精品解析：河北省秦皇岛市百师联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年高二数学学科 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线l的斜率. 2. 如图，在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. C. D. 与重合 【答案】C 【解析】 【分析】直接用法向量的垂直关系来判断两个平面的垂直可得. 【详解】因为平面，的法向量分别是，， 所以， 所以，因此. 4. 已知直线，向量是该直线的一个方向向量，则实数（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线方向向量与法向量垂直的性质，通过向量点积为0求解参数. 【详解】直线的一个法向量为， 已知是该直线的方向向量， 可得，即，解得. 5. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 6. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 7. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用坐标法求线面距，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过计算，从而得出平面，将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用点面距的公式计算得出答案 【详解】在直三棱柱中，平面， 又， 以为原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则 ，即，令，， 所以平面的法向量为， ，， 又平面，平面 设直线到平面的距离为，则 . 8. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量，的夹角是钝角 C. 已知，，则在上的投影向量的长度为 D. 设是空间的一个基底，则不是空间的一个基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用点坐标的对称求解；B选项，利用向量的夹角取值范围求解；C选项，根据投影向量的长度计算公式求解；D选项，利用基底的定义求解. 【详解】A选项，点关于平面对称的点的坐标是，所以A选项正确； B选项，当与反向共线时，时，但向量，的夹角是不是钝角，所以B选项错误； C选项，在上的投影向量的长度为，所以C选项正确； D选项，令，解得：，即：存在， 使得，所以三个向量共面，则不能作为基底，所以D选项正确. 10. 已知直线和直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线始终过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，直线始终不过第三象限 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线系方程求出直线所过定点判定A；由两直线平行与系数的关系列式求得值判断B；由两直线垂直与系数的关系列式求得值判断C，求出截距判断D即可. 【详解】对于A，由，即， 由，解得，所以始终过定点，故A正确； 对于B，由，得，解得或， 当时，，，两直线重合，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意. 综上所述，，故B正确； 对于C，由，得，解得或，故C错误； 对于D，当时，， 则直线在轴上的截距为，因此直线过第一、二、三象限，故D错误． 11. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，建立，建立空间直角坐标系，得到，设直线与所成角为，利用得到答案；B选项，证明出，得到线面平行；C选项，计算出，得到垂直关系；D选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 则， 设直线与所成角为， 故， 直线与所成角的余弦值为，A错误； B选项，，分别为棱，的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，B正确； C选项，， 故， 故，故，C正确； D选项，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 其中，设直线与平面所成角的大小为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则=_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，即，解得， 所以，，所以. 13. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 14. 已知直线过点，且与直线平行，交轴、轴于，两点，为坐标原点，则的最小面积为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形面积公式结合基本不等式求解. 【详解】由直线平行关系，可设过点的直线方程为：，则，， 因为，所以，， ， 当且仅当，即：时等号成立，此时的最小面积为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过，两点． （1）求直线的方程； （2）已知直线过点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两点坐标得到直线方程的两点式，化为一般式； （2）由及方程设出带参数的方程，代入点求出参数得到方程. 【小问1详解】 因为直线过点，所以直线方程为， 整理得. 【小问2详解】 由（1）直线，因为，所以可设， 又直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 16. 已知点，，，． （1）试判断直线和直线的位置关系； （2）试判定四边形的形状． 【答案】（1）. （2）四边形为直角梯形. 【解析】 【分析】（1）求出可得两直线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【小问1详解】 由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即. 【小问2详解】 因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 17. 如图，在长方体中，，，．（用向量方法解答）. （1）求证:平面； （2）已知P为线段的中点，求证：平面． 【答案】（1）由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）由题意 因为是线段的中点，所以于是 由（1）可取平面的法向量，且 所以直线的方向向量与平面的法向量垂直． 又平面的方程可写为而点不满足该方程，所以不在平面内． 因此平面. 【解析】 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）求出的坐标，验证与平面的法向量垂直，并说明直线不在该平面内． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 18. 如图，为圆柱的底面圆O的内接三角形，为圆O的直径，是母线． （1）求证：平面平面； （2）若，求三棱锥的体积； （3）若，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）由为圆的直径，所以，因为是圆柱的母线，所以平面， 又平面，所以； 又平面，平面， 所以平面； 又平面， 所以平面平面. （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明平面平面； （2）利用三棱锥的体积公式求体积； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以，又平面， 所以三棱锥的体积. 【小问3详解】 如图所示，以点为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系. 不妨设，则，所以， 所以， 设平面法向量为， 则，即， 令，则平面的一个法向量为. 因为平面，则平面的一个法向量为； 设二面角为， , 所以二面角的余弦值为. 19. 如图，在三棱锥中，平面，点在棱上，且为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：以为原点，以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则 方法一： . . 平面 平面. （证明中两组均可） 方法二：设是平面的一个法向量 取，得. ，即， 平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）以为原点，以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明线面垂直； （2）用空间向量法求二面角； （3）假设点存在，设，由求线面角的空间向量法求得值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为平面的一个法向量， ，令，则， . 由（1）可知是平面的一个法向量.（用均可） 设平面与平面的夹角为 平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在点满足题意，设， 设直线与平面所成角为，则 解得. 又，得，所以的值为. 所以存在点满足题意且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高二数学学科 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. C. D. 与重合 4. 已知直线，向量是该直线的一个方向向量，则实数（ ） A. B. 10 C. D. 5. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为 （ ） A. B. C. D. 8. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量，的夹角是钝角 C. 已知，，则在上的投影向量的长度为 D. 设是空间的一个基底，则不是空间的一个基底 10. 已知直线和直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线始终过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，直线始终不过第三象限 11. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则=_______． 13. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 14. 已知直线过点，且与直线平行，交轴、轴于，两点，为坐标原点，则的最小面积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过，两点． （1）求直线的方程； （2）已知直线过点，且，求直线的方程． 16. 已知点，，，． （1）试判断直线和直线的位置关系； （2）试判定四边形的形状． 17. 如图，在长方体中，，，．（用向量方法解答）. （1）求证:平面； （2）已知P为线段的中点，求证：平面． 18. 如图，为圆柱的底面圆O的内接三角形，为圆O的直径，是母线． （1）求证：平面平面； （2）若，求三棱锥的体积； （3）若，，求二面角的余弦值． 19. 如图，在三棱锥中，平面，点在棱上，且为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $