精品解析：陕西省咸阳市乾县阳峪初中2024-2025学年上学期九年级第一次阶段性作业数学试题

2024~2025学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A. 8 B. 15 C. 10 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．根据菱形的性质求得，判定为等边三角形即可求解． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 故选：D． 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 4. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，连接交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和等边三角形综合．熟练掌握正方形性质，等边三角形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解题的关键． 根据正方形性质得到，根据等边三角形性质得到，得到，根据等腰三角形性质得到，根据三角形外角性质即得． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围，注意“有两个实数根”包括“有两个相等的实数根”（即）的情况；另外还要注意当参数在二次项系数的位置上时，还要考虑二次项系数不为0．根据一元二次方程有两个实数根可知判别式，解出a的范围，再综合一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】解： 关于x的一元二次方程有两个实数根 且， 且 故选：C． 6. 将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的倍，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形和菱形的性质，根据矩形的面积公式以及菱形的面积公式解答即可，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵矩形的面积，菱形的面积， ∴， ∴， 故选：． 7. 某中学教师党小组开展民主生活会，为了更好地改进工作，要求小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，该党小组一共收到72条建议，则这组的人数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该小组共有人，则每人需提条建议，根据该党小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程，再解方程即可． 【详解】解：设该小组共有人，则每人需提条建议， 根据题意得：， （不符合题意），． 答：该小组共有9人． 故选：B． 8. 如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是的中点，连接，若，则矩形的面积为（　　） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理逆定理及直角三角形斜边上的中线性质，根据题意得，是的中位线，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，，求得的面积即可得到矩形的面积． 【详解】解：在矩形中，， ∵F，G分别是，的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴矩形的面积， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 将方程化成一元二次方程的一般形式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， 去括号、移项，得． 故答案为：． 10. 关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用直接开平方法解方程得到方程的两根互为相反数，则，则可计算出即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 11. 如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴和共线， ∴是等腰直角三角形， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，三角函数值的简单应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12. 若矩形的面积为12，长和宽的比为，则矩形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及求平方根，熟练求解平方根是解题的关键，设这个矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个矩形的长为，宽为，由题意可得： ，即， 解得：， ∵， ∴， ∴该矩形的长为：，宽为：． ∴该矩形的周长为 故答案为：． 13. 如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，先根据菱形的性质得到线段的长度以及三角形的面积，然后即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为20，面积为24， ∴，， ∵分别作P点到直线、的垂线段、， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共18小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法分解因式，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 15. 已知一个菱形的对角线的长分别是和，求这个菱形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形性质求面积，涉及平方差公式及二次根式性质等知识，根据菱形面积为对角线长度乘积的一半，代值求解即可得到答案，熟记菱形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：一个菱形的对角线的长分别是和， 这个菱形的面积为． 16. 某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2022年该学校用于购买图书的费用为10000元，2024年用于购买图书的费用增加到14400元，求该校这两年购买图书的费用的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程即可． 【详解】解：设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为， 则， 解得：，（舍去）， 答：该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为． 17. 如图，已知矩形中，和的平分线交于边上一点．点为矩形外一点，四边形为平行四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，平分与， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是正方形． 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质以及角平分线的定义证明为等腰三角形，易得，根据三角形内角和定理可得，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的判定等知识，理解并掌握正方形的判定方法是解题关键． 18. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 【答案】一个人每节课手把手教会了6名同学 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：一个人每节课手把手教会了6名同学． 19. 如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？ 【答案】框边宽为2厘米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设框边宽为厘米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设框边宽为厘米． ，（不合题意，舍去） 答：框边宽为2厘米． 20. 如图，在中，点D，点E分别是边的中点，点F在线段上，，交于点G．证明：四边形是菱形； 【答案】 证明：∵点D，点E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【解析】 【分析】证明是的中位线，则，又由，得到四边形是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线可得，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、菱形的判定等知识，熟练掌握三角形中位线定理、直角三角形的性质是解题的关键． 21. 如图，要利用一面墙（墙长为）建羊圈（矩形，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设，则，再根据矩形面积计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴羊圈的边长的长度为． 22. 如图，在中，对角线相交于点O，，点E，F分别是的中点，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】 ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∵中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形和矩形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线性质，矩形的判定，是解决问题的关键． 根据三角形中位线性质得到，根据平行四边形性质得到，得到四边形是平行四边形，根据，得到，得到是矩形． 【详解】略． 23. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 24. 在中，M是斜边的中点，点D在直线外，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，E是边上一点，且，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵M是斜边的中点， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等边对等角． （1）利用“等边对等角”证明，，再利用三角形内角和定理计算即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，推出，接着证明四边形是平行四边形，据此即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求t的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： 当时， ， 整理得， ∵△， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系列方程求出t的值，但方程无解，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴，， ∴， 整理得，解得， 答：当时的面积为面积的； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 26. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2） 解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3） 解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A. 8 B. 15 C. 10 D. 6 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，连接交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的倍，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某中学教师党小组开展民主生活会，为了更好地改进工作，要求小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，该党小组一共收到72条建议，则这组的人数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是的中点，连接，若，则矩形的面积为（　　） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 将方程化成一元二次方程的一般形式为 _____． 10. 关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则________． 11. 如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为______． 12. 若矩形的面积为12，长和宽的比为，则矩形的周长为______． 13. 如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________． 三、解答题（共18小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 已知一个菱形的对角线的长分别是和，求这个菱形的面积． 16. 某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2022年该学校用于购买图书的费用为10000元，2024年用于购买图书的费用增加到14400元，求该校这两年购买图书的费用的年平均增长率． 17. 如图，已知矩形中，和的平分线交于边上一点．点为矩形外一点，四边形为平行四边形．求证：四边形是正方形． 18. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 19. 如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？ 20. 如图，在中，点D，点E分别是边的中点，点F在线段上，，交于点G．证明：四边形是菱形； 21. 如图，要利用一面墙（墙长为）建羊圈（矩形，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长的长度． 22. 如图，在中，对角线相交于点O，，点E，F分别是的中点，连接．求证：四边形是矩形． 23. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 24. 在中，M是斜边的中点，点D在直线外，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，E是边上一点，且，，求证：四边形是菱形． 25. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求t的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 26. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $