重庆市第一中学校2026-2027学年高一上学期10月定时练习数学试题

秘密★启用前【考试时间：2026年10月22日8:00-10:00】 2026年高2029届高一上期定时练习 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.本卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知命题：存在一个正数，使，则下列选项正确的是（ ） A.命题的否定为：“，都有” B.命题的否定为：“，都有” C.命题的否定为：“，使” D.命题的否定为：“，使” 3.已知函数，若，则实数的值是（ ） A. B.或1 C. D.或1 4.已知和，则是的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6.已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7.已知，，若中至多有一个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.已知，，，，则的最小值为（ ） A.18 B.14 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10.已知，则下列选项正确的是（ ） A.若不等式对任意的恒成立，则或 B.若关于的不等式的解集为空集，则 C.若使得不等式成立，则或 D.若，不等式恒成立，则 11.设集合为非空实数集，集合，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（ ） A.当时，集合的积集 B.若，集合的积集 C.若是由5个正实数构成的集合，集合的积集中元素个数最少为7个 D.存在4个正实数构成的集合，使集合的积集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知集合，，则实数为________. 13.若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 14.已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.（本小题13分） 设为全集，集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16.（本小题15分） 已知关于的不等式的解集为. （1）若，求关于的不等式的解集； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17.（本小题15分） 已知函数满足，. （1）求的解析式； （2）若对任意实数，恒成立，且存在实数使得，求实数的取值范围. 18.（本小题17分） 若关于的一元二次方程（）的两个根为，，则可得，. 其证明过程如下：因为一元二次方程的两个根为，，所以二次三项式可以因式分解为，由于，从而等式恒成立.该等式两边的对应项系数应相等.因此，. （1）已知一元三次方程（）的根为，，，用，，分别表示与和，并给出推理过程； （2）已知三次函数，有三个互不相等的根，，. ①若，，，且满足，，求实数的值； ②若，，且，求的最大值. 19.（本小题17分） 设不小于6的正整数可以表示成个正整数，，…，（）之和，（），用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合.记，为的最大值. （1）用列举法表示集合，并求出； （2）有下列3个命题： 命题①：若存在（），则此时； 命题②：若存在（），则此时可以成立； 命题③：若存在（），则此时. （ⅰ）写出上面3个命题中真命题的编号，并证明这些真命题； （ⅱ）求. 2026年高2029届高一上期定时练习 数学试题答案 一、选择题： 1-8：DBBCADAD 7.解：因为所以A∩B中最多有两个整数， 先求解A∩B中有两个整数1，2， ；或者 所以当时，A∩B中至多有一个整数 8.解：因为x>0，y>0，z>1，x+2y=3，所以当且仅当时等号成立， 所以原式 当且仅当时等号成立，故选：D. 二、多项选择题： 9-11：AD BCD AC 11.解：对于A，因为A={1，2，3，4}，故集合B中所有可能的元素有1×2，1×3，1×4，2×3，2×4，3×4，即2，3，4，6，8，12，∴B={2，3，4，6，8，12}，故A正确； 对于B，因为A=[-1，3]故B=[-3，9），故B错误； 对于C，因为 所以B中元素个数大于等于7个， 如设 此时B中元素个数等于7个，所以积集B中元素个数的最小值为7，故C正确； 对于D，假设存在4个正实数构成的集合A=，使其积集B={2，4，5，8，10，16}， 不妨设，则集合A的积集B=， 则必有ab=2，cd=16，其4个正实数的乘积abcd=32， 又ad=5，bc=8或ad=8，bc=5，其4个正实数的乘积abcd=40，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A， 使其生成集B={2，4，5，8，10，16}，故D错误.故选：AC 三、填空题： 12：3 13：[0，4） 14：6 14.解：设，又a>0，所以在（0，+∞）单调递增，当时<0；当时，>0，由图象开口向上，=-9， 可知方程=0有一正根一负根，即函数在（0，+∞）有且仅有一个零点，且为异号零点； 由题意知.，则当时，； 当时，，所以是方程；的根，则即且，所以当且仅当 即时，等号成立，则的最小值是6. 四、解答题： 15.（本小题13分） 解（1）可解， 2分 当时，代入得 4分 得所以 6分 （2）由可得A⊆B，分两种情况讨论： 8分 ①当时，满足，此时，解得； 10分 ②当时，需满足解得， 12分 综上，，所以实数的取值范围为 13分 16.（本小题15分） 解：（1）由题意，-1和2是方程的两根，且， 所以 2分 当解集为 当不等式化为解集为R； 当解集为 8分 （2）已知不等式： 10分 令令t=2x+1，t∈[1，7] 13分 最小值在t=2取得， 所以 15分 17.（本小题15分） 令， 5分 （2），，即 判别式 8分 ，，即 存在x使之小于等于0，等价于判别式 11分 解得： 15分 18.（本小题17分） 解：（1）设有三个不相等的实数根. 则可分解因式为 2分 得 所以恒成立， 所以等式两边对应系数相等，所以有 4分 （2）由（1）可知， 5分 易知① ② ③ 则（每组数据中取值可以对调）⇒b=-20 9分 由（1）可知 11分 则 令 3分 因为则 或 又因为所以 15分 16分 当且仅当即.时等号成立，此时满足 所以的最大值为 17分 19.（本小题17分） 解（1）Ω。={（1，1，1，1，1，1），（1，1，1，1，1，1，1，2，2），（1，2，3），（1，2，3），（1，1，4），（2，2，2），（1，5），（2，4），（3，3）}. 3分 4分 （2）（i）上述命题中真命题的编号为①③ 6分 证明①若存在正整数i，使得不妨设此时 所以：此时 9分 证明③若存在（则 不妨设 则 所以：此时 12分 （ii）固定数组的项数n，若其中两个数相差至少2，把较小的数增加1、较大的数减少1，则各项之和不变，而乘积增大.反复调整可知：固定n时，乘积最大当且仅当各项之差不超过1. 由③可以加强证明，若要则 13分 若存在不大于k的正整数i，使得令因为， 所以 中2与4不同时出现.事实上，若2与4同时出现，设 则因为所以将都换成3得到的更大， 所以中2与4不同时出现： 中最多有一个4.事实上，4+4=3+3+2，而4×4<3×3×2， 所以中最多有一个4； 14分 中最多有两个2，因为，2+2+2=6=3+3，而2×2×2<3×3，所以（中最多有两个2：所以当时，或 或（舍），而 15分 所以中相应的元素为或 17分 学科网（北京）股份有限公司 $