精品解析：广东惠州市泰雅实验高中2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026—2027 学年惠州市泰雅实验高中高一第一次月考试题 数学 本试卷共 4 页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项是自然数集，仅包含0和正整数，无法覆盖所有形如​的数（比如属于但不属于自然数集）； B选项是整数集，仅包含整数，同样无法覆盖分数（比如​属于但不属于整数集）； D选项是实数集，实数中还包含无理数（比如，无法表示为两个整数的比值，不属于）； 因此集合就是有理数集. 2. 集合的非空真子集个数为（　　） A. 5 B. 6 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 集合A中共有4个元素， 所以非空真子集个数为. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，即，解得或. 由此可知使成立，即，充分性成立； 时的值不一定是1，也可能是2，即，必要性不成立. 综上，选项A符合题意. 4. 已知，均为正实数，则的最小值为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 而，均为正实数，由基本不等式可得， 当且仅当时取等，即时取等， 此时可得的最小值为，故D正确. 5. 已知负数满足，则的最小值为（　　） A. 16 B. 9 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得，求得，即可得到答案. 【详解】由题意知，负数满足，可得 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 因为，所以，即的最小值为. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】． 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 7. 关于 x 的不等式的解集为 ，则不等式的解集为（　　） A. 或 B. . C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知一元二次不等式的解集确定二次项系数符号及系数a、b、c的关系，代入目标不等式化简求解. 【详解】由不等式的解集为， 得，且方程的两个实根为，， 根据韦达定理得，， 解得，， 将、代入不等式，得 ， 因为，得 ，即 ， 因式分解得，所以， 故不等式的解集为. 8. 对于任意集合 A，B，规定且.若 ，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义将运算转化为集合差集形式，结合两集合相等的性质推导集合A、B的关系，再逐一验证选项即可. 【详解】由且， 已知，任取元素，根据定义有且； 同时，根据定义有 且； 两个结论相互矛盾，说明不存在这样的元素 ，即 且， 由 可得中所有元素都属于，即； 由 可得中所有元素都属于，即； 因此，此时 一定成立，A正确； 不成立， 不成立， B，C错误； 若，则无共同元素，与矛盾，D错误. 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 10. 设，命题，命题，则（　　） A. 当时，均为真命题 B. 当时，均为假命题 C. 若为真命题，则为真命题 D. 若为假命题，则为假命题 【答案】ABD 【解析】 【详解】若真，则恒成立，即，解得， 所以假时，或； 若真，则恒成立，即，解得， 所以假时，或； 对于A，因为，所以真；因为，所以真，故A对； 对于B，因为，所以假；因为，所以假，故B对； 对于C，若真，，但或时，是假命题，故C错； 对于D，若假，则或，此时或也成立，即假，故D对． 11. 设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（    ） A. 集合是“闭集合” B. 正整数集是“闭集合” C. 若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D. 若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“闭集合”的定义可判断ABD选项；取，结合“闭集合”的定义可判断C选项. 【详解】对于A，对于，因，故集合不是“闭集合”，A错误； 对于B，对任意的、，必有成立，故正整数集是“闭集合”，B正确； 对于C，若取，因、、均在集合中，即为“闭集合”，C正确； 对于D，对任意的、，则、且、， 因为集合、都是“闭集合”，所以且，故， 因此一定是“闭集合”，D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因，则，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值是. 13. 已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】代数变形后利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，故， 因为，故， 而，故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故，故实数的最大值是. 14. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 【答案】 44 【解析】 【分析】利用三集合容斥原理的计数公式，代入已知的各集合元素个数、两两交集元素个数、三者交集元素个数，即可计算得到总人数. 【详解】设集合，，， 根据三集合容斥原理，测绘队总人数为三个集合的并集的元素个数， 对应公式为：   由题意得：，，，，，，， 代入公式计算：   因此这支测绘队共有44人. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1） 比较 与 的大小； （2）已知均为正实数，证明：. 【答案】 （1）； （2）由题意得：， 当，即时，等号成立. 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可得证； （2）利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）由题意得： ， 所以； （2）略. 16. 已知集合 ，且. （1）当时，证明：； （2）若，求. 【答案】（1）由，得， 当时，由，得，即， 由，得，即，所以，即， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，代入集合，利用不等式的性质即可得证； （2）由，得，又，得，代入不等式组，得，进而求得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，则， 又，所以， 代入，得， 所以，所以， 所以. 17. 某展馆拟制作一块直角三角形玻璃采光窗，其中.由于三边的承重要求和安装方式不同，边框每米的安装费用分别为 80 元、130 元、50 元，且边框安装总费用不超过 960元，忽略接头等固定费用. （1）证明：； （2）求采光窗面积的最大值及此时三边的长度. 【答案】（1）证明：在直角三角形中，, 所以， 要证，即证 则 所以 因为均为正数，所以. （2）采光窗面积的最大为6平方米， 此时三边的长度分别为米，米，米 【解析】 【分析】（1）本题首先左右两侧进行平方，再移项，配成完全平方公式，证明不等式. （2）利用第（1）问的结论，对费用表达式进行放缩，再用基本不等式求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 由题意可得总费用为化简得 由（1）可知， , 结合总费用不等式 可得即， 两边同时平方可得： 由基本不等式 当且仅当时，即时，等号成立， 所以结合，可得即, 此时同时满足（1）中不等式的等号条件， 所以时，有最大值12，总费用刚好为960元，等号可同时成立. 采光窗面积， 所以采光窗面积最大为6，此时 答：采光窗面积的最大为6平方米，此时三边的长度分别为米，米，米. 18. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）设，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（ⅰ）由几何关系，通过 ，得，进而可求得的周长； （ⅱ）设，在中，可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，长方形（）的周长为，， 所以 ， 设，则， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是. 【小问2详解】 （ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以， ， ，所以 ， 所以， 所以的周长为 ； （ⅱ）设，则 ， 由 可得 ，解得. 由（ⅰ）知， ， 在中，有， 解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时. 19. 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． （3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 【答案】（1），， （2）该命题为假命题，理由如下： 假设命题为真，则不妨设中元素的最大值为，中元素的最小值为，由题可知：，所以， 因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以， 因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以，，中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素， 设，，，，，，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么，，，，， 又因为，，，，， 所以，，，，， 则，中必有一个集合至少包含，，，，中的3个元素， 不妨设这3个元素为， 由假设可知：，，， 对任意，，存在，， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，即存在，存在，，使得． 【解析】 【分析】（1）根据题意，3 个元素拆成两非空子集，只能是 “1 个元素 + 2 个元素” 的组合，即可求解； （2）采用反证法，假设不同集合分别有最大值和最小值，则可推导出有理数不符合题意，即可证明； （3）利用反证法，假设任意集合内任意两数之差都不在这个集合内，以及元素与集合之间的关系即可证明； 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为，， （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年惠州市泰雅实验高中高一第一次月考试题 数学 本试卷共 4 页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合的非空真子集个数为（　　） A. 5 B. 6 C. 14 D. 15 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，均为正实数，则的最小值为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 9 5. 已知负数满足，则的最小值为（　　） A. 16 B. 9 C. 8 D. 4 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 关于 x 的不等式的解集为 ，则不等式的解集为（　　） A. 或 B. . C. 或 D. 8. 对于任意集合 A，B，规定且.若 ，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 10. 设，命题，命题，则（　　） A. 当时，均为真命题 B. 当时，均为假命题 C. 若为真命题，则为真命题 D. 若为假命题，则为假命题 11. 设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（    ） A. 集合是“闭集合” B. 正整数集是“闭集合” C. 若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D. 若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知，则的最小值是________． 13. 已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 14. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1） 比较 与 的大小； （2）已知均为正实数，证明：. 16. 已知集合 ，且. （1）当时，证明：； （2）若，求. 17. 某展馆拟制作一块直角三角形玻璃采光窗，其中.由于三边的承重要求和安装方式不同，边框每米的安装费用分别为 80 元、130 元、50 元，且边框安装总费用不超过 960元，忽略接头等固定费用. （1）证明：； （2）求采光窗面积的最大值及此时三边的长度. 18. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 19. 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． （3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $