精品解析：陕西咸阳市乾县铁佛初级中学2026-2027学年度第一学期阶段性学习效果评估九年级数学

2026-2027学年度第一学期阶段性学习效果评估 九年级数学（一） 注意事项：本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．请将第一部分的答案填写在题后相应的答题栏内． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别平行 C. 对角线相等 D. 两组对角分别相等 3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所夹锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 如图，、是菱形的对角线，．若，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ） A. ①表示有一个角是直角 B. ②表示有一组邻边相等 C. ③表示四个角都相等 D. ④表示对角线相等 8. 如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 10. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为_______． 11. 如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为________． 12. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围________． 13. 已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________． 14. 如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，连接，已知，的面积为，则的长为_________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 16. 用公式法解方程：． 17. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 18. 如图，小明想用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，首先他将对折，得到折痕，点在边上，请你用尺规作图法作出菱形，使得点，分别落在边，上．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知关于的一元二次方程，有一个根为2，求的值及方程的另一个根． 20. 已知关于的一元二次方程，试说明：不论为何值，此方程总有实数根． 21. 如图，在正方形中，对角线和相交点于O，点E、F、G、H分别在、、、上，且．求证：四边形是正方形． 22. 如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 23. 阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得． 或， ： 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程：． 24. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F在对角线上，且，求证：四边形是矩形． 25. 如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的度数． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，，连接、，是的中线． ①求的长； ②若，求的最大值； 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某植物园试验田的示意图，是一条小路，现要在小路上修建一口水井，沿铺设地下水管，再从点向铺设地下水管（点在上），要求，然后从点向点铺设一条运输通道．已知，，铺设运输通道的费用为200元，求铺设运输通道所需的最少费用．（小路、地下水管、运输通道的宽度和水井的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段性学习效果评估 九年级数学（一） 注意事项：本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．请将第一部分的答案填写在题后相应的答题栏内． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别平行 C. 对角线相等 D. 两组对角分别相等 【答案】C 【解析】 【分析】对比两种图形的性质，找出矩形具有而菱形不一定具有的选项即可． 【详解】∵矩形的性质：两组对边分别平行，两组对角分别相等，对角线互相平分且相等；菱形的性质：两组对边分别平行，两组对角分别相等，对角线互相垂直平分，对角线不一定相等； ∴逐个对比选项：A 对角线互相平分，矩形和菱形都具有，不符合要求； B 两组对边分别平行，矩形和菱形都具有，不符合要求； C 对角线相等，矩形一定具有，菱形不一定具有，符合要求； D 两组对角分别相等，矩形和菱形都具有，不符合要求； 故选C． 3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所夹锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出相对应的图形，根据矩形对角线相等且互相平分，利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：设矩形为，对角线与交于点，如图， 已知对角线与边的夹角为，即， ∵四边形是矩形，矩形对角线相等且互相平分， ∴， ∴， ∵是的外角，且是两条对角线所夹的角， ∴， 即两条对角线所夹锐角的度数为． 4. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题通过计算一元二次方程的判别式的值，根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， 根据判别式的意义，当时，方程有两个相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根． 5. 如图，、是菱形的对角线，．若，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，结合可求出，进而判定为等边三角形，即可得出的长 ． 【详解】解：四边形是菱形 ， ， 是等边三角形 ． 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 7. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ） A. ①表示有一个角是直角 B. ②表示有一组邻边相等 C. ③表示四个角都相等 D. ④表示对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定方法判断即可． 【详解】∵有一个角是平行四边形是矩形， ∴①表示有一个角是直角是正确的； ∴A的描述正确，不符合题意； ∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴②表示有一组邻边相等是正确的； ∴B的描述正确，不符合题意； ∵四个角都相等的四边形是矩形， ∴③表示四个角都相等是错误的； ∴C的描述错误，符合题意； ∵对角线相等的菱形是正方形， ∴④表示对角线相等是正确的； ∴D的描述正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了特殊四边形的判定，熟练掌握特殊四边形的各种判定方法是解题的关键． 8. 如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 在中，， ， ，解得（负值已舍去）， ， 则的最小值为． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， ∴． 10. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为_______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 11. 如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为________． 【答案】65 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握菱形的对角线平分一组对角是解题的关键． 由菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 12. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 13. 已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________． 【答案】或1##1或 【解析】 【分析】本题需分类讨论，分已知两边均为直角边和较长边为斜边两种情况，利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当和均为直角边时， 由勾股定理得，斜边长为， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为； 情况2：当为斜边，为直角边时， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为． 综上所述，此直角三角形斜边上的中线长是或． 14. 如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，连接，已知，的面积为，则的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，即可解答． 【详解】解：由题意可得，为矩形的对角线的垂直平分线， ∴，， ∴． ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 【答案】， 【解析】 【分析】移项，再提取公因式即可解出方程． 【详解】解： 或 ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键． 16. 用公式法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程。先确定a，b，c的值，再求的值，判断出，然后将a，b，c的值代入求根公式即可． 【详解】解：，，， ， 此方程有两个不相等的实数根， ， ，． 17. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及平方差公式，熟练掌握一元二次方程的解及平方差公式是解题的关键；由题意易得，然后根据整体代入进行求解即可． 【详解】解：原式 ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴原式． 18. 如图，小明想用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，首先他将对折，得到折痕，点在边上，请你用尺规作图法作出菱形，使得点，分别落在边，上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【解析】 【详解】解：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接、， 理由：∵垂直平分， ∴，，， ∵将对折，得到折痕，点在边上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 19. 已知关于的一元二次方程，有一个根为2，求的值及方程的另一个根． 【答案】；另一根是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，先把代入，解得，再运用代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程，有一个根为2， ∴把代入， 得， 解得， 则， ∴， 即另一根是． 20. 已知关于的一元二次方程，试说明：不论为何值，此方程总有实数根． 【答案】 解：由题意，得． 不论为何值，此方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，进而结论得证． 【详解】略 21. 如图，在正方形中，对角线和相交点于O，点E、F、G、H分别在、、、上，且．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：正方形， ，， ， ， ∴四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 【详解】略 22. 如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）54 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∴菱形的面积为． 23. 阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得． 或， ： 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程：． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查换元法解方程，设，把原方程化为一元二次方程，解方程可得答案．通过阅读掌握换元法的一般步骤是解题的关键，注意一元二次方程的解法的灵活运用． 【详解】解：设， 则原方程可化为：， ∴， 解得：，， 当时，得：， ∴， 解得：， 当时，得：， ∴， 解得：或， ∴原方程的解为，，． 24. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F在对角线上，且，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：在平行四边形中， ∵对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，由，得到，从而得到四边形是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 25. 如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对边平行且相等，结合，证得与平行且相等，得到四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形性质得到，再由菱形对角线互相垂直，在直角三角形中算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得四边形为平行四边形， ，， ， 四边形为菱形， ， ， ． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，，连接、，是的中线． ①求的长； ②若，求的最大值； 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某植物园试验田的示意图，是一条小路，现要在小路上修建一口水井，沿铺设地下水管，再从点向铺设地下水管（点在上），要求，然后从点向点铺设一条运输通道．已知，，铺设运输通道的费用为200元，求铺设运输通道所需的最少费用．（小路、地下水管、运输通道的宽度和水井的大小均忽略不计） 【答案】（1）①2，②4； （2）8000元 【解析】 【分析】（1）①由勾股定理可得，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解；②连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再结合得到当、、三点共线时，取得最大值，即可求解； （2）根据题意得出是直角三角形，取的中点，连接、，则，由勾股定理可得，再根据得到当、、三点共线时，取得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：①，，， ． 是的中线， ； ②连接，如图1． ， ， 是直角三角形． 是的中线， 点是的中点， 是的中线， ． ， 当、、三点共线时，取得最大值，； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，，， ，， ． ， ， ，即是直角三角形． 取的中点，连接、，如图2， 是的中线， ． 在中，，， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值，， 铺设运输通道的费用为200元， 铺设运输通道所需的最少费用为（元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $