四川省重庆市大足中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试题

大足中学高2028届高二上期第一次月考 数学试题（参考答案) 参考答案 一、单选题 14 DCCA 5-8 DBAD 二.多选题 9.BCD 10.AC 11.ACD 三.填空题 V105 1 12.-14 13. 5 14.3 四.解答题 15.解析(1)设事件4为“甲答对第i道题”，i=1,2,3,则 P4).P(4) P4) 设事件A为“甲进入面试环节”，则A=A4,4, 3111 所 P(4)=P(A)P(4)P(4)F亏×2X30 …6分 2)设事件B为“乙答对第道题，i=1,2,3,则P(8)=P(8,)=P(B,)=月 设事件B为“乙进入面试环节”，则B=BB,B,】 ()-((-P( 则 由(1)知 -0. ,P可=1-P氏利=品 由题意可知，事件A,B相互独立，事件A,B相互独立， 设事件C为“甲、乙两人恰有一人进入面试环节”，则C=ABUAB, 所以PC)=P4B)+PAB)=P()P回)+P(团P(B)0×8+10X85.13 16.解(1)如图所示，以D为坐标原点，DA,DC,DD为x,y,z轴建立空间直角坐标系1分 M 则A(2,0,0),C(02,0).N(10,4).B(22,0).M(21,4).N(10,4) .AC=（-2,2,0).A=(-1,0,4)AB=(0,2,0).BM=(0,-1,4) …4分 4C.n=0 -2x+2y=0 设平面ACN的法向量为万=(xy2),则4N.万=0，即-x+4z=0， 设z=1,解得x=4,y=4,则平面ACN的一个法向量为元=(4,4，) …7分 则BM,i=0-4+4=0,得BM⊥i,… …8分 又直线BM不在平面ACN内，则直线BM∥平面ACN …9分 AB.n 8 d= 8V33 (2)点B到平面ACN的距离'】 V16+16+1 33 …15分 17.解析：(1)k=1,则k=-1 所以1：x+y-3=0 6分 x+y=1 (2)设1的方程为：ab(a>0,b>0) 2+1Ma-M=5-(2a+b) 因为ab .…9分 由基本不等式可 2a+b=2a+ =5 20+2b25+26a.故 2a2b=9 b a MA.MB 12分 a b 当且仅当ba,即a=b=3等号成立… 。。。。。。。。。。 …14分 此时的方程为：+y-3=0 …15分 18.解析：(1)AB=AD,O为BD的中点，OALBD 又：平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,OAC平面ABD, ∴.OA⊥平面BCD」 CDC平面BCD,.OA⊥CD: 3分 (2)分别取CB、CD的中点为F、G,连结OF、OG, :O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形， ·△BCD是直角三角形，BD=20D=2,CD=L,BC=V(BD}-(CD)}=V5 CB、CD的中点为F、G,∴.OF∥CD,OG∥BC,OF⊥OG, 由(I)得，AO是三棱锥A-BCD底面BCD的高，△AOB是直角三角形， 40x4051- 6,.A0=1」 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为x,y,z轴， 如图建立空间直角坐标系，…5分 则0(00,0) .CD=(-1,0,0)） c-80-传 …7分 设%=(，片，)是平面ABC的一个法向量， √5y=0 乃·BC=0 1 则(n·AB=0 即2 2-2=0 令=1，则=2，元=(2,0，)，同=5.⑦=1 CD 2W5 CD 。。。。。。。。。。 …9分 25 直线CD和平面ABC所成角的正弦值等于5；… …10分 (3)在棱AD上存在点E,使平面BCD和平面BCE夹角的大小为45°. 设AE=元AD(0≤元≤I), 曲(2)知， -a利-传马 而--而9刘 丽-亚-a99j5 .…11分 面BC4的法向量%=(2,0,1) …12分 n2·BC=0 设=(：2)是平面BCE的一个法向量，则西·BE=0, 2+4,+52+0++1:=0 2 即( V3y2=0 取5=2（元-）.3=-元-1.m=(2-20,--1) …14分 由平面BCD和平面BCE夹角余弦值， cos n2,m= 22W5 元+1 2W5 即V(2-2+(2+1 5 整理得，112+61-5=0 解得， 11或=-1（舍去），16分 AE-5AD AE-5 AD 所以， 211, 11 25 AE 5 所以，在棱AD上存在点E,使平面BCD和平面BCE夹角的余弦值为5，DE6.…17分 19.解析：(1)证明：由题意知∠BEC=∠ECD=∠AEC=90°，∠PED=∠AED=45°， 而BE=CE,M是BC的中点， 所以ME⊥ED, 又平面PED⊥平面BCDE, 平面PED∩平面BCDE=DE,MEC平面BCDE, 所以ME⊥平面PED,MEC面PEM,所以面PEM⊥面PED.…3分 (2)在平面PDE内作ED的垂线作为z轴，所以ME⊥z轴， 如图以E为坐标原点，分别以EM,ED为x,y轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为BE=CD=CE=V2,BC=2,设PE=t(t>0) 所yE(0,00),M(0,0),B(1,-10),C(11,0).D(02,0) 学 m学9到 BC=(0,2,0) EC=(（1,10) …5分 设平面PBC的法向量%=(：，M,) m·BC=2y=0 m·BP=-x+ 2, t+1y+ 2 2-0 得 取 ·MN 2 sin0 4 、V N +F+6+8 6 解得V2<1<2 …7分 设平面PEC的法向量，=(x,2,3)】 n2·EC=2+y2=0 %师 2,V2 得 2%+21 z2=0 取=1，得%=(1，-山，) 设平面PBC与平面PEC所成锐二面角为a,则 2 √2 +1 -t+1 2 22 cosa 1+ 3 2+1 2 t+- 2 …9分 2 本V2,2上单调递增，故 22<t+ <3 …10分 ,.2W2 故 √2+1V6 所以平面PBC与平面PEC所成锐二面角余弦值的取值范围是( 3’3 …11分 (3)证明：S是四面体的表面积， V-com=3. 3 ,令异面直线KG与CH所成角为a, V-c-GH-CH-KGsinaGH-CH-KG …12分 -CH.GH SAKHG=2 SACHG=2 -KG.GH …13分 因为GH是公垂线，CD上的点和PK上的点的最短距离是GH, SACKG>S△KGH,S△CKH>SACHG(取不到等号)，…15分 ..S>CH.GH+KG.GH=GH(CH+KG) H.CH.KG>GH-(CH+KG)-r 6 Gcn …17分 大足中学高2028届高二上期第一次月考 数学试题 一．单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1．直线：的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．从，，，中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于的概率为（ ） A． B． C． D． 3．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的条数为（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 4．已知圆台下底面的半径为上底面半径的倍，高为，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 6．已知直线：（为参数），，，若直线与线段（包括端点）恒有公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．在四面体中，，，为正三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 8．四棱锥中，，，，，，内部一点满足四棱锥和三棱锥的体积相等，则长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9．设，为空间中两条不同直线，，为空间中不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．，，则 B．，，则 C．，，则或 D．，，，则 10．一个袋子中有大小和质地相同的个小球，其中有个红球和个白球．从袋中不放回地依次随机摸出个小球（每次取个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，事件“至多摸到一个红球”．则下列事件互为互斥且不对立事件的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．已知正方体的棱长为，动点满足，其中．经过，，三点的平面与正方体表面的交线构成多边形，则（ ） A．当时，直线与平面垂直 B．，使得多边形为五边形 C．，使得 D．平面截正方体内切球所得截面的面积最小值为 三．填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．设，，与垂直，则等于________ 13．在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为________ 14．甲、乙两个转盘均标有数字，，，甲转盘指向的概率为，指向，的概率相等；乙转盘指向的概率为，指向，的概率相等，其中，，若“甲转盘指向”与“两个转盘指向不同的数字”相互独立，则________ 四．解答题（本大题共5个小题，共77分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有道题，这道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． （1）求甲进入面试环节的概率； （2）求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 16．如图，正四棱柱中，，，点，分别是棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线到平面的距离． 17．平面直角坐标中，一直线过点 （1），，若与直线垂直，求直线的方程（结果化为一般式） （2）若与轴和轴的正半轴分别交于，两点，求的最大值及此时直线的方程（结果化为一般式） 18．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． （1）证明：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）在线段上（不包括端点）是否存在点，使平面和平面夹角余弦值为？若存在，并求出的值．若不存在，请说明理由． 19．如图，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置． （1）如图，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面平面． （2）如图，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． （3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图所示，记四面体的内切球半径为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $