精品解析：广东省珠海市第一中学2026～2027学年高一上学期第一阶段考试数学试卷

珠海市第一中学 2026 级高一上学期第一阶段考试 数学试题 命题：珠海市第一中学高一数学备课组 本试卷共 页， 小题，满分 分．考试用时 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的姓名和考生号，并将考号、座位号填写在答题卡上；并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效． 2．选择题每个小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回． 第一部分（选择题共 58 分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列元素与集合或集合与集合的关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A项：空集不含任何元素，故 错误； B项： 是无理数，不是有理数，故 错误； C项：空集是任何集合的子集，故 正确； D项： 与 是不同的有序数对，故两集合不相等，错误． 2. 设集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据包含关系直接得解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：A 3. 设，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的定义结合图象一一判定即可. 【详解】对于A，当时，在中无元素与之对应，不满足定义，A不能； 对于B，集合中的每个值，在集合中均有唯一值与之对应，符合函数的定义，B能； 对于C，当或时，对应元素，不满足定义，C不能； 对于D，当时，在中有两个元素与之对应，不满足定义，D不能. 故选：B 4. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由，即， 因为方程的两根为和，且二次项系数为正， 所以不等式的解集为或． 6. 已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按 时的递推关系 逐步化到 再代值． 【详解】因为 ，所以 ； 又 ，所以 ； 又 ，所以 ； 因为 ，所以 ． 故 ． 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 根据解析式有意义可知，即， 综上，. 所以函数的定义域为. 故选：A． 8. 已知实数 满足 ，，则 的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令 ，然后分离常数，结合基本不等式可得． 【详解】设 ，则 ． 因为 ，所以，， 当且仅当 （即 ）时取等号，故最大值为 ． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 函数 与 是同一个函数； B. ， 是真命题； C. 若命题 ：，，则 是：，； D. 如果集合满足 ⫋，则满足条件的集合 的个数为 个． 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐项判断：A 看定义域与对应关系，B 找一个满足条件的 ，C 看量词与结论是否都否定，D 用子集个数公式． 【详解】A项：，与 的定义域都是 ，对应关系相同，是同一个函数，A正确； B项：取 ，则 ，故该特称命题为真，B正确； C项： 应为“，”，选项中写成了 ，C错误； D项： 必含 ，其余元素从 中任取，共 个，去掉 这 个，得 个，D正确． 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 如果 ，，那么 ； B. 如果 ，那么 ； C. 若 ，，则 ； D. 如果 ，，，那么 ． 【答案】AD 【解析】 【分析】不等式性质题要注意“同向可加、同向同正可乘”的条件，可用作差法或举反例． 【详解】A项：由 得 ，由 得 ， 所以 ，即 ，A正确； B项：取 ，，则 ，B错误； C项：由 得 ，又 ， 所以 ，（如 ， 时 ），C错误； D项：由 ， 得 ， 所以 ，又 ，所以 ，D正确． 11. 高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则为高斯函数，又称为取整函数，．则下列正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 对于任意实数、，都有 C. 对于任意实数、，则是成立的充分不必要条件 D. 若方程有个非零实数解，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】逐项结合取整函数的定义判断ABC选项；D选项利用数形结合思想分段数出根的个数． 【详解】A项：因为，由得或，即，A正确； B项：取，则，而，不成立，B错误； C项：若，则、，所以， 所以，故，充分性成立； 取，，则，但，必要性不成立，C正确； D项：可知当，时，则， 可得的图象，如图所示： 函数有个零点，且原点为和直线必过的点， 函数的图象和直线有个交点（除去原点）， 由图可得或，解得或， 所以实数的取值范围是，D正确. 第二部分（非选择题共 92 分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】移项，通分后可化简为简单分式不等式求解，需要注意分母不为零. 【详解】移项得：，通分化简得到分式不等式：； 两边同时乘以分母得平方，结合分母不为零，得到不等式组： 解得.原不等式解集为. 故答案为： 13. 表示与中的较小者，设 ，则函数的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的解析式，然后在各段上求最大值，即可求解． 【详解】由得，解得或， 当或 时，，此时 ， 当时，，此时， 又时 ，单调递增，此时最大值为， 当时，单调递增， 所以当时，， 当时，单调递减，所以当时，， 综上所述，，故的最大值为. 14. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，求出方程的解，由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，确定满足不等式的整数解，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得. 因为，作出函数的图象如下图所示：    当时，， 当时，由， 即，解得或（舍）. 若，则有，且， 若使得满足不等式恰有一个整数解， 由图可知，则该整数解为，且不是不等式的解， 则，即； 若，则，无解； 若，则有， 由图可知，则满足不等式的整数解为， 且与都不是不等式的解，且， 所以，即. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）正实数，满足． ①求的最小值； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）依题意可得和是关于的方程的两个根，利用韦达定理计算可得； （2）①由（1）可知，利用基本不等式计算可得；②由已知可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，依题意，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得和是关于的方程的两个根， 由根与系数的关系可得，解得． 【小问2详解】 ①由（1）可得， 又，，所以当且仅当时取等号， 所以或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当，时取等号. ②因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 因为恒成立，所以恒成立， 则，即实数的取值范围为. 17. 2025 年被称为“智能体产业化元年”．基于 AI 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 AI 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型．在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 （满分 100 分）和有效训练时长（单位：天）存在一定的函数关系．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：，已知综合性能评分 ，且在 处函数图象是连续不断的． （1）求函数 的解析式； （2）若大模型的强化训练效率定义为 ，，则训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高． 【答案】（1）； （2） 天 【解析】 【分析】（1）由 求 ，由 处连续求 即可； （2）分段写出 ，分别在两段上求最大值再比较即可． 【小问1详解】 由 ，得 ，所以 ． 因为图象在 处连续，所以 ， 即 ，解得 ． 所以 ． 【小问2详解】 当 时，， 又 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，此时 ； 当 时，， 因为 时 ， 与 都随 增大而减小，所以 在 上递减， ． 综上，当 天时，“天穹”模型的标准化训练效率最高（最高效率为 ）． 18. 已知函数，． （1）当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． （2）当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 【答案】（1）（i）当时，． 任取，则 ． 因为，所以，，从而， 所以，即， 故在上单调递减． （ii）； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据单调性的定义及作差法证明即可. （ii）换元，将原函数化为二次函数求解即可. （2）待求问题等价于，结合一次函数的单调性求出，根据对勾函数及基本不等式对分情况求出，列不等式求解即可． 【小问1详解】 （1）（i）略 （ii）， 令，则，且． 所以可化为． 当时，单调递增，； 当时，单调递减，． 所以的值域为，即的值域为． 【小问2详解】 对任意，存在使，等价于． 因为，所以在上单调递减，所以． 当时，在上单调递增，此时； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时； 当时，在上单调递减，此时. 当时，，，，所以不成立， 故只能是的情况，所以，得， 又，所以. 故的最大值为． 19. 已知． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有3个实数根，且． （i）求实数的取值范围； （ii）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 的单调增区间为和，单调递减区间为； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）写出分段函数解析式，根据二次函数的单调性求解； （2）（i）将化为分段函数，对，以及进行分类讨论，结合二次函数的图象与轴的交点情况，即可判断的取值范围； （ii）根据（i）可判断是方程的两个不等实根，是方程的大根，分离参数，结合韦达定理以及存在性问题的判断将问题转化为函数的最值问题，利用不等式的性质即可求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 函数的对称轴为，在上单调递增； 函数的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 （i）由已知得， 当时，在上单调递增，只有1个零点，不符合题意； 当时，函数的对称轴为，其在上单调递增； 函数的对称轴为，其在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调增区间为和，单调递减区间为； 因为函数有3个不同的零点， 所以，解得； 当时，若，对方程判别式， 可知无解， 所以函数不可能有3个不同的零点，所以不符合题意. 综上，的取值范围是； （ii）由（i）知，是方程的两个不等实根， 是方程的一个根， 则，， 由，得， 令， 则， 因，则，，， 则，则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市第一中学 2026 级高一上学期第一阶段考试 数学试题 命题：珠海市第一中学高一数学备课组 本试卷共 页， 小题，满分 分．考试用时 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的姓名和考生号，并将考号、座位号填写在答题卡上；并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效． 2．选择题每个小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回． 第一部分（选择题共 58 分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列元素与集合或集合与集合的关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 4. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数 满足 ，，则 的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 函数 与 是同一个函数； B. ， 是真命题； C. 若命题 ：，，则 是：，； D. 如果集合满足 ⫋，则满足条件的集合 的个数为 个． 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 如果 ，，那么 ； B. 如果 ，那么 ； C. 若 ，，则 ； D. 如果 ，，，那么 ． 11. 高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则为高斯函数，又称为取整函数，．则下列正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 对于任意实数、，都有 C. 对于任意实数、，则是成立的充分不必要条件 D. 若方程有个非零实数解，则实数的取值范围是 第二部分（非选择题共 92 分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为_______． 13. 表示与中的较小者，设 ，则函数的最大值是______． 14. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）正实数，满足． ①求的最小值； ②若恒成立，求实数的取值范围． 17. 2025 年被称为“智能体产业化元年”．基于 AI 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 AI 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型．在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 （满分 100 分）和有效训练时长（单位：天）存在一定的函数关系．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：，已知综合性能评分 ，且在 处函数图象是连续不断的． （1）求函数 的解析式； （2）若大模型的强化训练效率定义为 ，，则训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高． 18. 已知函数，． （1）当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． （2）当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 19. 已知． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有3个实数根，且． （i）求实数的取值范围； （ii）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $