湖北2026-2027学年人教版数学九年级上册第一次月考练习卷（第25-26章）

2026-2027湖北人教版九年级上册第一次月考练习卷（第25-26章） 一、单选题（30分） 1．下列是一元二次方程的是（　　） A．x2+x＝2y B．2x2＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+x+1 2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0，配方后所得的方程是（　　） A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1 3．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a+b+2026的值是（　　） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024． 4．二次函数y＝﹣（x+1）2﹣4的图象的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（﹣1，﹣4） D．（1，4） 5．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1 C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1 6．已知A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）三点均在抛物线y＝﹣x2﹣2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．无法判断 7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．abc＜0 D．b＝2a 8．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92#汽油价格一月底是7.66元/升，三月底92#汽油价格调整为8.58元/升．假设我市92#汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　） A．7.66（1+x）2＝8.58 B．8.58（1+x）2＝7.66 C．7.66（1+x2）＝8.58 D．7.66（1+x）+7.66（1+x）2＝8.58 9．对一元二次方程x2+3x﹣5＝0的一个正数解的取值范围的探索如下表． x ﹣1 0 1 2 3 4 x2+3x﹣5 ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 从表中可以看出方程x2+3x﹣5＝0的一个正数解x的大致范围是（　　） A．2＜x＜3 B．1＜x＜2 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0 10．如图，已知二次函数y＝2（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣2和14 B．﹣4和14 C．﹣4和﹣2 D．﹣1和2 一、单选题（30分） 11．已知x＝﹣2是方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则方程的另一个根是_____ ． 12．已知关于x的方程x2＝3﹣k没有实数根，那么k的取值范围是________ ． 13．已知函数的顶点在y轴上，那么b＝_____ ． 14．某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为______________ ． 15．如图1，在钝角△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一动点（不与C点重合），以点D为直角顶点，以BD为一条直角边作等腰直角△BDE，连接CE．设CD＝x，S△CDE＝y，若y关于x的函数图象如图2所示，则： （1）AC＝_____ ； （2）△CDE面积的最大值为___________________ ． 三.解答题 16．（8分）解方程： （1）x2+2x﹣5＝0； （2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0． 17．（6分）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足函数表达式h＝﹣t2+26t+1． （1）如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ （2）火箭上升过程中，是否存在经过5s恰好上升75m的情形？请说明理由． 18．（7分）思源初级中学为了美化校园，在一个长为35m，宽为20m的长方形场地中修建小道（图中阴影部分），余下部分种植花草，其中AB＝CD＝EF＝GH（每段小道的边缘平行），要使种植花草的面积为558m2，那么小道的宽应为多少？ 19．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：________ ； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：____________ ； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 ________ ； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：________ ． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＝0，求k的值． 21．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2），点B（3，﹣1）．若直线y＝kx+m经过A、B两点， （1）求该抛物线和直线的解析式； （2）直接写出关于x的不等式kx+m＜x2+bx+c的解集． 22．（8分）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用长为30m的篱笆围成．设菜园垂直于墙的一边AB长为xm． （1）当AB的长为多少时，菜园的面积为100m2？ （2）当AB的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 23．（10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于进价的135%）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价m定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价m定为多少元时，每个月的利润恰为2160元？根据以上结论，请你直接写出售价m在什么范围时，每个月的利润不低于2160元？ 24．（13分）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（0，4），与x轴的交点是点B，C（点B在点C的左边），对称轴为直线．点P在抛物线上，横坐标为m． （1）则抛物线的解析式为_______________ ；B点坐标（___________ ）；C点坐标（__________ ） （2）若点P在AC上方，当m为何值时，△PAC的面积最大； （3）若∠ABP＝45°，则m＝___________________ ； （4）在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点A和点P的纵距记为n． ①求n关于m的表达式； ②点Q（m，n）是平面内任意一点，是否存在以A，O，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 2026-2027学年湖北省武汉市江汉区四校联考九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（30分） 1．下列是一元二次方程的是（　　） A．x2+x＝2y B．2x2＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+x+1 【解答】解：选项A中含x，y两个未知数，不符合题意． 选项B中只含x一个未知数，x的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C中未说明a≠0，当a＝0时不是二次方程，不符合题意． 选项D中不是等式，不属于方程，不符合题意． 故选：B． 2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0，配方后所得的方程是（　　） A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1 【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0， 整理得：x2﹣4x＝1， 配方得：x2﹣4x+4＝1+4， 即（x﹣2）2＝5， 故选：B． 3．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a+b+2026的值是（　　） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024． 【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系可知：a+b＝﹣1， ∴a+b+2026＝﹣1+2026＝2025． 故选：C． 4．二次函数y＝﹣（x+1）2﹣4的图象的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（﹣1，﹣4） D．（1，4） 【解答】解：二次函数y＝﹣（x+1）2﹣4的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣4）． 故选：C． 5．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1 C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1 【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1）， 所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1． 故选：C． 6．已知A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）三点均在抛物线y＝﹣x2﹣2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．无法判断 【解答】解：∵抛物线为y＝﹣x2﹣2x+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x1． ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵B（﹣2，y2）与对称轴的距离最近，C（2，y3）与对称轴的距离最远， ∴y2＞y1＞y3． 故选：B． 7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．abc＜0 D．b＝2a 【解答】解：A．∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故选项A错误； B．把x＝1代入y＝ax2+bx+c，得y＝a×12+b×1+c＝a+b+c， 由图象可知，x＝1对应点在x轴的下方，即y＜0， ∴a+b+c＜0，故选项B错误； C．∵二次函数图象开口向下， ∴a＜0． ∵二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a＜0． ∵抛物线与y轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故选项C错误； D．∵二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a，故选项D正确． 故选：D． 8．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92#汽油价格一月底是7.66元/升，三月底92#汽油价格调整为8.58元/升．假设我市92#汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　） A．7.66（1+x）2＝8.58 B．8.58（1+x）2＝7.66 C．7.66（1+x2）＝8.58 D．7.66（1+x）+7.66（1+x）2＝8.58 【解答】解：由题意可得， 7.66（1+x）2＝8.58， 故选：A． 9．对一元二次方程x2+3x﹣5＝0的一个正数解的取值范围的探索如下表． x ﹣1 0 1 2 3 4 x2+3x﹣5 ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 从表中可以看出方程x2+3x﹣5＝0的一个正数解x的大致范围是（　　） A．2＜x＜3 B．1＜x＜2 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0 【解答】解：通过表格中代数式x2+3x﹣5的符号变化可知： 当x＝1时，x2+3x﹣5＝﹣1＜0， 当x＝2时，x2+3x﹣5＝5＞0， 故方程的一个正数解x的大致范围是1＜x＜2． 故选：B． 10．如图，已知二次函数y＝2（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣2和14 B．﹣4和14 C．﹣4和﹣2 D．﹣1和2 【解答】解：∵二次函数对称轴为：直线x＝﹣1， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝2×（2+1）2﹣4＝14， x＝﹣1时，y有最小值，y＝2×（﹣1+1）2﹣4＝﹣4， 故选：B． 一、单选题（30分） 11．已知x＝﹣2是方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则方程的另一个根是　3　 ． 【解答】解：设方程另一个根为x1，根据题意得﹣2•x1＝﹣6， 所以x1＝3． 故答案为3． 12．已知关于x的方程x2＝3﹣k没有实数根，那么k的取值范围是k＞3　 ． 【解答】解：原方程可化为x2+k﹣3＝0， 这个方程根的判别式Δ＝02﹣4×1×（k﹣3）＜0， 解得k＞3． 故答案为：k＞3． 13．已知函数的顶点在y轴上，那么b＝　0　 ． 【解答】解：∵函数yx2﹣bx+4的图象的顶点在y轴上， ∴抛物线的对称轴是直线x＝0，即0， 解得：b＝0， 故答案为：0． 14．某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为x（x﹣1）＝56　 ． 【解答】解：∵任意一个站点都可以发往其余（x﹣1）个站点， ∴x（x﹣1）＝56． 故答案为：x（x﹣1）＝56． 15．如图1，在钝角△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一动点（不与C点重合），以点D为直角顶点，以BD为一条直角边作等腰直角△BDE，连接CE．设CD＝x，S△CDE＝y，若y关于x的函数图象如图2所示，则： （1）AC＝　5　 ； （2）△CDE面积的最大值为　　 ． 【解答】解：（1）由图2可知，自变量x最大值为5，即D运动至A点时，CD＝AC， ∴AC＝5； 故答案为：5； （2）过点E作EH⊥CA，交CA的延长线于点H，过点B作BF⊥CA，交CA的延长线于点F， ∵∠BDE＝90°，△BDE是等腰直角三角形， ∴BD＝DE， ∵∠BDF+∠DBF＝90°，∠BDF+∠EDH＝90°， ∴∠EDH＝∠DBF． 在△DEH和△BDF中， ， ∴△DEH≌△BDF（AAS）， ∴EH＝DF． 当D与A重合时，x＝5，S△CDE＝10， ， 代入AC＝5，5×EH＝10， 解得EH＝4， ∴DF＝EH＝4． 在Rt△BDF中，DF＝4，BD＝5， 由勾股定理： ， ∴AF＝4． ∵CD＝x，AC＝5， ∴AD＝5﹣x． DF＝AD+AF＝（5﹣x）+4＝9﹣x， ∴EH＝DF＝9﹣x． yx（9﹣x）x2x， ∵抛物线开口向下，， 当时，y取最大值． 将代入： ． 故答案为：． 三.解答题 16．（8分）解方程： （1）x2+2x﹣5＝0； （2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2+2x＝5， x2+2x+1＝5+1， （x+1）2＝6， ， ， ∴； （2）原方程因式分解可得： （x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， （x﹣2）（x﹣5）＝0， x﹣2＝0 或 x﹣5＝0， 解得x1＝2，x2＝5． 17．（6分）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足函数表达式h＝﹣t2+26t+1． （1）如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ （2）火箭上升过程中，是否存在经过5s恰好上升75m的情形？请说明理由． 【解答】解：（1）h＝﹣t2+26t+1＝﹣（t﹣13）2+170． ∵﹣1＜0， ∴当t＝13时，火箭升空到最高点，此时打开降落伞． 答：火箭点火后13s降落伞将打开． （2）存在．理由如下： 当t＝m时，； 当t＝m+5时，． ∵0＜m＜13，0＜m+5＜13， ∴0＜m＜8． 令h2﹣h1＝﹣10m+105＝75，解得m＝3． ∴火箭上升过程中，从第3s到第8s，火箭恰好上升75m． 18．（7分）思源初级中学为了美化校园，在一个长为35m，宽为20m的长方形场地中修建小道（图中阴影部分），余下部分种植花草，其中AB＝CD＝EF＝GH（每段小道的边缘平行），要使种植花草的面积为558m2，那么小道的宽应为多少？ 【解答】解：设小道的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（35﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形， 依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）＝558， 解得：x1＝2，x2＝35.5（舍去）， 即小道的宽度应为2m． 19．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　1和3　 ； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：x＜1或x＞3　 ； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 x＞2　 ； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：k＜2　 ． 【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点， 则方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝1和x＝3， 故答案为：1和3； （2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0； 故答案为：x＜1或x＞3； （3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝2，开口向下， 即当x＞2时，y随x的增大而减小； 故答案为：x＞2． （4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值， 故答案为：k＜2． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＝0，求k的值． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝22﹣4×1×k≥0， 4﹣4k≥0， ﹣4k≥﹣4， k≤1； （2）根据韦达定理，，， 又∵x1+x2﹣x1x2＝0， ∴﹣2﹣k＝0， 解得k＝﹣2， ∵﹣2≤1，符合（1）中k的取值范围， ∴k＝﹣2． 21．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2），点B（3，﹣1）．若直线y＝kx+m经过A、B两点， （1）求该抛物线和直线的解析式； （2）直接写出关于x的不等式kx+m＜x2+bx+c的解集． 【解答】解：（1）把A（0，2），B（3，﹣1）分别代入y＝x2+bx+c得， 解得b＝﹣4， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2； 把A（0，2），B（3，﹣1）分别代入y＝kx+m得， 解得k＝﹣1，m＝2， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+2； （2）如图， 当x＜0或x＞3时，kx+m＜x2+bx+c， 所以关于x的不等式kx+m＜x2+bx+c的解集为x＜0或x＞3． 22．（8分）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用长为30m的篱笆围成．设菜园垂直于墙的一边AB长为xm． （1）当AB的长为多少时，菜园的面积为100m2？ （2）当AB的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 【解答】解：（1）根据题意得x（30﹣2x）＝100， 解得x1＝5，x2＝10， ∵30﹣2x≤18， 即x≥6， ∴x＝5不合题意，舍去， 答：当AB的长为10m时，菜园的面积为100m2． （2）设菜园的面积为Sm2， 由题意得， ∵﹣2＜0， ∴当时，S取得最大值， 答：当AB的长为m时，菜园的面积最大，最大面积是． 23．（10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于进价的135%）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价m定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价m定为多少元时，每个月的利润恰为2160元？根据以上结论，请你直接写出售价m在什么范围时，每个月的利润不低于2160元？ 【解答】解：（1）售价为每件50元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于进价的135%）．则： 每件商品的利润为（50+x﹣40）元，每月销售量为（200﹣10x）件． y＝（10+x）（200﹣10x）＝﹣10x2+100x+2000 由题意可得：50+x≤40×135%， 解得x≤4． 又∵x为正整数， ∴自变量x的取值范围是1≤x≤4且x为正整数； （2）二次函数y＝﹣10x2+100x+2000的图象开口向下，对称轴为直线． ∵当x＜5时，y随x的增大而增大，且1≤x≤4， ∴当x＝4时，y取得最大值． 此时售价m＝50+4＝54（元）， 最大利润y＝﹣10×42+100×4+2000＝2240（元）； （3）令y＝2160， 则﹣10x2+100x+2000＝2160， 解得x1＝2，x2＝8． ∵x≤4， ∴x＝8不符合题意，舍去． ∴x＝2，对应售价m＝50+2＝52（元）． ∵当1≤x≤4时，y随x的增大而增大， ∴当2≤x≤4时，y≥2160，对应售价范围为52≤m≤54（m为整数）． 24．（13分）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（0，4），与x轴的交点是点B，C（点B在点C的左边），对称轴为直线．点P在抛物线上，横坐标为m． （1）则抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4　 ；B点坐标（　（﹣1，0）　 ）；C点坐标（　（4，0）　 ） （2）若点P在AC上方，当m为何值时，△PAC的面积最大； （3）若∠ABP＝45°，则m＝　　 ； （4）在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点A和点P的纵距记为n． ①求n关于m的表达式； ②点Q（m，n）是平面内任意一点，是否存在以A，O，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（0，4）， ∴当x＝0时，y＝c＝4， ∵其对称轴为直线， ∴， 解得：b＝3， ∴b＝3，c＝4，抛物线y＝﹣x2+3x+4， ∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴的交点是B、C， ∴当﹣x2+3x+4＝0时， 解得：x＝4或x＝﹣1， ∵点B在点C左边， ∴B（﹣1，0），C（4，0）， 故答案为：y＝﹣x2+3x+4，（﹣1，0），（4，0）； （2）如图，过点A作AD⊥PN于点D，作PN⊥x轴交x轴于点N，交AC于点M， 设经过点A（0，4），点C（4，0）的函数解析式为y＝kx+b， ∴得， 解得：， ∴y＝﹣x+4． ∴设M（m，﹣m+4），P（m，﹣m2+3m+4）， 则PM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m， ∴ ， ∵﹣2＜0 ∴当时，△PAC的面积最大； （3）过点A作AG⊥BP于点G，则∠AGB＝90°， ∵∠ABP＝45° ∴△BGA为等腰直角三角形，GA＝GB， 过点A作AE⊥GF于点E，过点G作直线GF⊥x轴于点F， 则∠E＝∠OFG＝90°， ∵∠AOF＝90°， ∴∠E＝∠AFG＝∠AOF＝90°， ∴四边形AOFE是矩形， ∴AE＝OF，OA＝EF＝4， ∵∠AGB＝90°， ∴∠AGE＝∠GBF＝90°﹣∠BGF， ∴△AGE≌△GBF（AAS）， ∴AE＝GF，BF＝EG， 设GF＝n，则AE＝OF＝n， ∴GE＝BF＝n+1， ∴由OA＝EF＝4可得，n+n+1＝4， 解得， ∴， 设直线BG：y＝px+t， 则， 解得， ∴设直线， 与抛物线表达式联立可得，， 整理得，5x2﹣12x﹣17＝0， 解得或x＝﹣1， ∴即； 故答案为：； （4）①设点P（m，﹣m2+3m+4）， 则点P和点A的纵距为n＝|﹣m2+3m+4﹣4|＝|﹣m2+3m|＝|﹣m（m﹣3）|， 当|﹣m（m﹣3）|＝0时，解得m＝0或m＝3， ∴抛物线n＝|﹣m2+3m|其与x轴的交点为（0，0），（3，0）， ∴当m＜0时，n＝m（m﹣3）＝m2﹣3m， 当0≤m＜3时，n＝﹣m（m﹣3）＝﹣m2+3m， 当m≥3时，n＝m（m﹣3）＝m2﹣3m， ∴． ②存在， ∵由（1）得抛物线y＝﹣x2+3x+4，由（4）①得n＝|﹣m（m﹣3）|， ∴如图所示： ∵点P横坐标为m，Q（m，n）， ∴PQ∥AO， ∵以A，O，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴OA＝PQ＝4， 设Q（m，|﹣m2+3m|），P（m，﹣m2+3m+4）， ∴有两种情况，如下： 当n＝﹣m2+3m时，0≤m≤3， ∴PQ＝|﹣m2+3m+4﹣（﹣m2+3m）|＝4， ∴PQ＝|4|＝4； 由①可得，当n＝m2﹣3m时，m＜0或m＞3， ∴PQ＝|﹣m2+3m+4﹣（m2﹣3m）|＝4， ∴|﹣2m2+6m+4|＝4， ∴当﹣2m2+6m+4＝4时，解得m＝0或m＝3，皆舍去， 当﹣2m2+6m+4＝﹣4时，解得m＝4或m＝﹣1； ∴综上所述，当m＝﹣1或m＝4或0≤m≤3时，以A，O，P，Q为顶点的四边形是平行四边形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/23 16:47:20；用户：管理中学；邮箱：xkgl@xyh.com；学号：47348697 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $