陕晋青部分学校2026-2027学年高三上学期10月一轮监测（二）数学试题（B卷）

⑧ 高三数学 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在 本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟,满分150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数=5-i则 A号 C 2 D./2 2.已知f(x)= 3十5 3是定义在(一∞,十∞)上奇函数,则实数k的值为 2 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知数列{an}为等比数列,且a5=2,ag=8,则a7= A.2 B.土2 C.4 D. 4 4.已知平面向量a,b满足|a|=|b=2,|a一b=2√3,则向量a+b在向量b上的投影向 量为 1 A.b B.2b .在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,bc,A-2a=3,M为BC的中点,AM=1, 则b2+c2= 13 2 B.7 C.8 D.6 6.已知数列{an}的通项公式为am=n+1,数列{bn}的通项公式为bn=2-1,数列{a6.}的前 n项和为Sm,则数列{Sn}中不超过2027的项的个数为 A.7 B.9 C.10 D.13 ③高三数学第1页(共4页) 7.已知函数f(x)=aln(x+l)-e'在[0,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为 A.(-∞,1] B.(-o∞,e] C.+o D.[2,+o∞) 8.函数f(x)=e- 3+a+1(-1<a<1)在(-∞,-1)U(-1,+∞)上的零点个数为 x+1 A.0 B.1 C.2 D.3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知全集为R,集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|y=log2[x2+(a+3)x+3a]} (a∈R),则下列结论正确的是 A.若集合B=R,则实数a的取值范围为(一2,4) B.若a<3,且A∩B= ,则实数a的取值范围为(-∞,-5] C.若a=-1,则A∩(CRB)={x|-2<x≤2} D.若a<3,且“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件,则实数a的取值范围为[2,3) 10.已知函数f(x)=√3sinx一3cosx在(a-b,a)上单调递增,则下列结论正确的是 A.函数f(x)的图象关于直线x= 对 Bb<8 C.f(a)的最大值为23 D.f(a)的最小值为-23 11.在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+(b-2c)cosA=0,a=√3,则 下列结论正确的是 AA=日 B.b+c的最大值为23 C.当b取得最大值时,c=1 n-<b-< 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知向量a=(一2,3),b=(t,1),且(a+b)∥b,则实数t的值为 13.若0<x<2,则√x十√2一x的最大值为 14.已知数列{am}为等差数列,a2o22十a2o28=12,则a号十ao4s的最小值为 ,此时 a2027= .(第一空3分,第二空2分) ③高三数学第2页(共4页) 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=2sin(wx+p) w>0,0<9<2 的最小正周期为 ,且函数 f(x)的图象经过点( ,1). (1)求函数f(x)的解析式; (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,方程g(x) a-3(a∈R)在0,] 有解,求实数a的取值范围. 6 16.(15分)已知数列{am}的前n项和为Sn,a1=36,am+1=12√Sm十36. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn= 1,设数列{6.》的前n项和为T,证明:T.<2592 aran+i 17.(15分)在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos A=ccos C. (1)证明: ABC为等腰三角形或直角三角形; (2)若E,F分别是边CA,CB的中点,AF交BE于点D,且a=4,b=8,求cos∠EDF. ③高三数学第3页(共4页) 18.(17分)如图,在 ABC中,EB=2AE,D是线段CE的中点,过点D的直线分别交线 段CA,CB于P,Q两点,CP=xCA,CQ=yCB(x>0,y>0) (1)若1CA1=|CB1=5,AB1=6,F为 ABC的垂心,CF=mCA+nCB(m,n∈R), 求m十n的值; (2)求2+1的值: x y (3)若CA1=6,1CB=12,且CA CB=0,CD PQ=0,求xy的值. 19.(17分)已知函数f(x)=x3一3x2一mx十m(m∈R). (1)若函数f(x)有两个极值点,求实数m的取值范围; (2)证明:函数f(x)的图象关于点(1,一2)中心对称; (3)证明:Vm∈(0,十∞),函数f(x)有三个零点. ③高三数学第4页(共4页) ⑧® 高三数学参考答案及评分意见 1.D【解析】由复数之=√3-i,得z=√3+i,∴.|z|=√(3)2+12=2. 又：1--g-马一是放速D 2.B【解析1：f)=3+3是定义在(-o0,十o)上奇函数，f(-x)=-f, 2 即3+6·3=-3+k·3 2 2 一，整理得(k十1)(3十3x)=0..3十3x>0,.k=一1.故选B. 3.C【解析】设等比数列{an}的公比为q(g≠0)，a5=2,ag=8,∴ag=a5q‘,即8=2g‘,解得g4=4. q≠0，∴.q2>0,q2=2,∴.a7=a5q2=2X2=4.故选C. 4.B【解析】.a-b|2=4十4-2a·b=12,.a·b=-2. 则向量a十b在向量b上的投影向量为a+b)·b.b二a·b十b, 的一方1b2一·b4三b—之b.炎选B. 5.A【解析J在△ABC中，：M为BC的中点，A-号（店+AC, A=(A+AC+2A店.AC)=e2+b+26cosA)=(e:+6-c)=1, ∴.c2+b2-bc=4①. 由余弦定理.得cosA一b十c-a三一2c2+b2+bc=9②.联立①②，得b2十c2-2放选A, 6.C【解析】：数列{am}的通项公式为am=n十1，数列{bn}的通项公式为bn=2m-1,∴an=2m-1十1. fa2+.+4=2+1+2+1十22+1+…+2"1+1=1-2十n a6m=2m-1十1>0，∴.数列{Sn}是递增数列. 又.S10=210+10-1=1033<2027,S11=211+11-1=2058>2027, .数列{Sm}中不超过2027的项有10个.故选C 7.A【解析】函数fx)的定义域为（一1，十∞），：f'(x)=41一e,且函数fz)在[0，十∞)上单调递减， f'(x)=z千1e≤0在[0，+o)上恒成立，即a≤[z+1De] 设g(x)=(x+1)e2,x≥0，则g'(x)=(x十2)e>0,∴g(x)在[0，+∞)上单调递增， ·g(x)min=g(0)=1,.a≤1，即实数a的取值范围为(-o,1].故选A. 8.B【解析】.-1<a<1,a+3>0. 当x∈(-1，十©)时，y=e十1与y=-3十8均单调递增，f)在（一1，十∞）上单调递增。 x+1 又：f(0)=e+1-a+3)=1-a<0,f①)=e+1-23=e-a十 2>e-1>0, .f(x)在(-1，十∞)上有唯一零点； ③高三数学答案第1页（共6页） 当z∈(-∞，-D时）=e十十1>0恒成立，即函数f(x)在(-©，一-1)上无零点 .f(x)有且仅有一个零点故选B. 9.BD【解析】集合A={xx2-3x-10<0}={x|-2<x<5},B={x|x2+(a+3)x+3a>0}(a∈R). 对于A,要使B=R,则须方程x2+(a+3)x十3a=0的判别式△<0， 即(a+3)2-12a=a2-6a+9=(a-3)2<0,无解，故A错误. 对于B,,方程x2十(a十3)x十3a=0的两个根为-a,-3,且a<3,∴.一a>-3. ∴.B={xlx<-3或x>-a}.又A∩B=心，A={x|-2<x<5},∴.-a≥5，即a≤-5，故B正确. 对于C,a=-1,.B={xx2+2x-3>0}={x|x<-3或x>1}, .CRB={x|-3≤x≤1}，A∩(CRB)={x|-2<x≤1}，故C错误. 对于D,A={x|-2<x<5},a<3,.B={x|x<-3或x>-a} 又“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，∴.A手B,则-a≤-2，解得a≥2. ∴.实数a的取值范围为[2,3)，故D正确.故选BD. 10.AC【解析】函数f(x)=√3sinx-3cosx=2V3 1 对于A,(）=2sm》一23sin登-2，函数f)的图象关于直线x=否对称，放A正确 对于B,a>a-66>0南-∈[-2+2x+2]∈Z得[+2x+2]∈z +2k元-（石+2-，6=a-(a-6)≤0<6≤，故B错误。 对于C,a>a-b,.b>0.又f(x)在(a-b,a)上单调递增， a-6≥-+2km, ∈Z,解得君+2x<a<+2,k∈Z, -营+2k<a-音≤受+2∈zfa)e(-25,28, 即f(a)的最大值为2√3，没有最小值，故C正确，D错误.故选AC. 11.ABC【解析】对于A,由acos B+(b-2c)cosA=0及正弦定理，得sin Acos B+(sinB-2sinC)cosA= 0,sin(A+B)-2sin Ccos A=0. .A+B+C=x,.'.sin(A+B)=sin C,.'.sin C-2sin Ccos A=0. C∈0，smC≠0,1-2os=0,即cosA=号A∈00A=号放A正确 对于B,:a=3,由余弦定理，得3=62+c-2 2bccosA=b2+c2-bc=(6+c)2-36c≥(6+c)_36+c) 4 (b+c)2 4 ,即b十c≤23，当且仅当b=c=√3时，等号成立，∴.b十c的最大值为2√3，故B正确. ③高三数学答案第2页（共6页） a-S=2,b=2sinB<2,当且仅当B=受时6取得最大值， 对于C."sin B sin A 2 此时c=√62-a2=√4-3=1，故C正确. 对于D.”iC-BsA=2b=2sinB,e=2snC, b a 2in 2sin C-2sin B2sin(AB)-2sin B-2sin -2sin B-sin B-cos B=sin B-/3cos B=2sinB A-子0<B<行-吾<B-百<香6-(=2smB-音)e(-5),故D错误故选ABC. 12.-3 2 【解析庙题意，得a十b=《-2,.a+b)/6,-2)X1=4X,解得1=一 2 13.2【解析】，0<x<2,∴.√元>0，√2-x>0. :√元+√2-x=√（√x十√2-x)2=√2+2√x·√2-x≤√2+(J元）2+(W2-x)2=2, 当且仅当√x=√2-x,即x=1时取等号，∴.√x+√2一x的最大值为2. 14.72(3分)6(2分)【解析】设等差数列{an}的公差为d,则a2o22=a2o2一5d,a2o28=a22十d. ,a2022十a2028=12,.12=a2027-5d+a227+d,.a2027=2d+6. 则a号+a48=(a2o2m-2025d)2+(a227+2021d)2=(2d+6-2025d)2+(2d+6+2021d)2 =(6-2023d)2+(6+2023d)2=2(2023d)2+72, .当d=0时，a十a43取得最小值，最小值为72，此时a2o27=6. 15,解：(1)函数f(x)的最小正周期为，0>0,2m=元，解得@=2.2分 1 又：函数f(x)的图象过点（π，1），2sin(2x十9)=2sinp=1,解得sinp=立， 0<p<29= 6’ ………4分 ∴fx)=2sin2z+8 …5分 (2将函数fx)的图象向左平移背个单位长度，得到函数&x)=2sn[2(e+)十】-2sn2x+) =2cos2x的图象. …7分 :方程gx)=a一3a∈R0在0，]上有解， ya-3与)y=20os2红的图象在[0，看]上有交点9分 0x≤60≤2x≤ ③高三数学答案第3页（共6页） 由余弦函数的性质，得当x=0时，g(x)max=g(0)=2; 当2x=即x=时，g）=g(）=2cos-1… …11分 ∴.1≤g(x)≤2，.1≤a-3≤2，即4≤a≤5， .实数a的取值范围是[4,5].… ...... 13分 16.(1)解：由au+1=12√Sm十36，得Sm+1-Sm=12√/Sm十36，… …2分 .Su+1=(√Sm)2+12√Sm十36，即（√S+1)2=(√Sn+6)2,.√Sm+1-√Sm=6, 数列{√Sm}是以√S=√a1=6为首项，6为公差的等差数列，…5分 √S0=6十(n-1)X6=6n.…6分 .am+1=12·6n+36=72n+36, ,∴.an=72n一36，n≥2.…… …7分 当n=1时，S1=a1=36,满足上式， .数列{an}的通项公式为am=72n一36.… …9分 1 1 (2)证明：，bn= 1(1-1】 a,a+1(72m-36)(72m+36)1296·(2n-1)(2n+1)-25922m-12m+1 …12分 ∴.Tm=b1+b2+bg+…+bm =2[1-)+(G)+G)++(a二+】 ，………15分 17.(1)证明：，acos A=ccos C,.由正弦定理，得sin Acos A=sin Ccos C, 1 7sin2A号sin20,即sin2A=sin2C,………3分 A.C∈0，x2A,2C∈(0,22A=2C或2A+2C=x解得A=C或A+C-受 △ABC为等腰三角形或直角三角形.… …7分 (2)解：由I,得A=C或A十C=受 若A=C,则a=c=4,a十c=8=b,不满足三角形三边关系，舍去.…10分 若A+C=,即B=,则c=BA=V8-=43. 以点B为坐标原点，BC,BA所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. BF C ③高三数学答案第4页（共6页） 则B(0,0),A(0,4√3)，C(4,0),E(2,23),F(2,0), .AF=(2,-4√3)，BE=(2,23),… …13分 ∴.cos∠EDF=cos(D元，DF)=cos(BE,A) BE.AF 2X2-2√3×43 513 1BE1AF1√2+(23)2×√22+(-43)2 26 …15分 18.解：(1)：CA|=|CB1=5,∴△ABC为等腰三角形.设边AB的中点为M,则CM⊥AB. 如图，以点M为坐标原点，MB,MC所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系 又AB=6,则A(-3,0),B(3,0),C(0,4),CA=(-3,-4),CB=(3,-4).…3分 4 M F为△ABC的垂心，.CF⊥AB,BF⊥AC,.点F在直线CM上. 设F(0,),则B=(-3,),B萨.C=(-3,)·(-3,-40=9-4=0,解得1=9 ro,)c-(- …5分 又C时=mCi+C成0，-)=m(-3,-40+a3,-0=(-3m+3,-4m-m), -3m+3n=0, 7 则 一4n一n-一？，解得m=n=2 m+n名，即a十：的值为名 …7分 (2)EB=2AE, CE-CA+AB-CA+AB-CA+(CB-CA)-2CA+CB. …8分 :D是线段CE的中点，Cd-C定=子C+C店。9分 -i,=yix>0y>0i-0i.i=动市=亦+6…10分 P,D,Q三点共线，十61，即2十宝6，……11分 (3):c-xCi,c=y成，P咬=cà-C=y成-xCi.由(2)，得cò=ci+c, :1CA1=6,1CB1=12,且CA·.CB=0, Cd.P时=言(2Ci+C)gCi-xC)=号yCi-2zC)=24y-12z.…14分 ③高三数学答案第5页（共6页） 又CD.PQ=0,24y-12x=0,即x=2y. 由(2)得是+}-6，解侧1-号y-日y 1 y 9…17分 19.(1)解：f(x)=x3-3x2-mx十m,x∈R,f'(x)=3x2-6x-m.…1分 令f'(x)=0,得3x2-6x-m=0, ∴.要使得函数f(x)有两个极值点，则须△=36+12m>0,解得m>一3， 实数m的取值范围为（一3，十∞）.…4分 (2)证明：f(2-x)十f(x)=(2-x)3-3(2-x)2-m(2-x)十m十x3-3x2-mx+m =[(2-x)3+x3]-[3(2-x)2+3x2]-[m(2-x)+m.x]+2m =[(2-x)+x][(2-x)2-x(2-x)+x2]-6.x2+12x-12 =2(3x2-6x十4)-6x2十12x-12=-4,…8分 .函数f(x)的图象关于点(1，一2)中心对称.…9分 (3)证明：f'(x)=3x2-6x-m,m∈(0，+∞)， 解f'(x)=3x2-6x-m=0,得x1=1-√3m+9,z 3 z2=1+y3m+9 3 ,且x1<0<1<x2. 解f'(x)>0,得x<x1或x>x2;解f'(x)<0,得x1<x<x2 .函数f(x)在(x1,x2)上单调递减，在（一∞，x1)和(x2,十∞）上单调递增.…13分 又：f(x1)>f(0)=m>0,f(x2)<f(1)=-2, 当x>十∞时，f(x)>+∞；当x→-∞时，f(x)→-∞， .m∈(0，十0∞)，函数f(x)有三个零点.…17分 ③高三数学答案第6页（共6页）