精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期1月月考（期末模拟）数学试题

重庆八中高一上一月期末模拟考试数学试题 一、单选题（共8小题） 1. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，对于任一自变量x有唯一的y与之相对应，对x取特殊值，通过举反例排除即可． 【详解】A：当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设； B：当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设； C：令，当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设； D：令，此时，即，符合题设． 故选：D. 2. 方程的根为，方程的根为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元，设，两个方程变为和，两个方程的解就是函数，与直线交点的横坐标，利用函数与是反函数，它们图象关于直线对称可求解。 【详解】令，方程化为，即，它的根为函数与直线交点的横坐标，方程化为，即，它的根是函数与直线交点的横坐标，作函数和的图象，作直线，易知和是反函数，它们的图象关于直线对称，而直线与垂直，∴关于直线对称，由，得，即而直线与的交点为，∴．． 故选：C． 【点睛】本题考查方程根的分布问题，解题方法是把方程的解转化为直线与函数图象交点的横坐标，再由对称性求得结论，解题关键是转化。 3. 已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据f（x）的单调区间求出a的范围，利用f（x）的单调性求出f（x）的最大值和最小值，得出g（a）的解析式，利用g（a）的单调性计算g（a）的最小值． 【详解】：∵f（x）在（-∞，1]上是减函数， ∴-a≥1，即a≤-1． ∴f（x）在[a+1，1]上的最大值为f（a+1）=3a2+4a+4， 最小值为f（1）=4+2a， ∴ ， ∴g（a）在（-∞，-1]上单调递减， ∴g（a）的最小值为g（-1）=1． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的单调性判断，最值计算，属于中档题． 4. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 5. 已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对a分类求出函数的值域，然后由值域之间的包含关系可得. 【详解】当时，记和的值域分别为集合A，B. 当时，，当时，， 所以，函数的值域为. 因为对，使得成立， 所以，. 当时，，满足题意； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得 综上，实数的取值范围是. 故选：B 6. 圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形（正方形的顶点A和点P重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为（ ） A 2π B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设第i（）次滚动后A 点位置为，结合图形，可知11次或12次滚动后A回到点P的位置，后结合题目数据可得答案. 【详解】设第i（）次滚动后A 点位置为，结合图形，可知3次或4次滚动后，A点再次达到圆周处， 则第7次或第8次滚动后，A点达到圆周，第11次或第12次滚动后A第一次回到点P的位置，相当于正方形在圆内滚动了三圈. 因为圆O的半径r＝1，正方形的边长a＝1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示， 设第i（）次滚动点A的路程为， 则， 又， 所以点A所走过的路程为． 故选：D 7. 已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”．若函数（，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由新定义，得到函数在其定义域内为增函数，且在上的值域为，转化为方程必有两个不相等的实数根，再结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】由题意，函数（，且）是“成功函数”， 可得函数在其定义域内为增函数，且在上的值域为， 则，即，所以方程必有两个不相等的实数根． 又由，即， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根，可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数的定义问题，以及对数函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，结合对数函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题． 8. 已知平面上的线段l及点P，任取l上的一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作，若曲线C是边长为4的等边三角形，则点集所表示的图形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可画出满足题意的点集所表示的图形，分别求解区域各个构成部分的面积，进而即得. 【详解】由题意，点集D所表示的图形如图，是边长为4的正三角形， 其中，，，，， ，， 所以扇形的面积为， ，， ， 所以的面积为， 又， 所以四边形的面积为， 又四边形的面积为， 点集所表示的图形面积为： . 故选：B． 二、多选题（共3小题） 9. —般地,若函数的定义域为,值域为,则称为的“倍跟随区间”;特别地,若函数的定义域为,值域也为,则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是 A. 若为的跟随区间,则 B. 函数不存在跟随区间 C. 若函数存在跟随区间,则 D. 二次函数存在“3倍跟随区间” 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据“倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A错误. 对B,由题,因为函数在区间与上均为增函数,故若存在跟随区间则有,即为的两根. 即,无解.故不存在.故B正确. 对C, 若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知, 即,因为,所以. 易得. 所以,令代入化简可得,同理也满足,即在区间上有两根不相等的实数根. 故,解得,故C正确. 对D,若存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.当时,易得在区间上单调递增,此时易得为方程的两根,求解得或.故存在定义域,使得值域为. 故D正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题. 10. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 当时，的值域是 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据原式得到其对称性，结合偶函数则得到其周期性，再利用其偶函数性质并结合其的解析式即可判断CD. 【详解】因为，则关于直线对称， 则，因为函数是定义在上的偶函数， 则，则，则B正确， 则 则的图象关于直线对称，故A正确； 对C，因为函数是定义在上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同， 当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误； 对D，当时，，则， 当时，，根据的周期为4， 则，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图所示为函数的图像，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，再结合特殊值，以及函数值的分布，排除选项，即可判断. 【详解】由题图可得函数的定义域为，且为偶函数，选项中的函数为奇函数，故选项错误； 对于选项，定义域为，且，是偶函数，当时，，令得函数在上只有一个零点，又，与图像不符，故选项错误； 对于B选项，定义域为，且，是偶函数， 当时，，令得函数在上只有一个零点，当1时，，满足图象，故选项正确； 对于选项，定义域为，且，是偶函数， 当时，，满足图象，故选项正确. 故选:BC. 三、填空题（共3小题） 12. 在中，已知，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简，即可求出，从而得到，从而将转化为三角函数，再利用辅助角公式计算可得. 【详解】因为， 所以， 即，所以， 所以，又，所以，则， 所以 ， 取为锐角，其中，，因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出的值，从而将转化为的三角函数，结合辅助角公式求出最大值. 13. 已知定义在R上的函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得，再利用倒序相加法即可求解. 【详解】由，得， 所以， 设, , 由，得 即，于是有，解得， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式成立的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断的对称性，然后利用导数讨论其单调性，结合图象即可求解. 【详解】由得的定义域为， 因为 ， ， 所以，所以的图象关于对称. 记， 当时，由复合函数单调性易知单调递增， 记，则 记，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增， 所以上单调递增， 综上，在上单调递增，图象关于对称 由图可知，要使，必有， 两边平方整理得，解得， 又，，得或， 所以的解集为. 故答案为： 【点睛】解不等式问题，主要利用函数单调性、周期性、奇偶性等函数性质，结合图象求解.本题难点在于从对称性猜测的对称性，然后利用导数求单调区间，再结合图象求解即可. 四、解答题（共5小题） 15. 对于函数，若实数满足，则称是的不动点；若实数满足，则称是的稳定点.若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么 （1）若，分别求的所有不动点和稳定点； （2）若，且，求的范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别解方程、，可得出函数的不动点和稳定点； （2）由，可知方程有实根，可得出，由可得出，由，可知方程一定有实根且不是的解，求出的范围，考虑方程有实根时，求出的值，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，由得，解得， ， 所以的不动点为，； 由，可得，即， 显然、为方程的根， 所以上述四次方程必有因式，可得， 解得， ，，， 所以的稳定点为， ，，. 【小问2详解】 解：因为，所以方程有实根，即有实根， 所以或，解得. 若，则，所以，方程的根即为方程的根， 又由得：，即， 由（1）知，故方程左边含有因式， 所以， 又，所以方程一定有实根且不是的解（#）， ①，此时，矛盾； ②，即， 当方程有实根时， 考虑（#）否定：方程的根也是是方程的解， 则有，代入方程得，故， 将代入方程，得，，所以（#）中. 综上：的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求；求稳定点，就去求，完全根据定义去处理问题.需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样. 16. 已知函数（常数）． （1）求的定义域； （2）判断函数的单调性； （3）当满足什么关系时，在上恒取正值？ 【答案】（1） （2）增函数 （3） 【解析】 【分析】（1）由真数大于零，求其定义域． （2）利用指数、对数函数的性质判断单调性，结合复合函数的单调性即可求解. （3）利用（2）的结论，求a，b满足的关系式． 【小问1详解】 由，得， 由，得，故， 即函数的定义域为． 【小问2详解】 由（1）知的定义域为． ∵，∴函数在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数， 又函数在上是增函数， 由复合函数的单调性可知：在上是增函数. 【小问3详解】 由（2）知在上是增函数， ∴在上也是增函数． ∴当时，． ∴只需，即， 即.故当时， 在上恒取正值 17. 已知幂函数的图像关于轴对称，且． （1）求的值； （2）已知（且）在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到，再结合得到或，最后利用对称性得到； （2）根据复合函数的单调性分和两种情况讨论求的范围即可. 【小问1详解】 由，知，得，又， 所以或， 当时，，图像不关于轴对称，舍； 当时，，图像关于轴对称， 所以的值为1，； 【小问2详解】 ，由复合函数的单调性，知 ①时，严格增，且，所以且， 解得， ②时，严格减，且， 所以且，无解， 综上，实数的取值范围是． 18. 已知，，对任意的实数，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质，结合，即可得证； （2）由对正数和，证得，进而得到，两端次方，即可得证. 【小问1详解】 证明：因为，，都是正数且，，可得， 所以，也是正数． 又因为， 即得． 【小问2详解】 证明：由于对正数和，可得， 故，则， 从而， 两端次方得． 19. 中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系为：当时，是的二次函数；当时，．测得数据如表（部分） （单位：克） 0 1 2 9 … 0 3 … （1）求关于的函数关系式； （2）求函数的最大值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）当时，设，利用表格数据求解；当时，由，利用表格数据求解； （2）当时，利用二次函数的性质求解；当时，利用指数函数的单调性求解. 【小问1详解】 当时，由题意，设， 由题中表格数据可得，，解得， 所以当时，． 当时，， 由题中表格数据可得，，解得， 所以当时，． 综上，． 【小问2详解】 当时，， 所以当时，函数取得最大值，为4； 在上单调递减，所以的最大值为， 因为，所以函数的最大值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中高一上一月期末模拟考试数学试题 一、单选题（共8小题） 1. 存函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根为，方程的根为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形（正方形的顶点A和点P重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为（ ） A 2π B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”．若函数（，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面上的线段l及点P，任取l上的一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作，若曲线C是边长为4的等边三角形，则点集所表示的图形面积为（ ） A. B. C D. 二、多选题（共3小题） 9. —般地,若函数的定义域为,值域为,则称为的“倍跟随区间”;特别地,若函数的定义域为,值域也为,则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是 A. 若为的跟随区间,则 B. 函数不存在跟随区间 C. 若函数存在跟随区间,则 D. 二次函数存在“3倍跟随区间” 10. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 当时，的值域是 D. 当时， 11. 如图所示为函数的图像，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12. 在中，已知，则的最大值为___________. 13. 已知定义在R上的函数，则___________. 14. 已知函数，则不等式成立的取值范围是______． 四、解答题（共5小题） 15. 对于函数，若实数满足，则称是的不动点；若实数满足，则称是的稳定点.若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么 （1）若，分别求的所有不动点和稳定点； （2）若，且，求的范围. 16. 已知函数（常数）． （1）求的定义域； （2）判断函数的单调性； （3）当满足什么关系时，在上恒取正值？ 17. 已知幂函数的图像关于轴对称，且． （1）求的值； （2）已知（且）在区间上是严格增函数，求实数的取值范围． 18. 已知，，对任意的实数，求证： （1）； （2）． 19. 中国钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系为：当时，是的二次函数；当时，．测得数据如表（部分） （单位：克） 0 1 2 9 … 0 3 … （1）求关于的函数关系式； （2）求函数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $