重庆市鲁能巴蜀中学校2026-2027学年高二上学期十月学情检测数学试卷

高2028届高二上期十月学情检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写济楚。 2.每小题选出答案后，用2B船笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用柳 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效 3.考试结来后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 2() 1.已知z=1+i,则 A.-i B.i C.-1 D.1 2.在等比数列{an}中，a2=3,a=6,则a=（) A.9 B.12 C.24 D.36 3。抛物线方程为y=女，则此抛物线的准线为() A.x=16 1 B.y=-16 1 C.x=-1 D.y=-l 4.已知R为实数集，集合1={y=g收-)}，B={y=2},则C(AUB)=() A.{xx>1} B.x<0 C.1 D.{xx≤0 5.设∫(x)=c+lnx,满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c).若函数f(x)存在零点x。,则() A.xo<a B.xo>a C.x。<c D.xo>c 「a,a2b 6.定义一种运算(a*b)= 6.a<b,则函数f()=(e*e)的值域为(） A.(0,) B.(0,J] C.[l,+o) D.(（1,+o) 7,若直线y=k(x-2)与曲线C:y=√-x2恰有两个公共点，则实数k的取值范围为() A.[0,N5) c.（5,0] 3 D 、0 3 8箱圆C:苧+长=1a>60的左顶点为4，点RQ均在c上，且关于)箱对称若直 线AD,A的斜率之积为好，则C的离心率为() 4. 2 B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知向量ā=(1,1,0)，6=(0，l,1),c=(1,2,),则下列结论正确的是() A.向量ā与向量6的夹角为行 B.(a-BLa c.(a+)/1e D.向量石在向量6上的投影向量为（行0，） 10.记Sn为数列{an}的前n项和，则(). A.当Sn=2”-1时，数列{an}为等比数列 B.当Sn=2n2时，数列{an}为等差数列 C.若an≠0，当SnSn1=1时，数列{an}为等差数列 D.若an≠0，当SnSn+1=1时，数列{an}为等比数列 如图，椭圆+太 产芳-a>6>0)与双曲线三-茶=0m>0>0有公共焦点气.5，相 圆与双曲线的离心率分别为只，凸，点P为两曲线位于第一象限的公共点，且∠PF=60°， I为△FPF的内心，F,I,G三点共线，且GE·=0,x轴上的点A,B满足 五=亚，BG=G亚，则下列结论正确的是（) 1 A.b2=3n2 B. 安+。 C.GE平分∠BEP 3 D.+示=4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.样本数据6,8,4,5,12的中位数为 13.己知△ABC为等腰三角形，且sinA=2sinB,则cosB= 14.多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构 成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二 面角都相等).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正 八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球 的表面积的比为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 15.(13分) 已知等差数列(a,)与正项等比数列也)满足：a,=1，b=3,a2+a4=10,b=a2a5· (1)求数列(a,},也}的通项公式： (2)求数列{an+bn}的前n项和. 16.(15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A, B两点，|AB=6. (1)求抛物线C的方程： (2)过F作斜率为2的直线与抛物线C交于P,Q两点，求|PQ· 3 17.（15分) 已知直线1：：+y-3k-2=0keR)恒过点卫，圆C:x2+y+22=r2>0),设2为圆 C上任意一点，|P21最小值为2. (1)求定点P的坐标与圆C的方程： (2)若k=-1,求直线1被圆C截得的弦长 18.(17分) 如图，在长方体ABCD-AB,C,D,中，点P,卫分别为DD,,BC的中点. （1)证明：Pg∥平面ABCD: （2)设AA,=2,AB=1,AD=1. Q C (i)求B到平面BPC,的距离： B (i)求二面角B,-CB-P的正弦值. P Di Q 的 19.(17分) 已知椭圆C名+3@>b>0的左焦点为L0,离心率为设P,g,R为椭码 C上三个不同的点. (1)求椭圆C的方程： (2)若△POR为正三角形，点P为椭圆C的左顶点，求△POR的周长： (3)若△POR为直角三角形，点P为直角顶点. (i)若PQ,PR平行于坐标轴，求△POR面积的最大值； (ⅱ)求△POR面积的最大值.高2028届高二上期十月检测数学答案 2 3 4 6 8 9 10 11 A B D 0 B A BC AB ACD 1【答案】A 【分析】由复数除法即可求解。 【详解】因为z=1+i,所以1=1-！1。 2-1+i-i京i. 故选：A. 2.B 3【答案】D 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得 【详解】~抛物线方程为y= ,则2=4y,可得=2 1 =1,∴抛物线的准线为y=1. 221 故选：D 4【答案】D 【分析】求出函数y=g(x-1)的定义域及函数y=2的值域，再利用并集、补集的定义求解。 【详解】由y=g(x-),得x-1>0,解得x>1,则A=xx>,而B={yy>0}, 因此AUB={xx>0},所以C(AUB)={x≤0} 故选：D 5【答案】B 【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可， 【详解】函数f(x)=e+lnx的定义域为{xx>0),且y=e,y=lnx均为单调递增函数，故函数 f(x)=e+lnx是增函数， 由于0<a<b<c,故f(a)<f(b)<f(c), 满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c),说明f(a),f(b),f(c)中有1个是负数一定是f(a),两个正数或3 个负数， 由于f(x)存在零点，故x。>a. 故选：B 试卷第1页（共8页） 6【答案】C 【详解】当x≥0时，e≥e*,f(x)=e*, 因为f(x)=e*在[0，+o)上是单调递增函数，所以e≥e°=1，即f(x)≥1； 当x<0时，e<e*,f(x)=e*, 因为f(x)=e*在(-o,0)上是单调递减函数，所以e>e°=1，即f(x)>1; 综上可知，f(x)=(e*e)的值域为[l,+oo)故选项C正确. 7【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解。 【详解】由y=V-x2得x2+y2=1(y≥0)， 直线y=k(x-2)经过定点P(2,0),如图， δ 当直线与半圆相切时，k=tan∠MPx=-tan∠MPO= 1 5 √22-12 3 所以恰有两个公共点时，由图可知，k∈ 30， 故选：D. 8.【答案】A 【分折】设P飞，M小，则0（小，根摆斜率公式结合题意可得。子再根据等+茶-1，将y 用x表示，整理，再结合离心率公式即可得解 【详解】方法一小：设而不求 设P(x,)，则2(-，) 则由ke得：r如=名。。=于 y21 ￥+a-x+a-x2+a4 试卷第2页（共8页） 由号+关=1，得 b(a2-2） a b2 a (a2-） 所以a2 1,即b1 -2+a2 4 a24 所以裤圆C的离心率e-后 1a2=2 ,故选A 方法二]：第三定义 设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知：k二-k 放无r知=r(-n)君 b2 由椭圆第三定义得：krakea= Q3 做621 。4 所以椭圆C的离心率e=c=, 及，故选A 1a22 9【答案】BC 【分析】对于A,根据向量的夹角公式计算即可；对于BC,利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可； 对于D,根是面最ā在向量6上的拉影狗量为同o4月计第即可 【详解】对于A,因为a-6=1x0+1×1+0x1=1,同==2， 可第南片 又0≤a,6）s元，所以a,6)-行，所以A错误： 对于B,因为a-6=(1,0,-1),所以(a-)c-1x1+0×2+(-1)×1=0, 故(a-bLc,所以B正确； 对于C,由向量ā=(1，l,0),b=(0l,1),c=(1,2,1),可知=a+,故a+b)∥c,所以C正确： 对于D,根据投影向量的定义可知，向量ā在向量五上的投影向量为 月a0滑r尊-0-6D 故选：BC. 试卷第3页（共8页） 10.【答案】AB 【分析】利用数列第项与前n项和的关系，结合等差数列、等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A,Sn=2”-1,当n≥2时，an=Sn-Sn=2-,而a=S=1满足上式， 因此a,=2叫，出=2，数列{a,}为等比数列，A正确； a. 对于B,Sn=2m2,当n≥2时，a,=Sn-Sm1=2n2-2(n-1)2=4n-2,而a=2满足上式， an=4n-2,an-an=4,数列{an}为等差数列，B正确； 对于CD选项，S,S1=1,则S,S1=1)丙武相减得到S(a1+a)=0(≥2)恒成立，即 a1--4,(n≥2)，所以既不是等差，也不是等比。 11.【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合椭圆、双曲线定义及余弦定理求解判断AB:利用椭圆、双曲线定义，结合 三角形内角平分线性质定理求解判断CD. 【详解】设FF上2c,而椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m, 由双曲线的定义，得PEl-|PF,=2m,由椭圆的定义，得|PEl+|PE卡2a, 则|PE=m+a,lPF上a-m,又∠FPE=60°， 由余弦定理得：|PE2+|PEP-|PR‖PE2HFEP-4c2, 即(m+a2+(a-m)2-(m+a)-(a-m)=4c2,整理得a2+3m2=4c2, 对于A,a2-c2=3(c2-m2),即b2=3n2,A正确； 对于B号+器4，即时宁-4，B抛 对于C,又IE平分∠PEA,则∠PEI=∠AFI,由G死·瓦=0，得∠GEI=90°， 则∠PRG=90P-∠PRI-080-∠PR小=号PB,C正确： 2 PEIPI 对于D,由1为E的内心，得瓜为∠PRE的角平分找，-，可理学 AFAI 器-贤圈贤-2-明m 由五=2币，得|五日2‖PI,则|2上g,又，I,G三点共线， 试卷第4页（共8页) 即RG为∠PEB的角平分线，又GR平分∠B5,P,则有PGP同P网' GBI BFBF 而lBs1lBs,则GBl-|BBE-e=9,即1BGLe1G4, PGI PF-PF 2m 13 由BG=4G乎，得1BGHG,即咔，由选项B知，交+下=4，D正确。 故选：ACD 【点睛】结论点睛：AD是△ABC的角平分线，则BD=4B CD AC 12.【答案】6 13【答案1名0875 【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出cosB. 【详解】在△ABC中，令内角A,B,C所对边分别为a,b,c, 由sinA=2sinB及正弦定理，得a=2b,显然AC为底边，否则不能构成三角形， 由余弦定理得cosB=a2+c2-=26}+(2b-B27 2ac 2.2b.2b8 故答案为：名 14.【答案】3：1 【分析】根据正八面体的结构特征确定球心位置，令正八面体的棱长为2，有外接球半径R=√2，再由等 体积法求得内切球的半径一。即可得。 【详解】由正八面体的结构特征易知，其外接球和内切球的球心重合，且为体对角线的交点， 令正八面体的棱长为2，外接球和内切球的半径分别为R,r,则外接球半径R=√2， 各侧面积S=二×2×2xsin60°=V3,构成正八面体的两个正四棱锥的高为√2， 2 所以正八面体的体积y=8xS=2xx2x2x2,可得r= 1 3 所以外接球和内切球的表面积比为R':=2:2=3:1, 3 故答案为：3：1 15.解： (1)由a2+a4=2a3可得a=5,从而{an}的公差d=2,an=2n-1. (3分) 由题意得b=a2a=27，从而b,}的公比g=3,bn=3. (6分) (2)数列{a,}的前n项和为号(a+a,)=n2. (9分) 2 试卷第5页（共8页） 数列，}的前n项和为么-b9=3-3 (12分) 1-g 2 从而数列a+6}的前n项和为3”-3+2 2 (13分) 16.解： (1)在y=2x中，令x=2,可得y=士p,从而1AB上2p.所以p=3,抛物线C的方程为y2=6x 2 (7分) (2)直线P0的方程为y=2x-弓，即y=2x-3. (9分) 设PK,y),Q,y）,将直线方程带入y=6x可得4x-18x+9=0.由韦达定理可得x+名= 、9 (13分) 从而1 POHPFI+QF卡：+x+3=5 (15分) 2 17.解： (1)在1的方程中令x=3可得y=2,从而P3,2). (3分) 由题意得圆心C(0,-2),从而1P21刑-PCHr-5引所以r=3或7，圆C的方程为x2+(y+2)2=9或 x2+(y+2)2=49 (7分) (2)当k=-1时，1的方程为x-y-1=0,则圆心C到2的距离d= 2 (11分) 从而截得弦长为2√r2-d2=√34或√94 (15分) 18.证明： (1)以D为坐标原点，DA方向为x轴正半轴，DC方向为y轴正半轴，DD,方向为z轴正半轴建立 空间直角坐标系设DA=a,DC=b,DD=c,则P0,0,Q号，b,,从而P0=(号，b,0).(2分) 由题意DD=(0,0,c)为平面ABCD的一个法向量，则DD·P=0,从而PQ∥平面ABCD.(5分) (2)(i)由题意得B1,1,0),B,1,12),C(01,2),P0,0,),则BB=(0,0,2),BC=(-1,0,2), B=(-1,-1,) (7分) 设平面BPC的法向量为n=(化y,2),则 n-BC =-x+2z=0, n-BP=-x-y+z=0. 令x=2,可得平面BPC的一个法向量为n=(2,-1,1) (10分) 从而A到平面BPC的距离为B丽列-V6 (12分) 1n3 (i)由题意CD=(0,-1,0)为平面BB,C的一个法向量. (14分) 则cos<C历，n>1cDl-V6 (16分) ICD6 试卷第6页（共8页） 从而二面角8-C8-P的正弦值为V50 (17分) 6 19.解： （①）由题盒得c=,e-日分 (2分) 则a=2,b=后-c=5,从而椭圆C的方程为二+兰-1. 4+3 (4分) (2)由题意得P(-2,0),由对称性可得Q,R关于x轴对称，设Q(m,n),R(m,-n)(n>0).(6分) 则1P2=Vn+2)2+2,1QR仁2n,结合1PHR|可得m+2)2=3n2. (8分) 又由Qm,网在椭圆c上得四+父=1，与m+2Y=3r联立消去n解得m=1 (m=-2舍去)，从而 43 13 n=125 3,△P9R的周长为72V3 (10分) 13 (3)（i)设P(s,),则3s2+4t2=12,令s=2cos0,t=V3sin0. 若Pg，PR平行于坐标轴，则不妨设O-s,)，R,-)·从而 5-IPQHPR21stH43]sin0cos0231sim2012. (12分) (iⅱ）若P2,PR不平行于坐标轴，设l:y=k(x-s)+t·带入椭圆C方程可得 (3+4k2)x2+8k(t-)x+4(t-)2-12=0. 3+42,09=-2-12 由韦达定理可得。+8=-8-包， 3+4k2 (14分) 从而1PO外(+e+2=4+,5+-- +ey52 +的.同理可得 tk 3+42 =45 3+42 工3。-24 h (15分) 3+4- 因此SAPOR 242+++-2 25+12(k2+) 令a=-安则+是=+2从而 244+u23cos20-4sin20+23usin 0cos01 49+122 -24+2-1+7cos20+2W3usn20_124+d-1+V49+12fsim20+剑.24+W+v49+12）,其中 49+122 49+12 49+12u tan= 7 (16分) 23u 由基本不等式可得V4+证=24+.4+4+)=2+” 2 22 4+ui22±494+2249+2心494+士+2442 14 14 2 3*42 4+14+97216+264 .16+ 92u2 从而SAPOR12 A9+12m20=12 7 49-192由于1g>25, 1249+1271249+12=49 49 从而△POR面积的最大值为华，当P为上下顶点，k=士1时取得 （17分)