专题09勾股定理的应用期中复习讲义 (核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

专题09勾股定理的应用期中复习讲义 1.能够从实际情境中抽象出直角三角形模型，分清已知边、未知边，正确选用勾股定理进行边长计算。 2.掌握常见应用模型：梯子滑动问题、航海方位问题、折叠求边长、最短路径问题（立体图形展开），熟练完成立体图形的平面展开，利用 “两点之间线段最短” 结合勾股定理求最短距离。 3.会结合勾股定理逆定理，先判定直角，再解决实际测量、定位类问题。 4.学会用等面积法，借助勾股定理求直角三角形斜边上的高。 5.能处理含无理数结果的实际问题，按要求进行近似取值，理解结果的实际意义。 读懂方位角、仰角俯角等条件，准确画出示意图，标注已知条件，把文字条件转化为几何图形。 6.体会建模、转化思想，把生活问题转化为直角三角形计算问题；遇到没有直角的图形，会添加辅助线构造直角三角形。 7.分清易错点：立体展开时注意展开方式不唯一，需要分类讨论；审题区分是用勾股定理还是逆定理；求出的结果要符合实际，长度不能为负。 题型 考察方向 难度 题型一 求梯子滑落高度 ★★ 题型二 求旗杆高度 ★★ 题型三 求小鸟飞行距离 ★★ 题型四 求大树折断前的高度 ★★ 题型五 解决水杯中筷子问题 ★★★ 题型六 解决航海问题 ★★★ 题型七 求河宽 ★★ 题型八 求台阶上地毯长度 ★★ 题型九 判断汽车是否超速 ★★★ 题型十 判断是否受台风影响 ★★★★ 题型十一 选址使到两地距离相等 ★★★ 题型十二 求最短路径 ★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：核心定理回顾 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若直角三角形的两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，则： a²+b²=c² 前提条件：必须是直角三角形；c 一定是最长边（斜边）。 变形公式：a²=c²-b²，b²=c²-a² 勾股定理逆定理：在一个三角形中，如果两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。多用于先判定直角，再进行实际计算。 知识点02：解题总思路：实际问题建模 勾股定理应用题通用步骤 1.审题画图：根据题意画出几何示意图，标注已知长度、角度；方位、高度、宽度类题目一定要规范作图。 2.找直角：从图中找出直角，没有直角则作辅助线（作垂线）构造直角三角形。 3.定三边：分清直角边、斜边，设未知数表示未知线段。 4.列方程：利用 a²+b²=c² 建立等式求解。 5.检验作答：线段长度为正数，舍去负根，结合实际题意写结论。 知识点03：常见模型分类 模型 1：梯子滑动模型 特点：梯子长度不变（斜边固定），梯子底部滑动、顶端上下移动，两条直角边同步变化。 关键点：梯子长为斜边，墙面与地面互相垂直。 易错：滑动前后是两个不同的直角三角形，需要分开计算。 模型 2：折断类模型（大树、电线杆折断） 特点：折断的上半部分为斜边，剩余直立部分、树根到落点的距离为两条直角边。 所求量：折断前总高度 = 直立剩余高度 + 折断斜段长度。 模型 3：高度类模型（旗杆高度） 常搭配绳子条件：拉直的绳子为斜边，旗杆竖直、地面水平构成直角；常设旗杆高为 x，绳子长为 x 加上多出的长度，列方程求解。 模型 4：水杯筷子模型 圆柱水杯内斜放筷子：水杯底面直径、水杯高度为直角边，杯内筷子长度为斜边； 筷子总长 = 杯中斜边长度 + 露出杯口长度。 模型 5：台阶地毯模型 台阶铺地毯：地毯水平总长度 = 所有台阶水平宽度之和，竖直总长度 = 所有台阶高度之和； 地毯总长 = 水平总长 + 竖直总长。 重点提醒：地毯长度不是台阶斜面长度，是高频易错点。 模型 6：航海、方位问题 结合方位角（北偏东、南偏西等），两条航线互相垂直，构造直角三角形求两点距离； 注意：先根据方位判断夹角是否为 90°，不确定时先用逆定理验证直角。 模型 7：最短路径模型（立体展开） 适用：圆柱、长方体表面两点最短距离 核心原理：立体图形展开为平面图形，两点之间线段最短，再用勾股定理计算线段长。 易错提醒：长方体展开方式不止一种，需要分类讨论，算出全部结果后取最小值。 模型 8：选址距离相等问题 在直线上找一点，到两个定点距离相等。常设未知数，分别表示两个直角三角形的斜边，利用斜边相等列方程。 模型 9：影响范围类（台风、噪音） 核心：计算定点到路线的垂直距离，和影响半径对比；垂线段＜半径：受影响； 垂线段≥半径：不受影响。常结合勾股求垂线段、受影响路段长度。 模型 10：测速类（汽车是否超速） 给出路段距离、行驶时间，先由勾股算出路程，再计算速度，和限速对比判断是否超速 知识点04：常用方法 方程思想：未知边较多时，设未知数，依靠勾股定理建立方程，为本节最核心方法 构造法：题目无直角，作垂线构造直角三角形 分类讨论思想：斜边不确定；立体图形不同展开方式 等面积法：直角三角形面积两种算法，用来求斜边上的高 S=ab= c・h，推导：h= 知识点05：期中高频易错点 1.不判定直角就直接套用勾股定理 2.分不清斜边，直接把较长直角边当作斜边代入公式 3.台阶地毯问题，误把斜面长度当成地毯长度 4.立体最短路径只算一种展开情况，出现漏解 5.解方程得到负数长度没有舍去，不符合实际意义 6.方位题画图错误，判断错垂直关系 7.逆定理使用时，没有选择最长边去验证平方关系 题型一、求梯子滑落高度 1．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7米，若云梯的顶端下滑4米，求云梯的底端水平滑动的距离． 【答案】8米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 需要根据勾股定理求出云梯顶端距地面高度，即可得出下滑4米后的高度，再根据勾股定理此时云梯底端离墙距离，然后求差即可． 【详解】解：初始状态：云梯顶端距地面高度： （米）； 顶端下滑4米后，距地面高度： （米）； 此时云梯底端离墙距离： （米）， 底端水平滑动距离：（米）． 答：云梯的底端水平滑动的距离为8米． 2．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动多少米？ 【答案】云梯的底端在水平方向滑动了 【分析】利用勾股定理求出，的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∵云梯的顶端A下滑了4m至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴， 答：云梯的底端在水平方向滑动了． 3．如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【详解】（1）解：在中， 米，米，米， （米）， （米）， 答：处与地面的距离是米； （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米）， （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 题型二、求旗杆高度 4．如图，一根旗杆高，旗杆顶部A与地面一个固定点B之间要拉一根直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是，一工人准备了一根长为的铁索．你认为这一铁索的长度够吗？ 【答案】这一铁索的长度不够 【分析】根据勾股定理求出，再将的长与铁索的长的平方进行比较即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴这一铁索的长度不够． 5．如图，枣庄环城绿道是市民休闲健身的好去处，为方便大家夜间出行，在绿道旁加装了照明灯．某兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，借助一根长的竹竿来进行测量，已知：灯板垂直地面于点O，线段，表示同一根竹竿．设计方案如下： ①将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面的点A处，测得； ②再将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面的点B处，测得． 根据上面测量的数据，回答下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理即可求得的长度； （2）先利用勾股定理求得的长度，再用（1）的结论即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意可知， 在中，，， ∴． （2）解：在中，，， ∴， ∴． 6．在综合实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度（旗杆与水平底面AG垂直）．如图，在A处用测角仪（离地高度米）测得旗杆顶端的仰角为，朝旗杆方向前进24米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为． (1)试说明是等腰三角形； (2)求旗杆的高度； (3)试求出线段的长（）． 【答案】(1)见解析 (2)13.5米 (3)44.76米 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据三角形外角的性质求出，则可得出，然后根据等角对等边得出，即可得证； （2）根据含角的直角三角形的性质求出米，即可求解； （3）在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：根据题意，得米，米，， ∵， ∴米， 又， ∴米， ∴米， 即旗杆的高度为13.5米； （3）解：在中，根据勾股定理，得米， ∴米， 即线段的长为44.76米． 题型三、求小鸟飞行距离 7．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【答案】小鸟至少飞行了10米 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米， 过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB， ∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米）， ∴AE=AC-EC=10-4=6（米）， 在中，（米）， 答：小鸟至少飞行了10米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键． 8．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 9．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 【答案】(1)13.7米 (2)还需放出风筝线14米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解； （2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：米， 在中，由勾股定理得（米）， 所以（米）． （2）解：由题意得米， 因为米， 故米， 在中，（米）， 所以（米）， 故还需放出风筝线14米． 题型四、求大树折断前的高度 10．如图，一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端刚好落在地上，求此处离树底部多远． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理计算边长． 先确定折断后形成的直角三角形的直角边（树高残留部分）和斜边（折断部分长度），再用勾股定理求出另一条直角边（树顶端到树底部的距离）． 【详解】解：由题意，树高，离地面处折断， 则折断部分长度为， 设树顶端到树底部的距离为， 树残留部分与地面垂直， 由勾股定理得：， 即， （舍去负根）． 答：此处离树底部远． 11．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后段的高度为多少？ 【答案】折断后段的高度为尺 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，读懂题意，运用方程思想是解决问题的关键． 设尺，则斜边尺，根据勾股定理得：，解方程即可解决问题． 【详解】解：设尺，则斜边尺， 在中，， ， 解得：， 答：折断后段的高度为尺． 12．一棵高12的大树被折断，折断处A距地面的距离（点为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部的距离为，点D在的延长线上，求大树顶端着地处到小轿车的距离．    【答案】大树顶端着地处到小轿车的距离为 【分析】根据题意，，，然后根据勾股定理求得，即可获得答案．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， 故大树顶端着地处B到小轿车的距离为． 题型五、解决水杯中筷子问题 13．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理的应用，在中和中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，因为， 所以． 在中， 因为， 所以， 所以． 14．装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知电梯的长、宽、高分别是1.5m，1.5m，2.2m，那么一根3.1m长的木条能否放入电梯内？ 【答案】不能 【分析】如详解图，把电梯看作长方体，利用勾股定理求出其最长对角线的长，与木条的长进行比较即可求得结果． 【详解】 解：由题意得：是电梯里最长的对角线， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 木条长的平方， 木条长的平方， 木条长大于， 答：木条不能放入电梯内． 15．王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网．如图，鱼池的截面形如长方形，点B与点C之间的距离．池子正中央的支撑杆垂直于鱼池底部且比高出（即于点O，于点E，），为同样大小的遮阳网，，一根与同规格长度的支撑杆斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且，图中所有点均在同一平面内．求支撑杆的长． 【答案】 【分析】求出，，设，得到，，，在中，，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：∵，于点E， ∴， 设，则， ∵一根与同规格长度的支撑杆斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且， ∴， 在中，， 即， 解得 即支撑杆的长为． 题型六、解决航海问题 16．如图，一艘轮船以16海里时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里时的速度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口后，相距多远？ 【答案】30海里 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，方向角，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【详解】解：连接， 由题意得，海里，海里， 在中，， 由勾股定理得， ∴， （海里）． 答：两船后相距30海里． 17．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 【答案】此时灯塔与客轮的距离为 【分析】先求出，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意得：，，， 在中，由勾股定理得：． 答：此时灯塔与客轮的距离为． 18．如图，小岛在码头正东方向的海里处，轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶，同时，轮船乙从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．两艘轮船出发多久时，它们之间的直线距离为海里？ 【答案】1小时或小时 【分析】设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意可得，然后解方程即可． 【详解】解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意可得， 整理得， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里． 题型七、求河宽 19．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设米，则米，根据勾股定理得出，求出即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：设米，则米， 在中，，， 即， 解得：， 即米， 答．该河的宽度为75米． 20．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 21．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 【答案】(1) 证明：， ∵， ∴, ∴ ， ∴． (2) 可以安全通过， 理由：取中点，由题知：， 过点作交桥洞于点，连接，如下图所示： ∴， ∴在中，， ∴， ∴可以安全通过． 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据面积公式计算，可证出勾股定理； （2）过点作交桥洞于点，连接，结合勾股定理求出的长度，计算其与水面的高度，进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型八、求台阶上地毯长度 22．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 23．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【答案】米 【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 24．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 【答案】(1)①17，②16，③ (2)， (3)81 【分析】（1）观察表格可得三边满足，，，代入相应，即可求出空格． （2）用勾股定理和完全平方公式验证． （3）“最短边可种株花”说明最短边长为米；由于必为偶数，最短边只能是，从而列方程求出，，再按“封闭图形种花”模型求总株数． 【详解】（1）解：，，， 当，时，， ①； 当，时，， ②； 当，时，， ③． （2）解：，且， ， ， ， ， ，． （3）解：最短边可种株花，且两端都种， 最短边长为（米）， 为偶数，而为奇数， 最短边为，即， ， ， ，为正整数且， ，， 解得：，， ，， 三边长分别为米、24米、25米， 每边种花数为边长加， 三边合计（株）， 三个顶点各被重复计算一次， 总花数（株）． 题型九、判断汽车是否超速 25．如图，直线是一条公路，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C．某次从点C观测到一辆车从点A行驶到点B，过点C作于点H，测得，，，求这辆车行驶的距离．（结果保留根号） 【答案】 【分析】对和运用勾股定理求解即可． 【详解】解：， 与均为直角三角形， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴ ，              在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ． 答：这辆车行驶的距离为． 26．在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距；过了，测得汽车与他相距．你能帮王叔叔计算蓝方汽车这的平均速度吗？（分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？） 【答案】 蓝方汽车这的平均速度为 【分析】过王叔叔的位置作公路的垂线段，结合两次测量的距离构造直角三角形，利用勾股定理求出汽车行驶的路程，进而计算平均速度． 【详解】解：设王叔叔的位置为点，东西向公路为直线， 过点作，垂足为点，设后汽车的位置为点，点，均在直线上， 由题意得，， ∵， ∴为直角三角形，， 在中，，， ∴（） ∴汽车内行驶的路程， ∴平均速度为（）， 答：蓝方汽车这的平均速度为． 27．如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 题型十、判断是否受台风影响 28．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1) 解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）略 （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 29．拖拉机在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一辆拖拉机沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A、B的距离分别为和，，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受拖拉机的噪声影响吗？为什么？ (3)若拖拉机的行驶速度为每分钟，则拖拉机的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)会受噪声影响， 理由如下： 如图，过点作于点． ， ． 拖拉机周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟 【分析】（1）依据勾股定理判定是直角三角形，然后得到度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：如图，在上取一点，使，连接， ， 当拖拉机在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在Rt中，， （分钟）． 答：拖拉机产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． 30．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，， ∴， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理求得，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 答：台风影响海港持续的时间为． 题型十一、选址使到两地距离相等 31．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 32．如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等． (1)站应建在站多少处？ (2)求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)平方千米 【分析】（1）由题意可知，根据勾股定理得到，设，求出x的值即可； （2）证明，得到，，可知即，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； （2）解：，，， ∴， ，， ∵， ， ， ， 两村与土特产品收购站围成的三角形的面积为：平方千米． 33．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站P，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式的最小值为________． ②代数式的最大值为________． 【答案】(1)千米 (2)千米 (3)①；②10． 【分析】（1）连接，过点作交于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）①参考（1）的几何模型，构造，，垂足分别为、，其中，，，，，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出，得出点、、三点共线时，的长就是代数式的最小值，借助勾股定理求出的长即可求解； ②构造与，其中，，，且，过点作于点，连接，根据勾股定理得出，借助三角形的三边关系得出当点、、三点共线时，的长就是代数式的最大值，借助勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， 则四边形是长方形， 故千米，（千米）， 在中，（千米）． （2）解：由题意可知， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为千米． （3）解：①如图，，，垂足分别为、，其中，，，，， 作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作，交的延长线于点， 则四边形是长方形，，； ∵点、点关于对称， ∴， 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最小值，即为求的最小值． 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长； 即此时的长就是代数式的最小值． 在中，，， 故， 故代数式的最小值为． ②如图，作与，其中，，，且， 过点作于点，连接， 则四边形是长方形，，，； 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最大值，即为求的最大值． 在中，； 如图，当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长； 即此时的长就是代数式的最大值． 在中，， 故代数式的最大值为． 题型十二、求最短路径 34．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 35．如图，一个体积为的正方体容器内，外表面点A位置上有一只蜘蛛，外表面点B上有一只蚊子． (1)正方体的棱长为_____； (2)如果蜘蛛想吃到蚊子，求蜘蛛至少要爬行多少厘米． (3)现有一支长的竹签，这支竹签能全部放进正方体容器内部吗？请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3) 一支长的竹签不能全部放进正方体容器内部，理由如下： 如图所示，在中， ，， ∴ 在中，，， ∴ ∴能放进正方体内的竹签的最大长度为， ∵， ∴， ∴一支长的竹签不能全部放进正方体容器内部． 【分析】本题主要考查了一个数的立方根，勾股定理等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据正方体体积计算公式求解即可； （2）将正方体沿着其一条棱所在的直线展开，根据两点之间线段最短，再结合勾股定理求解即可； （3）根据题意找到能放进正方体内的竹签的最长的长度的情形，运用两次勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该正方体的棱长为； 故答案为：3 （2）解：如图所示，将正方体沿着其一条棱所在的直线展开， 由两点之间线段最短可得，线段为蜘蛛爬行的最短路线． 在中，，， ∴， ∴蜘蛛爬行的最短路径为； （3）略 36．如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知三点都在直线l上，． (1)的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？ (2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行到达点D，若从点D游至攀梯A，求的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)的长是攀梯A到泳道l的最近距离 (2) 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理，推导出，即，由垂线段最短，得到的长是攀梯A到泳道l的最近距离，即可解答； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：的长是攀梯A到泳道l的最近距离．理由如下： 在中， ， ，即， 由垂线段最短， 的长为攀梯A到泳道l的最近距离． （2）， ． 在中， ． 答：的长度为． 37．如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)解：如图： (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09勾股定理的应用期中复习讲义 1.能够从实际情境中抽象出直角三角形模型，分清已知边、未知边，正确选用勾股定理进行边长计算。 2.掌握常见应用模型：梯子滑动问题、航海方位问题、折叠求边长、最短路径问题（立体图形展开），熟练完成立体图形的平面展开，利用 “两点之间线段最短” 结合勾股定理求最短距离。 3.会结合勾股定理逆定理，先判定直角，再解决实际测量、定位类问题。 4.学会用等面积法，借助勾股定理求直角三角形斜边上的高。 5.能处理含无理数结果的实际问题，按要求进行近似取值，理解结果的实际意义。 读懂方位角、仰角俯角等条件，准确画出示意图，标注已知条件，把文字条件转化为几何图形。 6.体会建模、转化思想，把生活问题转化为直角三角形计算问题；遇到没有直角的图形，会添加辅助线构造直角三角形。 7.分清易错点：立体展开时注意展开方式不唯一，需要分类讨论；审题区分是用勾股定理还是逆定理；求出的结果要符合实际，长度不能为负。 题型 考察方向 难度 题型一 求梯子滑落高度 ★★ 题型二 求旗杆高度 ★★ 题型三 求小鸟飞行距离 ★★ 题型四 求大树折断前的高度 ★★ 题型五 解决水杯中筷子问题 ★★★ 题型六 解决航海问题 ★★★ 题型七 求河宽 ★★ 题型八 求台阶上地毯长度 ★★ 题型九 判断汽车是否超速 ★★★ 题型十 判断是否受台风影响 ★★★★ 题型十一 选址使到两地距离相等 ★★★ 题型十二 求最短路径 ★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：核心定理回顾 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若直角三角形的两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，则： a²+b²=c² 前提条件：必须是直角三角形；c 一定是最长边（斜边）。 变形公式：a²=c²-b²，b²=c²-a² 勾股定理逆定理：在一个三角形中，如果两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。多用于先判定直角，再进行实际计算。 知识点02：解题总思路：实际问题建模 勾股定理应用题通用步骤 1.审题画图：根据题意画出几何示意图，标注已知长度、角度；方位、高度、宽度类题目一定要规范作图。 2.找直角：从图中找出直角，没有直角则作辅助线（作垂线）构造直角三角形。 3.定三边：分清直角边、斜边，设未知数表示未知线段。 4.列方程：利用 a²+b²=c² 建立等式求解。 5.检验作答：线段长度为正数，舍去负根，结合实际题意写结论。 知识点03：常见模型分类 模型 1：梯子滑动模型 特点：梯子长度不变（斜边固定），梯子底部滑动、顶端上下移动，两条直角边同步变化。 关键点：梯子长为斜边，墙面与地面互相垂直。 易错：滑动前后是两个不同的直角三角形，需要分开计算。 模型 2：折断类模型（大树、电线杆折断） 特点：折断的上半部分为斜边，剩余直立部分、树根到落点的距离为两条直角边。 所求量：折断前总高度 = 直立剩余高度 + 折断斜段长度。 模型 3：高度类模型（旗杆高度） 常搭配绳子条件：拉直的绳子为斜边，旗杆竖直、地面水平构成直角；常设旗杆高为 x，绳子长为 x 加上多出的长度，列方程求解。 模型 4：水杯筷子模型 圆柱水杯内斜放筷子：水杯底面直径、水杯高度为直角边，杯内筷子长度为斜边； 筷子总长 = 杯中斜边长度 + 露出杯口长度。 模型 5：台阶地毯模型 台阶铺地毯：地毯水平总长度 = 所有台阶水平宽度之和，竖直总长度 = 所有台阶高度之和； 地毯总长 = 水平总长 + 竖直总长。 重点提醒：地毯长度不是台阶斜面长度，是高频易错点。 模型 6：航海、方位问题 结合方位角（北偏东、南偏西等），两条航线互相垂直，构造直角三角形求两点距离； 注意：先根据方位判断夹角是否为 90°，不确定时先用逆定理验证直角。 模型 7：最短路径模型（立体展开） 适用：圆柱、长方体表面两点最短距离 核心原理：立体图形展开为平面图形，两点之间线段最短，再用勾股定理计算线段长。 易错提醒：长方体展开方式不止一种，需要分类讨论，算出全部结果后取最小值。 模型 8：选址距离相等问题 在直线上找一点，到两个定点距离相等。常设未知数，分别表示两个直角三角形的斜边，利用斜边相等列方程。 模型 9：影响范围类（台风、噪音） 核心：计算定点到路线的垂直距离，和影响半径对比；垂线段＜半径：受影响； 垂线段≥半径：不受影响。常结合勾股求垂线段、受影响路段长度。 模型 10：测速类（汽车是否超速） 给出路段距离、行驶时间，先由勾股算出路程，再计算速度，和限速对比判断是否超速 知识点04：常用方法 方程思想：未知边较多时，设未知数，依靠勾股定理建立方程，为本节最核心方法 构造法：题目无直角，作垂线构造直角三角形 分类讨论思想：斜边不确定；立体图形不同展开方式 等面积法：直角三角形面积两种算法，用来求斜边上的高 S=ab= c・h，推导：h= 知识点05：期中高频易错点 1.不判定直角就直接套用勾股定理 2.分不清斜边，直接把较长直角边当作斜边代入公式 3.台阶地毯问题，误把斜面长度当成地毯长度 4.立体最短路径只算一种展开情况，出现漏解 5.解方程得到负数长度没有舍去，不符合实际意义 6.方位题画图错误，判断错垂直关系 7.逆定理使用时，没有选择最长边去验证平方关系 题型一、求梯子滑落高度 1．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7米，若云梯的顶端下滑4米，求云梯的底端水平滑动的距离． 2．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动多少米？ 3．如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 题型二、求旗杆高度 4．如图，一根旗杆高，旗杆顶部A与地面一个固定点B之间要拉一根直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是，一工人准备了一根长为的铁索．你认为这一铁索的长度够吗？ 5．如图，枣庄环城绿道是市民休闲健身的好去处，为方便大家夜间出行，在绿道旁加装了照明灯．某兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，借助一根长的竹竿来进行测量，已知：灯板垂直地面于点O，线段，表示同一根竹竿．设计方案如下： ①将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面的点A处，测得； ②再将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面的点B处，测得． 根据上面测量的数据，回答下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 6．在综合实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度（旗杆与水平底面AG垂直）．如图，在A处用测角仪（离地高度米）测得旗杆顶端的仰角为，朝旗杆方向前进24米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为． (1)试说明是等腰三角形； (2)求旗杆的高度； (3)试求出线段的长（）． 题型三、求小鸟飞行距离 7．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 8．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 9．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 题型四、求大树折断前的高度 10．如图，一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端刚好落在地上，求此处离树底部多远． 11．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后段的高度为多少？ 12．一棵高12的大树被折断，折断处A距地面的距离（点为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部的距离为，点D在的延长线上，求大树顶端着地处到小轿车的距离．    题型五、解决水杯中筷子问题 13．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 14．装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知电梯的长、宽、高分别是1.5m，1.5m，2.2m，那么一根3.1m长的木条能否放入电梯内？ 15．王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网．如图，鱼池的截面形如长方形，点B与点C之间的距离．池子正中央的支撑杆垂直于鱼池底部且比高出（即于点O，于点E，），为同样大小的遮阳网，，一根与同规格长度的支撑杆斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且，图中所有点均在同一平面内．求支撑杆的长． 题型六、解决航海问题 16．如图，一艘轮船以16海里时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里时的速度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口后，相距多远？ 17．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 18．如图，小岛在码头正东方向的海里处，轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶，同时，轮船乙从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．两艘轮船出发多久时，它们之间的直线距离为海里？ 题型七、求河宽 19．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 20．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 21．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 题型八、求台阶上地毯长度 22．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 23．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 24．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 题型九、判断汽车是否超速 25．如图，直线是一条公路，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C．某次从点C观测到一辆车从点A行驶到点B，过点C作于点H，测得，，，求这辆车行驶的距离．（结果保留根号） 26．在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距；过了，测得汽车与他相距．你能帮王叔叔计算蓝方汽车这的平均速度吗？（分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？） 27．如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 题型十、判断是否受台风影响 28．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 29．拖拉机在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一辆拖拉机沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A、B的距离分别为和，，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受拖拉机的噪声影响吗？为什么？ (3)若拖拉机的行驶速度为每分钟，则拖拉机的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 30．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 题型十一、选址使到两地距离相等 31．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 32．如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等． (1)站应建在站多少处？ (2)求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积． 33．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站P，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式的最小值为________． ②代数式的最大值为________． 题型十二、求最短路径 34．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 35．如图，一个体积为的正方体容器内，外表面点A位置上有一只蜘蛛，外表面点B上有一只蚊子． (1)正方体的棱长为_____； (2)如果蜘蛛想吃到蚊子，求蜘蛛至少要爬行多少厘米． (3)现有一支长的竹签，这支竹签能全部放进正方体容器内部吗？请说明理由． 36．如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知三点都在直线l上，． (1)的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？ (2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行到达点D，若从点D游至攀梯A，求的长度（结果保留根号）． 37．如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $