精品解析：安徽合肥市瑶海区2026-2027学年九年级上学期期中考试数学卷

九年级第一学期期中考试数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、，是一次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 3. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 4. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ）． A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象与性质，需根据的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，找出错误选项即可． 【详解】解：在中，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴B、C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A正确； ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 故选：D． 5. 已知线段a，b，c，d是比例线段，其中，，，则d等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例线段的定义得到，然后把，，，代入进行计算即可． 【详解】解：线段、、、是成比例线段， ， 而，，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段的定义：若四条线段，，，有，那么就说这四条线段成比例． 6. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，图象分布，图象与点的关系，熟练掌握性质和分布是解题的关键． 利用反比例函数的性质，图象的分布等解答即可．根据反比例函数的性质，，图象经过点，位于第一、三象限，在每个象限内随增大而减小；当时，，故D错误. 【详解】解：A、∵，， ∴当时，，图象经过点， ∴A正确； B、， ∴图象位于第一、第三象限， ∴B正确； C、∴在每个象限内，随增大而减小， 当时（第三象限），随增大而减小， ∴C正确； D、当时，例如，，故， ∴D错误． 故选：D． 7. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质； 连接、，设交y轴于E，由于轴，根据反比例函数的系数k的几何意义求出和，则平行四边形的面积． 【详解】解：连接、，设交y轴于E，如图， ∵平行四边形，，在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴平行四边形的面积． 故选：B． 9. 大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　）． A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，二次根式的运算，掌握黄金分割比是解题的关键． 根据黄金分割比，可得，代入计算即可． 【详解】解： P为的黄金分割点（）， ， ， （）． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图象上一动点，连接，．则的最小值为（ ） A. 30 B. 24 C. 42 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线解析式设出的坐标，再表示与，求和后整理为二次函数，用配方法求最小值． 【详解】解： 点是直线上的动点， 设点的横坐标为， 将代入，可得， ． ，， ，． ，二次函数图象开口向上， 当时，有最小值，最小值为24． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线与的形状相同，开口方向相反，可得a的值，由顶点坐标可得c的值． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反， ∴， ∵顶点坐标是， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，掌握解析式与系数的关系是解决本题的关键． 12. 如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标是，可得：，根据，可得：，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标是， 则，， ， ， ， , ， ． 14. 若抛物线与轴只有一个交点，且过点，． （1）该抛物线的对称轴是直线______（用含的代数式表示）； （2）的值为______． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】先利用两点A、B求出对称轴；抛物线与x轴只有一个交点，说明顶点在x轴上，顶点纵坐标为0，再用顶点式代入求值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴是直线． 抛物线过点、， 对称轴是直线． 又抛物线与x轴只有一个交点， 顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 即n． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知线段，满足，且． （1）求线段，的长． （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，然后根据算术平方根的定义求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∵c是线段，， ∴． 16. 已知抛物线与x轴的一个交点为点，与y轴的交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）求y的最值． 【答案】（1） （2）最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式及性质． （1）根据与坐标轴的两个交点，利用待定系数法进行解答即可； （2）将（1）求得的解析式，化成顶点式即可完成解答． 【小问1详解】 解：与x轴的一个交点为点，与y轴的交点为点 ， 解得， ； 【小问2详解】 解：，， 当时，y取最小值为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． （1）________； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【小问1详解】 解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 18. 生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． （1）求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； （2）求该大棚在时内，温度不低于的时长， 【答案】（1）线段的函数解析式为；段的函数解析式为 （2）12小时 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出点C的横坐标即可得到答案； （2）把分别代入到两个函数解析式中求出对应的x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，得， 解得， 线段的函数解析式为． 设双曲线段的函数解析式为， 将代入，得， ∴双曲线段的函数解析式为， 在中，当时，， ， 段的函数解析式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令， 解得， 段温度为的时刻为3时， （小时）， 答：温度不低于的时长为12小时． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线． （1）求证：不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）若该抛物线与轴两交点为和，且，求的值． 【答案】（1） 证明：令， ， ， ， 有两个不相等的实数根， 不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）4 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系： （1）证明一元二次方程中即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出和，根据列等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：该抛物线与轴两交点为和， 是一元二次方程的两个根， ，， ， ， 解得 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． （1）______，______； （2）满足不等式的x的取值范围是______； （3）为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用点的坐标求出的长度，从而确定点的坐标，使用待定系数法求解即可； （2）求出直线与轴的交点坐标，观察图象得出答案； （3）根据题意求出的面积，再将的面积表示出来，利用不等式求解． 【小问1详解】 解：由条件可知， ， ， ， 把及代入， 则，解得， ∴． 【小问2详解】 解：令，代入中， 则， 解得， 直线与轴交于点， 根据图象可知，当时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：由条件可得， ， ， ， 的面积不小于的面积， ， 或． 六、（本题满分12分） 21. 项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点O为无人机的摄像头，A，B是喷药口，A，B，O，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷药口点A和点B到点O的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）依题意，得点A的坐标为：______；求出点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口M和N，M在A左侧，N在B右侧，，当无人机上升到距地面的高度为时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【答案】（1），点所在抛物线的函数表达式为；（2）无人机应该下降的高度为；（3）长 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．然后根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．求出所在抛物线表达式为，求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以，得到喷洒农药覆盖区域宽度． 【详解】解：（1）∵，点与点到点的距离相等， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． ∵， ∴点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． ∴点所在抛物线的函数表达式为． （2）∵以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， ∴喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ∵，由题可知点和点关于轴对称， ∴可以设点的坐标为． 将点代入， 得． ∴点的坐标为． ∴此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3）∵，点坐标为， ∴点坐标为． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， 设所在抛物线表达式为， ∵无人机高度为， ∴代入到中，得． 解得，． ∴， ∵关于y轴对称， ∴， ∴长． 七、（本题满分12分） 22. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于点． （1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； （3）【拓展延伸】如图4，是的外角的平分线，求证：． 【答案】（1）证明：， ，，， 平分， ， ， ， ． （2） （3）证明：过点作，交于点，如图， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，即可证明． （2）根据（1）得到，则可推出，由平行线分线段成比例定理得到，据此可得答案； （3）过点作，交于点，由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，由平行线分线段成比例定理得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分，，， ． ， ． ； 是的中点， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线的顶点，经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求出二次函数最大值与最小值的差； （3）如图过点作直线交抛物线于点、，轴于，轴于，求的值． 【答案】（1） （2）16 （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标将二次函数表达式设出来，再将点代入求解即可； （2）利用二次函数的增减性求解即可； （3）将一次函数表达式设出来，联立一次函数与二次函数，求出点横坐标之间的关系，从而确定点横坐标之间的关系，再利用两点之间的距离求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 即． 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ，且， 抛物线开口向上，离对称轴越远值越大， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值是0， 最大值与最小值的差是16． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将点代入解得， ∴直线的解析式为， 将代入，整理得：， ，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一学期期中考试数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ）． A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 5. 已知线段a，b，c，d是比例线段，其中，，，则d等于（　　） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 7. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 8. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2.5 9. 大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　）． A. B. C. 3 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图象上一动点，连接，．则的最小值为（ ） A. 30 B. 24 C. 42 D. 63 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____． 12. 如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 14. 若抛物线与轴只有一个交点，且过点，． （1）该抛物线的对称轴是直线______（用含的代数式表示）； （2）的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知线段，满足，且． （1）求线段，的长． （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 16. 已知抛物线与x轴的一个交点为点，与y轴的交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）求y的最值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． （1）________； （2）求的长． 18. 生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． （1）求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； （2）求该大棚在时内，温度不低于的时长， 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线． （1）求证：不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）若该抛物线与轴两交点为和，且，求的值． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． （1）______，______； （2）满足不等式的x的取值范围是______； （3）为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 六、（本题满分12分） 21. 项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点O为无人机的摄像头，A，B是喷药口，A，B，O，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷药口点A和点B到点O的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）依题意，得点A的坐标为：______；求出点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口M和N，M在A左侧，N在B右侧，，当无人机上升到距地面的高度为时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 七、（本题满分12分） 22. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于点． （1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； （3）【拓展延伸】如图4，是的外角的平分线，求证：． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线的顶点，经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求出二次函数最大值与最小值的差； （3）如图过点作直线交抛物线于点、，轴于，轴于，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $