专题01平方根与立方根期中复习讲(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

专题01平方根与立方根期中复习讲义 1.理解平方根、算术平方根、立方根的定义，能区分三者概念；知道平方根的双重非负性，清楚正数、0、负数的平方根、立方根情况。 2.掌握平方根、算术平方根、立方根的符号表示，会读、会写符号，能正确求一个非负数的平方根、算术平方根，求任意实数的立方根。 3.掌握基础性质：()2=a(a0)，=|a|\)，()3=a，=a，=-，能利用性质化简、计算。 4.会估算平方根、立方根的大致范围，能判断无理数在哪两个相邻整数之间，比较含根号实数的大小。 5.已知一个数的平方根或者立方根，会反向求出原数；掌握 “一个正数的两个平方根互为相反数” 这个常用结论，解决参数求值问题。 6.能结合非负数之和为 0（算术平方根、平方、绝对值综合）的题型，利用非负性求解字母的值。 7.分清平方根和立方根的区别：负数没有平方根，但负数有立方根；平方根有两个（0 除外），立方根唯一。 8.易错辨析：区分、；化简忘记加绝对值；混淆平方根、算术平方根；把立方根的符号规则和平方根混淆。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 ★★★ 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★★ 题型六 算术平方根的实际应用 ★★★ 题型七 平方根概念理解 ★ 题型八 求一个数的平方根 ★ 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★ 题型十 利用平方根解方程 ★★★ 题型十一 平方根的应用 ★★★ 题型十二 立方根概念理解 ★ 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型十四 与立方根有关的规律探索 ★★★★ 题型十五 立方根的实际应用 ★★★ 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：平方根与算术平方根 （一）平方根定义 若x2=a，则x叫做a的平方根，记作。 （二）算术平方根（重点） 1.定义：一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；0的算术平方根是0。 2.符号写法：记作，只代表非负根，不带正负号。 3.取值范围：只有a0时，才有意义。 4.双重非负性（本节重中之重，大题必考） 被开方数非负：a0； 算术平方根结果非负：0； 拓展：若|m|+n2+=0，则m=0、n=0、p=0，三类非负数和为 0，各项均为 0。 5.核心公式 ： - （三）平方根三条性质 正数有 2 个平方根，互为相反数； 0的平方根、算术平方根都是0； 负数没有平方根、没有算术平方根。 （四）三个符号区分（易混考点） ：a全部平方根（一正一负）； ：a的算术平方根（仅非负根）； ：a的负平方根。 （五）平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 知识点03：立方根 1. 立方根定义 若x3=a，则x叫做a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”。 2. 立方根核心性质 （1）任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0； （3）重要公式：=-，可把负号提到根号外； （4）恒等式： 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点04.平方根、算术平方根、立方根对比表 对比项目 平方根 算术平方根 立方根 被开方数 a0 a0 全体实数 根的个数 正数 2 个，0 一个，负数无 仅 1 个（非负） 恒有 1 个 符号特征 一正一负 只有非负数 与被开方数同号 特殊值 ±=0 =0 =0、= 知识点05：开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点06：高频易错点 1.求正数平方根只写算术平方根，漏掉负根-； 2.混淆平方根与算术平方根，审题看错、±； 3.忽略要求a0，判定有意义； 4.化简直接写成a，忘记加绝对值； 5.双重非负性题型，漏写被开方数≥0 条件； 6.立方根负号处理错误，不会使用=-； 7.估算根式大小逻辑颠倒。 题型一、求一个数的算术平方根 1．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由算术平方根的非负性排除选项A、B，再立方根验证选项C；最后根据算术平方根的非负性判断选项D即可． 【详解】解：，，故A、B均错误． ，故，C错误． ，D正确． 2．是自然数，若满足，则___________，若，则___________． 【答案】 3或5/5或3 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 对于第一个方程，通过配方化为平方和为零的形式求解； 对于第二个空：先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴且， 解得，． 因此； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵x，y是自然数， ∴，或，． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 故答案为：；3或5． 3．下列等式中：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根和立方根的基本性质，根据定义计算每个等式，统计正确等式的个数即可得到结果． 【详解】解：① ，故①不符合题意； ② ，符合立方根性质，故②符合题意； ③ ，故③不符合题意； ④ ，符合算术平方根性质，故④符合题意； ⑤ ，，等式成立，故⑤符合题意； 综上，正确的等式共3个． 题型二、利用算术平方根的非负性解题 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两非负式和为0则各式均为0，据此求，的值后代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 5．若实数x，y满足，则的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查的是非负数的性质，求解代数式的值，利用非负数的性质，算术平方根和绝对值均非负，和为零则每个部分为零，求出x和y的值，再代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴且． 解得，． ∴， ∴． 故答案为：1 6．在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 题型三、估计算术平方根的取值范围 7．已知是正整数，当取最小值时，的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义和无理数的估算，解题思路是： 表示与的差的绝对值，该值最小等价于正整数最接近，只需估算的大小范围，找到最接近它的正整数即可． 【详解】解：，，且， ， ，，可知更接近，因此更接近， 时，取最小值． 8．估计的值应在（   ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ， 不等式三边同时加2，得， 即， ∴ 的值在到之间． 9．若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 【答案】5 【分析】先根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号化简方程组，求解得到的值，再估算无理数的大小得到整数，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：由 得 ， 根据绝对值的非负性得，即； 当时，， 代入 得 ， 整理得， 由得 ， 解得 ， 因此，代入 得， 将代入得：， 解得， 将代入得， ∵，∴， ∵ ，为整数， ∴， ∴ ． 10．已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，求平方根，首先求出，然后估计的整数部分，然后根据选项即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 题型四、求算术平方根的整数部分和小数部分 11．的整数部分为a，小数部分为b，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先估算出的范围，再求出的值，最后代入求出结果即可． 【详解】解：∵，的整数部分为a，小数部分为b， ∴，， ∴． 12．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先估算的大小范围，得到它的整数部分，再用减去整数部分得到小数部分，最后代入计算结果即可． 【详解】解：因为，，且， 所以， 因为是的整数部分，是的小数部分， 所以，， 将，代入，得 ． 13．观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 【答案】 【分析】根据表格数据确定的取值范围，得到其整数部分的值，计算后，根据立方根的定义求解结果． 【详解】解：由表格可得，，， 的整数部分为 的立方根为，即的立方根为． 题型五、与算术平方根有关的规律探索题 14．已知，，则（   ） A． B． C． D．454 【答案】C 【分析】根据算术平方根的性质，即被开方数扩大为原来的100倍，其算术平方根扩大为原来的10倍，将待求式变形后结合已知条件计算即可 【详解】解：∵，且， ∴ 15．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为________． 【答案】 【分析】观察图形可知，第排有个数，且第排最大的被开方数为．当为奇数时，从左向右被开方数递增；当为偶数时，从左向右被开方数递减．先通过估算平方数确定所在的行数，再根据偶数行的排列规律计算列数，最后代入求值． 【详解】解：由图可知，第排有个数，第排有个数，，第排有个数 前排共有个数 所以第排最大的被开方数为 因为，且 所以位于第排，即 因为为偶数，由图可知偶数排从左向右被开方数递减第排第个数为即 所以 所以． 16．如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A． ， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， 从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， ∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91， 故选B． 【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键． 题型六、算术平方根的实际应用 17．如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为；将瓶子倒放时，空余部分的高度为．则瓶子的底面半径为（   ） A．3cm B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用．设瓶子的底面半径为，根据题意列出方程，求出方程的解即可求解． 【详解】解：设瓶子底面半径为， 根据题意得：， 得， 解得：(负值舍去)， 故瓶子的底面半径为， 故选：B． 18．图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则______，______． 【答案】 2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据图形间的关联分析问题是解题的关键．先根据图形间的关联得到，，从而得到第一空答案；求出大正方形的面积，即可求得第二空答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ； 正方形的面积， ． 故答案为：2；． 19．已知一块面积为的正方形纸片，甲乙两名同学想沿着边的方向裁出一块长方形纸片，设计方案如下；甲方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形；乙方案：能裁出长宽比为，面积为的长方形．对于这两个方案的判断，正确的是（     ） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的应用，理解题意列方程，利用算术平方根的概念求解是解题的关键．分别求得两个方案的长方形的长，与原正方形的边长相比较即可求解． 【详解】 解：正方形纸片的面积为， 正方形的边长为， 小明的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：、， ，即， ， ， 不能裁剪出符合要求的纸片； 小丽的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：、， ，即， ， ，能裁剪出符合要求的纸片． 故选：D． 题型七、平方根概念理解 20．若一个实数的两个平方根分别为和，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与是一个实数的两个平方根， ∴， ∴， ∴． 21．已知字母a、b满足，则的值为__________________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性求参数及裂项相消法求值，熟练掌握算术平方根的非负性及裂项相消法求值是解决问题的关键．根据算术平方根的非负性求出、，将、代入式子后，再利用裂项法对代数式进行化简，即可得解． 【详解】解： ，，， ，， 解得，， 故答案为：． 22．类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（   ） A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是 C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义、能对比平方根与立方根解答是解题的关键．利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根， ∴A选项的结论不符合题意； ∵, ∴，故B选项的结论不符合题意； 任何实数a都有奇数次方根， ∵， ∴，当时，，当时，， ∴C选项的结论不符合题意； ∵当为奇数时，2的次方根随的增大而减小， ∴D选项的结论符合题意， 故选：D． 题型八、求一个数的平方根 23．的平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根． 先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：， ∵， ∴平方根为． 故选：C． 24．已知实数，满足，则值的平方根为__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和平方数的非负性，分别求出和的值，再计算后求其平方根． 【详解】解： 算术平方根，平方数，且 ， 即 ， 解得 ， ， ， 的平方根为，即值的平方根为． 25．“的平方根是”的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根．根据平方根的意义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 即， 故选：A． 题型九、已知一个数的平方根，求这个数 26．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解即可． 【详解】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，根据题意得： ， 即， 解得， 故选：B． 27．已知的平方根是，的立方根是，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根，代数式求值，根据平方根和立方根的定义可得，，进而求出的值，再把的值代入到代数式计算即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 28．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 题型十、利用平方根解方程 29．若， 则x的值为（     ） A．5 B．1 C．5或 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，利用平方根的定义先得一元一次方程，再解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴或． 故选：C． 30．若，则的值为（    ） A．0 B． C．0或2 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方根解方程、立方根，解题的关键是掌握立方根的求解方法．先利用平方根解方程，求出，再代入计算立方根即可． 【详解】解：， 解得， 当时，， 当时，， 综上，的值为0或2， 故选：C． 31．如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 题型十一、平方根的应用 32．做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后．量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意是解本题的关键． 由圆柱的体积公式求出底面半径即可． 【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为， 根据题意得：，即， 即解得：或（舍去）， ∴溢水杯内部的底面半径约为． 故选：C． 33．如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为__________． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据溢出的水的体积等于圆柱的体积建立方程求解即可．弄清题意并列出方程是解题的关键． 【详解】解：烧杯内部的底面半径为， 根据题意，得： ， ∴， ∴或， ∵， ∴ 即烧杯内部的底面半径为． 故答案为：． 34．按照国际标准，A系列纸为长方形．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……，将一张纸按如图所示的方式折叠，据此可以发现，A系列纸的长与宽的关系为（） A．长是宽的2倍 B．长是宽的倍 C．宽是长的倍 D．宽是长的倍 【答案】B 【详解】解：用两张纸，都按照左侧方式，将纸张线沿虚线剪开, 将四块等腰直角三角形形状的纸张，以三角形的斜边为边，以直角边为对角线，按照右侧图形进行拼装，比较两个图形正方形部分的面积，可以得到边长的平方比． 由题意，已知， ， ， 即，A系列纸的长是宽的倍． 故选：B． 题型十二、立方根概念理解 35．“3的立方根”用符号表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意立方根与平方根的符号差异，立方根的根指数3不可省略． 【详解】解：3的立方根用符号表示为． 36．下列说法正确的是（     ） A．27的立方根是 B．没有立方根 C． D．没有意义 【答案】C 【分析】明确立方根核心性质：任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，且满足，逐一分析选项． 【详解】解：选项A，因为，，所以27的立方根仅为3，不是，选项错误，不符合题意； 选项B，因为，所以的立方根为，负数存在立方根，选项错误，不符合题意； 选项C，计算得，，因此成立，选项正确，符合题意； 选项D，根据立方根的性质，负数存在立方根，因此有意义，且，选项错误，不符合题意． 37．若实数m等于它的平方根，实数n等于它的立方根，则的值为（     ） A．0或 B．0或1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据题意结合平方根与立方根的特点求出m，n的值，再代入式子求解即可． 【详解】解：∵实数m等于它的平方根，实数n等于它的立方根， ∴，或， ∴当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为0或． 题型十三、已知一个数的立方根，求这个数 38．若，，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的概念，根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 39．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了，立方根的含义，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 40．已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， ∴， ∴的立方根为：； 故答案为：． 题型十四、与立方根有关的规律探索 41．已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】总结出规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位， ∵， ∴． 42．观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 43．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 【答案】14 【分析】根据“立方”对应的展开式求解的展开式，对应求解的值，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，令，， 则， 故，， 则． 题型十五、立方根的实际应用 44．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的__________倍． 【答案】2 【分析】先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的2倍． 45．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 46．要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为（立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为（    ） A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米 【答案】C 【分析】设底面边长为x分米，则高为分米，根据长方体体积公式列出方程，求出的值即可． 【详解】解：设底面边长为x分米，则高为分米，根据题意得， ， ， 解得， 所以底面边长为4分米， 故选：C 【点睛】本题主要考查了立方根的实际应用，正确列出方程是解答本题的关键． 题型十六、算术平方根和立方根的综合应用 47．下列计算正确的是（     ）． A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解． 【详解】A. ，故原选项计算错误，不合题意； B. ，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键． 48．已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝___． 【答案】4 【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】由题意可得：，， 解得：，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根，．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根． 49．现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 解答题 50．求下列各式中x的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 51．已知的立方根是4，的算术平方根是6． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是4，的算术平方根是6， ∴， ∴，； （2）解：由（1）可知，； ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 52．探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 【答案】(1)5，0，6 (2)a， (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：，，． （2）解：根据算术平方根的非负性，， 当时，； 当时，． （3）解：∵，，，， ∴ ． 53．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【探究】 (1)根据上述等式的规律，再写出一个类似的等式：______________________； 【归纳】 (2)对于任意两个不相等的有理数a，b，若_____________，则，反之也成立； 【应用】 (3)根据（2）的结论：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)0 (3)0 【分析】（1）观察题干的过程，即可作答； （2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答； （3）根据（2）的结论得出，解方程求出x，再求出立方根． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③； ④． ∴写出一个类似的等式为：（答案不唯一）； （2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立； （3）解：与的值互为相反数， ， 解得：， 的立方根是0． 54．“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长． (2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明． (3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2) 解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； (3) 【分析】（1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）略 （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 55．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸……，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽___________． 请根据材料回答下列问题： (1)的小数部分是___________． (2)A5纸的面积是___________平方米．A4纸的长宽___________． (3)按照图2的A系列纸生成过程，经过探究发现，A系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，，） 【答案】(1) (2)， (3)纸的长为，宽为 【分析】（1）根据的整数部分是1解答即可； （2）根据纸的面积依次计算可得答案；再根据折叠的性质得出答案； （3）设纸的宽为，则长为，再依题意得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵，即的整数部分是1， ∴的小数部分是； （2）解：由题意，可知纸的面积是1平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 如图所示，由折叠的性质可得， 由材料一可知， ∴， 即纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， 即 ， ， （负值不合题意，舍去）， ， ， 答：纸的长为，宽为． 56．数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． (1)有多大呢？完成下列问题．在教材中“有多大呢？”的探究活动，有同学是下面这样探究的．我们知道面积是的正方形边长是，且因为，，所以．设，画出示意图一．由面积公式，可得．因为值很小，所以可以忽略不计，则得到，解方程得______（保留到），即______． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到） (3)怎样画出？教材中告诉了如何画的方法，用两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图二．可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图三，类比图二的方法，请你在图三中用实线把它们分割，然后在图四中拼接成-一个新的大正方形．要求：在图三中画出分割线，并在正方形网格图四中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】(1)， (2)，过程： ，， 设，画出示意图， 由面积公式，可得， 值很小，所以可以忽略不计， ， 解方程得：， 即， 黄金分割数； (3) 如图： 【分析】本题考查了正方形的性质，算术平方根，解题的关键是数形结合． （1）根据题意计算即可； （2）由（1）的方法求解即可； （3）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题01平方根与立方根期中复习讲义 ☆ 复习目标 1理解平方根、算术平方根、立方根的定义，能区分三者概念；知道平方根的双重 非负性，清楚正数、0、负数的平方根、立方根情况。 2掌握平方根、算术平方根、立方根的符号表示，会读、会写符号，能正确求一个 非负数的平方根、算术平方根，求任意实数的立方根。 3掌握基础性质：a=aa≥0，冒=la八，a=a,a=a,-a=-a,能利用 性质化简、计算。 4.会估算平方根、立方根的大致范围，能判断无理数在哪两个相邻整数之间，比较 含根号实数的大小。 5.已知一个数的平方根或者立方根，会反向求出原数；掌握“一个正数的两个平 方根互为相反数”这个常用结论，解决参数求值问题。 6能结合非负数之和为0（算术平方根、平方、绝对值综合）的题型，利用非负性 求解字母的值。 7分清平方根和立方根的区别：负数没有平方根，但负数有立方根：平方根有两个 (0除外)，立方根唯一。 8,易错辨析：区分a、±Va;化简a忘记加绝对值：混淆平方根、算术平方 根：把立方根的符号规则和平方根混淆。 ☆ 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★★★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★★ 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 ★★★★ 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 试卷第1页（共3页） ★★★ 题型六 算术平方根的实际应用 题型七 平方根概念理解 题型八 求一个数的平方根 ★★★ 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★ 题型十 利用平方根解方程 ★★★ 题型十一 平方根的应用 题型十二 立方根概念理解 ★★ 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★★★ 题型十四 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型十五 立方根的实际应用 ★★★★ 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★女★★★压轴 ☆ 知识梳理 试卷第2页（共3页） 定义一若正数x=a,则x=V瓜，规定V瓜=0。 双重非负性一a20(被开方数#负)、a≥0（结果非负） 算术平方根 恒等式一 (Wa2=a(a≥0)、a=lal 移位规律一 被开方数移2位，算术平方根同向移1位 定义一 若x2=a.则x为a的平方根.记作士V后 平方根 性质一 正数有2个互为相反数的根，0的平方根是0：负数无平方根 运算 开平方与平方互为逆运卿 平方根与立方根 定义一若x3=a,则x=Va 性质一任意实数都有唯一立方根，正根正、负根负、0根为0 立方根 核心公式一-a=-a 恒等式一（回=a.V石=a(全体实敏适用） 移位规律一被开方数移3位，立方根同向移1位 核心应用 根式有意义、非负性求值、解方程、估真、实际应用题 知识点01：平方根与算术平方根 (一）平方根定义 若x2=a,则x叫做a的平方根，记作±a。 (仁)算术平方根（重点） 1.定义：一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根：0的算术平方根 是0。 2.符号写法：记作Vā，只代表非负根，不带正负号。 3.取值范围：只有a≥0时，a才有意义。 4.双重非负性（本节重中之重，大题必考） 被开方数非负：a≥0； 算术平方根结果非负：Vā≥0； 试卷第3页（共3页） 拓展：若m+n2+p=0,则m=0、n=0、p=0,三类非负数和为0， 各项均为0。 5核心公式： 1.(a)2=a(a≥0) 2.√a2=lal 0 (a≥0)- -a (a<0) (三）)平方根三条性质 正数有2个平方根，互为相反数： 0的平方根、算术平方根都是0： 负数没有平方根、没有算术平方根。 (四)三个符号区分（易混考点） ±a:a全部平方根(-正-负)； Va:a的算术平方根（仅非负根）； -√a:a的负平方根。 (五)平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ±Va Va 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号一正一负 结果一定是非负数C0) 取值范围被开方数a≥0 被开方数a之≥0 试卷第4页（共3页） 对比项目 平方根 算术平方根 1.算术平方根是平方根中的正根： 联系 2 a=0时的平方根和算术平方根都是0 知识点02：开平方运算 1.定义 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2.运算步骤 (1)先判断：确认被开方数a是正数、0还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于a。 (3)写结果： 求平方根：写出±Va。 求算术平方根：写出Vā。 知识点03：立方根 1.立方根定义 若3=a,则x叫做a的立方根（三次方根），记作a,读作“"三次根 号a”。 2.立方根核心性质 (1)任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； 试卷第5页（共3页） (2)正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0； (3)重要公式：-a=-a,可把负号提到根号外： (4)恒等式： 。(3a3=a 。a3=a(无需加绝对值，全体实数成立) 3开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点04.平方根、算术平方根、立方根对比表 对比项目 平方根±a 算术平方根Va 立方根a 被开方数 a≥0 a≥0 全体实数 根的个数 正数2个，0一个，负数无仅1个（非负） 恒有1个 符号特征 一正一负 只有非负数 与被开方数同号 特殊值 ±V0=0 00 0=0、±1±1 知识点05：开平方与开立方的区别。 维度 开平方（平方根） 开立方（位方根） 根指数 2(通常省略不写) 3(绝对不能省) 被开方数 必须是非负数（20) 可以是任意实数（正、负、0） 试卷第6页（共3页） 维度 开平方（平方根） 开立方（位方根） 结果个数 正数有2个（互为相反数） 任何数只有1个 结果符号 一正一负/0 与原数同号（正得正，负得负） 知识点06：高频易错点 1.求正数平方根只写算术平方根，漏掉负根-/ā； 2.混淆平方根与算术平方根，审题看错√a、±√ā； 3.忽略Va要求a≥0，判定-a有意义； 4.化简a直接写成a,忘记加绝对值； 5.双重非负性题型，漏写被开方数20条件： 6.立方根负号处理错误，不会使用-a=-a; 7.估算根式大小逻辑颠倒。 ☆题型精析 题型一、求一个数的算术平方根 1.下列各式正确的是（) A.V(-7)}=-7 B.V196=±14 C.9=-3D.V25 2.名'是自然数，若满足-6x+9+y=0,则+ 一，若 x2+y2=4x+4y-7 x+y= ,则 3.下列等式中：@4=4，②(-2列=-2，③(5列=25，④10=10，⑤ 试卷第7页（共3页） 8=-8 ,其中正确的有(）个. A.2 B.3 C.4 D.5 题型二、利用算术平方根的非负性解题 a-1+V3+b=0 4.已知 则a+b 的值为() A.-3 B.-2 C.-1 D.0 5。若实数，y满足-2+y+3非0，则x+圳m 的值为 6.在数轴上有C,D两点分别表示实数和d,且 2c+d与d+4互为相反数，则 3c-2d的平方根为() A +14 B V14 C.7 D.7 题型三、估计算术平方根的取值范围 7.已知x是正整数， 当-取最小值时，x的值是() A.3 B.4 C.5 D.6 8.估计5+2 值应在() A.8到9之间 B.7到8之间 C.6到7之间 D.5到6 之间 9.若实数x,y同时满 2x-以=4x-2-2y=-3z<V20<z+1(2为整数)，则 x-y+Z= x2=22+32+42 10.已知 则以下对x的估算正确的是() 4.5<x<5.0 B.5.0<h<5.5 c.5.5<<6.0D.60<<65 题型四、求算术平方根的整数部分和小数部分 试卷第8页（共3页） 的整数部分为a,小数部分为b,则 2a+b 为() A. B √11-3 C.6-vi1 D. 3+√ 12已知ab分别是的整数部分和小散部分，.么2+ 的值是() A.10-3 B 3+V13 c.2+3 D 3 13. 观察下面表格： 5 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 25 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 6 V270 根据上表回答问题： 的整数部分为0，求4a 的立方根 题型五、与算术平方根有关的规律探索题 √2.061≈1.436 V20.61≈4.540 √2061≈ 14.已知 ,则 () A.14.36 B.143.6 C.45.4 D.454 15.将石、2、5、V4、…按如图方式排列，若规定x》表示第排从左向右第 个数，若V2028左(a,b) 在 则a-b的值为 1 第1排 452→ 第2排 56万⑧ 第3排 654√32征0→ 第4排 ←一…第5排 a 16.如下表，被开方数a和它的算术平方根 的小数点位置移动符合一定的规律，根据规 律可得m,n的值分别为() a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 试卷第9页（共3页） √a 0.25 0.791 25 79.1 250 791 A. m=0.025, n≈7.91 B m=2.5, n≈7.91 C.m≈7.91，n=2.5 D.m=2.5,n≈0.791 题型六、算术平方根的实际应用 17.如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为100πcm3,瓶内装着 水.当瓶子正放时，瓶内水的高度为l6cm;将瓶子倒放时，空余部分的高度为4cm,则瓶 子的底面半径为() 16 cm A.3cm B.V5em C.2cm D.V3cm 18.图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪 开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边 长为a,大正方形的边长为b,则a= b= 图1 图2 19.已知一块面积为400cm的正方形纸片，甲乙两名同学想沿着边的方向裁出一块长方形 纸片，设计方案如下；甲方案：能裁出长宽比为3：2，面积为300cm的长方形；乙方案： 能裁出长宽比为5：3，面积为150cm的长方形.对于这两个方案的判断，正确的是() A.两人都对 B.两人都不对 试卷第10页（共3页） C.甲对，乙不对 D.乙对，甲不对 题型七、平方根概念理解 20.若一个实数的两个平方根分别为4-m和2m-5,则m的值为() A.1 B.3 C.-3 D.9 21.已知字母ab满足a-1+b-2=0 ,则 1.1 1 1 b+(a+l(b+可+(a+2)6+2+…+a+2021)b+202的值为 22.类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果x”=a,那么x叫a的n次 方根，其中”>1，且”是正整数。例如：因为代 81,所以士3叫81的四次方根，记 (±3)4=8 作： ±81=±3 ,下列结论中正确的是() A.负数a有偶数次方根 B.32的5次方根是±2 2029a2024=a D.当”为奇数时，2的”次方根随” 的增大而减小 题型八、求一个数的平方根 81 23.V16的平方根为() A. B.4 c号 4 D.2 24.已知实数x,y满足-8+(4+=0，则+y值的平方根为 64 8 25. 49的平方根是±气”的表达式正确的是() 试卷第11页（共3页） 64 .8 64 A. -V49 =±9 B.V49 64_8 64 8 C.V49-7 D. V49 =7 题型九、已知一个数的平方根，求这个数 26.一个正数的两个不同的平方根分别是2a-1和-a+3,则a的值为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 27.已知2a+1的平方根是±3,3b-5的立方根是-2，则a-b的值是 28.一个自然数的一个平方根是4，则与它相邻的下一个自然数的平方根是() A.tva+l B a+1 C.a2+1 D ±Va2+1 题型十、利用平方根解方程 29.若r-2=9 则x的值为() A.5 B.1 C.5或-1 D.1或-5 30.若 2a2=32 4-a ,则 的值为() A.0 B.-2 C.0或2 D.0或-2 31.如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成 一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形.若图2中大正方形的 面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为 B A B 图1 图2 图3 题型十一、平方根的应用 试卷第12页（共3页） 32.做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯 48cm3 中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为 小华将铁块从溢水杯中拿出来 后.量得溢水杯的水位下降了0.8cm,则溢水杯内部的底面半径为（π取3）() 2v15 cm B. 4cm C.25em D 6cm 33.如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的 圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为45cm；然后小明将铁块从烧杯中提起至完 全脱离水面，量得烧杯中的水位下降0.6cm.当π≈3时，烧杯内部的底面半径为 cm 34.按照国际标准，A系列纸为长方形.将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸：将A1纸 沿长边对折、裁开，便成A2纸：将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸：将A3纸沿长边 对折、裁开，便成A4纸…，将一张A4纸按如图所示的方式折叠，据此可以发现，A系 列纸的长与宽的关系为() A.长是宽的2倍 B.长是宽的√2倍 C.宽是长的0.5倍 D.宽是长的0.618倍 题型十二、立方根概念理解 35.“3的立方根”用符号表示为() A.±5 E.3 C.3 D. 36.下列说法正确的是() 试卷第13页（共3页） A.27的立方根是±3 B.-8没有立方根 8=8 D -216 没有意义 37.若实数m等于它的平方根，实数n等于它的立方根，则m26-n2的值为() A.0或-1 B.0或1 C.0 D.2 题型十三、已知一个数的立方根，求这个数 38若00214-05981.G=05981 则x的值是() A.0.5981 B.±0.5981 C.0.214 D.0.214 39.若a-4+b+27=0」 ，则(a+b)2023 的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 40,已知2x+l的平方根是，4r-2少+2的立方根是2，则3(x+) 的立方根是。 题型十四、与立方根有关的规律探索 41.已知 0.001=0.1,=1,1000=10 ,由以上规律，解决问题：若 0.5≈0.7937 35≈1.7100 500≈ 则 A.7.937 B.79.37 C.17.100 D.171.00 42.观察下表规律. a 0.008 8 8000 8000000 a 0.2 2 20 200 30.0237≈0.2872 23.7≈ 若 则 43.【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 试卷第14页（共3页) (a+b展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式： (a+b)°=d2+3a2b+3ab2+6 左 右 本积 商OO 平O白O fooeo g@因四d O①⊕⊕团O 乘O因围围因O 【应用体验】 已知x+2)八=r+mr+12x+n,则m+n的值为 题型十五、立方根的实际应用 27m3 44.如图，某港口有一个体积为”的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其 216m 改造为一个体积为 的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的 倍」 45.小亮有一枚体积为125cm的正方体玉石印章，可以放进一个体积为l80cm的长方体木 匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的 长为 cm 46.要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为128L(1L=1立方分米)，使它的 高是底面边长的2倍，则底面边长为() A.2分米 B.3分米 C.4分米 D.5分米 试卷第15页（共3页） 题型十六、算术平方根和立方根的综合应用 47.下列计算正确的是（)， A.-9=3 B.√64=t8 c.7y=-7D. 写 48.己知4+15的算术平方根是3,2-61的立方根是-2，则V6n-4m=一· 49.现将体积是125cm的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n 个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积 是36cm2,若只排放一层，n的最大值是() A.2 B.3 C.4 D.5 解答题 50.求下列各式中x的值. a)16r2=81 (2(x-2}-25=0 3)(4x+1-1=63 F81 51.已知6a+4的立方根是4,3a+b-2的算术平方根是6. (1)求a,b的值： (2)求a2-b的平方根. 52.探究以下问题： (1)【特例探究】 (-6= (2)【规律总结】 试卷第16页（共3页） 对于实数a,当a≥0时，V匠 一当a<0时，匠 (3)【学以致用】 计算： G可G哥4+ 53.【观察】 8+-8=2+(-2)=0 ① ②M+-1+(-1)=0 ③100+100=10+(-10)=0 o语+)- 【探究】 (1)根据上述等式的规律，再写出一个类似的等式： 【归纳】 (2对于任意两个不相等的有理数a,b,若a+b a+b=0 则 ,反之也 成立： 【应用】 /1 3x 1 +x (3)根据(2)的结论：若V 8与V8的值互为相反数，求x的立方根. 54.“动手启智慧，课外展风采”，在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一 张面积为900cm的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作. 图① 图② 试卷第17页（共3页） ()求正方形卡纸的边长， (2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为4：3，裁 出的长方形的面积能是768cm2吗？请通过计算说明。 (3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为 216cm3 求该正方体的表面积. 55.阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个 直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为2×P,其边长√2就是原边长为1的小正方 形的对角线长， 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长 边对折、裁开，便成A1纸：将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对 折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸…，如图2，我们日常 使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的. A2 A0 A1 A 图1 图2 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽= 图3 请根据材料回答下列问题： 0)2的小数部分是 (2)A5纸的面积是 平方米.A4纸的长：宽= (3)按照图2的A系列纸生成过程，经过探究发现，A系列纸有一个固定的特点：每一张纸 的长与宽之比都相等.请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取 试卷第18页（共3页） 整数，V21414.V0.7072≈0.841 56.数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存. 1.4 1.4x x 1.4 1.42 图 图二 图三 图四 02有多大呢完成下列问恩.在教材中。2 有多大呢？”的探究活动，有同学是下面 这样探究的.我们知道面积是2的正方形边长是V2,且因为1.42=1.96,1.52=2.25，所 以14<2<15.设2=14+，国出示意图一，由面积公式，可 x2+2.8x+1.96=2 设 因为x值很小，所以x2可以忽略不计，则得到2.8x+1.96≈2，解方程得x≈一（保留到 0.01),即V2≈ 5-1 (2)黄金分割数2是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在 仿照上面探究。5有多大呢？”的过程，诗你写出探究。5 有多大”的过程，然后计算 5-1 出黄金分割数2的近似值.（结果均保留到0.001） (3)怎样画出 5,教材中告诉了如何画5的方法，用两个面积为的小正方形分别沿对角 线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图二，可以求出大正方形的边长为V2.现有5 个边长为1的小正方形，排列形式如图三，类比图二的方法，请你在图三中用实线把它们 分割，然后在图四中拼接成一个新的大正方形.要求：在图三中画出分割线，并在正方形 试卷第19页（共3页） 网格图四中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为5 试卷第20页（共3页）