1）取格点，连接，与交点即为点，此时由等腰可得，那么平分，则由角平分线性质定理可得点到和的距离相等； （2）由可证明，那么． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，，是上一点，且，． 求证：． 证明：∵， ∴ ， ∵， 在和中，， ∴（判定依据，用字母表示： ）； ∴ ， ∴， ∴，（直角三角形的两个锐角 ） ∴ °， ∴， ∴． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 互余 ⑤. 【解析】 【分析】根据等角对等边可得，再结合已知论证两直角三角形全等，从而得到，最后通过等量代换得到结论． 【详解】证明：∵， ∴ ， ∵， 在和中，， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂直的定义、等腰三角形的性质，关键是斜边直角边定理的应用． 23. 如图，在中，，于，且，． （1）求证：是的平分线； （2）试判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，于， ， 在和中， ∴， ， ∵，， 平分． （2） 解：，理由如下： 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定等知识， （1）证明，得出，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，，再证，得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. （1）如图1，已知，请用圆规和直尺在上找一点D，使沿直线折叠，点C落在边上（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，已知，请用圆规和直尺在上找一点D，使沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边上的E处，且．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：（1）如图1，点D即为所求． （2）如图2，点D即为所求． 【解析】 【分析】对于（1），作的平分线，与的交点即为点D； 对于（2），根据垂线的作图方法，过点A作的垂线，再根据作一个角等于已知角的作图方法，作，此时，延长与交于点P，作的平分线，与的交点即为点D． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角、尺规作线段垂直平分线、翻折变换（折叠问题），熟练掌握尺规作图的基本作图方法以及翻折的性质是解答本题的关键． 25. 如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）若，求的长． 【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； （3）4 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 26. 如图，，与相交于点E，． （1）求证：垂直平分； （2）过点B作交的延长线于F，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果G、H分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴A在的垂直平分线上，， ∴， ∴C在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）①证明：设， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 由（1）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 则， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ∵， ∴A与关于成轴对称，过作于G交于H，连接， ∴， ∴，此时为最小， 由①知：，即， ∵即， ∴在中，，， ∴为最小值时，与的数量关系是． 【解析】 【分析】（1）因为，所以，得到点在的垂直平分线上；再由， 可得，C在的垂直平分上，即可得垂直平分． （2）①的突破口是和，利用平行线的性质可得角相等，结合（1）的结论中平分、，通过等边对等角推导角度关系，证明且，即可得是等边三角形．②的突破口是最短路径的轴对称思想，因为要找的最小值，所以作点关于的对称点，将折线和转化为点到直线的垂线段，利用“垂线段最短”确定、的位置，再结合等边三角形的角的性质推导和的数量关系． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 27. 如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当P在上时 ，当P在上时 ．（用含t的式子表示） （2）如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】（1）， （2）Q的运动速度为或 【解析】 【分析】（1）利用题目所给条件推导即可； （2）由可得，，设点Q的运动速度为，分①当点P位于，点Q位于上时和②当点Q位于，点P位于上时两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：动点P的速度为，运动时间为， 当点P在边上时，； 当点P在边上时，； 【小问2详解】 解：设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，， ， ，， ，， 解得：，， 此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，， ， ，， ，， 解得：，， 此时点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为或． 28. 在中，，点D在射线上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F． （1）如图1，，点D与点C重合，求证：； （2）如图2，，点D在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，连接，求证：； （3）如图3，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：由旋转知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D与点C重合， ∴， ∴； （2）证明：如图2，在的延长线上取一点H，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），证明： 如图3，在的延长线上取一点G，使，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）因为线段旋转得到，所以，结合得，得，由证明，得，由D与点C重合，可得． （2）在的延长线上取一点H，使，可得，证明与全等，得到的度数，结合计算的度数即可完成垂直的证明． （3）在的延长线上取一点G，使，证明，得到，可得，得到，最后结合线段和差关系推导与的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、单选题（共8题，每题3分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（      ） A. B. C. D. 2. 若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 6. 已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中线，点E，F分别为的中点，若的面积为3，则的面积为（　　） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 8. 如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共10题，每题3分） 9. 若等腰三角形的周长为10，腰长为3，则它的底边长为__________． 10. 如图所示的两个三角形全等，则的度数是_________． 11. 如图，已知，添加一个条件使，这个条件可以是______（写出一个即可）． 12. 已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为________． 13. 如图，，分别是的高线和角平分线，若，，则______． 14. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是_______ ． 15. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 16. 如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 17. 如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是__________________． 18. 如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等． 三、解答题（共10题，共96分） 19. 如图，点E、F在上，，，．求证：． 20. 如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，．求证：． 21. 利用网格画图： （1）在上找一点，使点到和的距离相等； （2）在射线上找一点，使． 22. 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，，是上一点，且，． 求证：． 证明：∵， ∴ ， ∵， 在和中，， ∴（判定依据，用字母表示： ）； ∴ ， ∴， ∴，（直角三角形的两个锐角 ） ∴ °， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，于，且，． （1）求证：是的平分线； （2）试判断、与之间的数量关系，并说明理由． 24. （1）如图1，已知，请用圆规和直尺在上找一点D，使沿直线折叠，点C落在边上（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，已知，请用圆规和直尺在上找一点D，使沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边上的E处，且．（不写作法，保留作图痕迹） 25. 如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）若，求的长． 26. 如图，，与相交于点E，． （1）求证：垂直平分； （2）过点B作交的延长线于F，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果G、H分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 27. 如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当P在上时 ，当P在上时 ．（用含t的式子表示） （2）如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 28. 在中，，点D在射线上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F． （1）如图1，，点D与点C重合，求证：； （2）如图2，，点D在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，连接，求证：； （3）如图3，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $