3.1平方根（分层作业，19大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 3.1 平方根 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 算术平方根——求一个数的算术平方根 题型02 算术平方根——算术平方根的估算 题型03 算术平方根——算术平方根的实际应用 题型04 平方根——求一个数的平方根 题型05 平方根——平方根的理解 题型06 平方根——利用平方根解方程 题型07 平方根——平方根的实际应用 B组 能力进阶 题型01 算术平方根——根据算术平方根进行化简 题型02 算术平方根——算术平方根的非负性 题型03 算术平方根——根号a有意义的条件 题型04 算术平方根——整数部分与小数部分 题型05 平方根——开平方的化简 题型06 平方根——求代数式的平方根 题型07 平方根——已知一个数的两个平方根求这个数 题型08 平方根——平方根与算术平方根的综合问题 C组 思维拔高 题型01 算术平方根——算术平方根的小数点移动规律 题型02 算术平方根——材料阅读问题 题型03 算术平方根——规律探究问题 题型04 平方根——新定义问题 算术平方根——求一个数的算术平方根题型01 1．4的算术平方根是（    ） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不确定 2．一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·山东淄博·二模）农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江西上饶·二模）计算：______． 5．若，求的算术平方根． 算术平方根——算术平方根的估算题型02 1．（25-26七年级下·天津·期末）估计的值（     ） A．在4到5之间 B．在3到4之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 2．的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是______． 3．= __________； 4．已知，若是整数，则＝_____． 5．如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位． （1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由． （2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数． 算术平方根——算术平方根的实际应用题型03 1．（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，大正方形网格由25个边长为1的小正方形组成，若把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，则新正方形的边长是（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26七年级·青海西宁·期末）面积为的房间恰好被块相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长是__________． 3．物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是．有一物体从米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为_____秒． 4．在某次学校运动会上，324名学生排成一个的方阵，每排有多少名学生？ 5．小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知能否裁得出来，正在发愁．小华见了说：“别发愁， 一定能用一块面积大的纸片直接裁出一块面积小的纸片．”你同意小华的说法吗? 请说出你的理由． 平方根——求一个数的平方根题型04 1．64的平方根是（    ） A．8 B． C． D．以上都不对 2．（25-26八年级上·内蒙古·期中）的平方根为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．阅读，一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．如：，，所以和2叫做4的平方根，4的平方根记为，，又如：若，则2的平方根是：，填空：25的平方根是_____________，的平方根是_____________，5的平方根是_____________． 4．如果一个自然数的平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是_____． 5．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 平方根——平方根的理解题型05 1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）“6的平方根”可用数学式子表示为（    ） A． B． C． D． 2．若是16的一个平方根，则x的值为(    ) A．1 B． C．1或 D． 3．下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 4．若是x的一个平方根．则x的值是______． 5．下列说法正确吗？为什么？如果不正确，请予以改正． (1)16的平方根是4； (2)． 平方根——利用平方根解方程题型06 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若x的平方等于5，则x等于（     ） A．25 B． C． D． 3． ，则x=_______． 平方根——平方根的实际应用题型07 1．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知正方形中阴影面积为8，则正方形的边长为________． 3．（25-26七年级·陕西榆林·月考）在月球上，物体自由下落的高度）与下落时间（单位：）的关系是，那么，在月球上，当物体自由下落的高度为时，其下落的时间是多少？ 4．（25-26八年级上·山西临汾·月考）在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 5．工人师傅准备从一块面积为16平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为12平方分米的长方形工件，若要求裁下来的长方形的长和宽的比为，问这块正方形工料能否裁出．（参考数据：，） 算术平方根——根据算术平方根进行化简题型01 1．计算：_______． 2．化简：______ 3．（25-26七年级·广东汕尾·月考）按要求解答问题： (1)计算：_________，_________． (2)根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于吗？_________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_________；_________． 算术平方根——算术平方根的非负性题型02 1．（2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 3．代数式的最小值为____． 4．若，则的算术平方根是______． 5．（25-26八年级上·江苏江阴·月考）若，求的平方根． 算术平方根——根号a有意义的条件题型03 1．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 2．若有意义，则a应满足_______． 算术平方根——整数部分与小数部分题型04 1．的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 3．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）的整数部分值为________． 4．（25-26七年级下·广东江门·月考）已知是的整数部分，是的小数部分，求___________． 5．已知a为的整数部分，b－1是400的算术平方根，求的值． 平方根——开平方的化简题型05 1．（25-26七年级下·广东惠州·期末）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 平方根——求代数式的平方根题型06 1．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 2．若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 3．已知是的整数部分，，则的平方根是_________． 4．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 平方根——已知一个数的两个平方根求这个数题型07 1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）若与是同一个正数的平方根，则x的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 2．若一个正数的两个平方根分别是和，则为________． 3．（25-26八年级上·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 5．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知正数b的两个平方根是，． (1)求a，b的值； (2)若的整数部分为m，小数部分为n，求m，n的值． 平方根——平方根与算术平方根的综合问题题型08 1．81的算术平方根是__________，81的平方根是__________，的平方根是__________． 2．（25-26七年级·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 3．已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 4．数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或， ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 5．（25-26七年级下·湖南·期中）已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； (1)求a，b，c，m的值； (2)求的平方根． 算术平方根——算术平方根的小数点移动规律题型01 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 3．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是________． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，那么____________________． 5．观察：已知，，填空： (1)__________，__________； (2)若，则__________． 算术平方根——材料阅读问题题型02 1．（24-25七年级下·广东潮州·期中）在探索型纸的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到，，，，纸的长和宽的数据如表中所示，试猜想型纸的长与宽的比为（   ） 类型 长（） 宽（） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）设为正数，已知，当很小（此处约定）时，，所以，于是．利用可以求某些数的算术平方根的近似值，如．计算的近似值为____．（结果精确度到） 3．（25-26八年级上·四川巴中·期末）在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母明文数字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如，，……，）； 明文数字→加密数字：若设明文数字为： ①计算的算术平方根，取其整数部分为； ②计算差值：； ③加密数字为：． 若收到的加密数字分别：“34、10、44、24”，则明文字母按序组成的单词为_____． 4．我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． (1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； (2)仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）． 算术平方根——规律探究问题题型03 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知，，，，…，依上述规律， A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 3．请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为_______． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 5．阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 平方根——新定义问题题型04 1．对于任意不相等的两个正数a，b，定义一种运算※，如下：a※b=，如3※2=，那么12※4=_________ ． 2．定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________． 3．喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数______三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值______． 4．设表示不大于的最大整数，则______． 5．（25-26七年级下·湖南常德·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“优美数组”．例如：这三个数，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数是“优美数组”． (1)这三个数是“优美数组”吗？请说明理由； (2)若三个数是“优美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值； (3)若三个数是“优美数组”，将所有满足条件的的取值按从大到小的顺序排列，第1个取值记为，第2个取值记为，以此类推．求的第个取值的表达式（用含的代数式表示）． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1 平方根 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 算术平方根——求一个数的算术平方根 题型02 算术平方根——算术平方根的估算 题型03 算术平方根——算术平方根的实际应用 题型04 平方根——求一个数的平方根 题型05 平方根——平方根的理解 题型06 平方根——利用平方根解方程 题型07 平方根——平方根的实际应用 B组 能力进阶 题型01 算术平方根——根据算术平方根进行化简 题型02 算术平方根——算术平方根的非负性 题型03 算术平方根——根号a有意义的条件 题型04 算术平方根——整数部分与小数部分 题型05 平方根——开平方的化简 题型06 平方根——求代数式的平方根 题型07 平方根——已知一个数的两个平方根求这个数 题型08 平方根——平方根与算术平方根的综合问题 C组 思维拔高 题型01 算术平方根——算术平方根的小数点移动规律 题型02 算术平方根——材料阅读问题 题型03 算术平方根——规律探究问题 题型04 平方根——新定义问题 算术平方根——求一个数的算术平方根题型01 1．4的算术平方根是（    ） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】根据平方与算术平方根的互逆运算进行解答． 【详解】解：∵22＝4 ∴4的算术平方根是2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质与定义，若一个非负数x的平方等于a，则x是a的算术平方根． 2．一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一个自然数的算术平方根为，先求解这个自然数及与之相邻的下一个自然数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这个自然数是，则相邻的下一个自然数是， 故选B． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，掌握算术平方根的含义是解题的关键． 3．（2025·山东淄博·二模）农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，倒数的定义，解题关键是熟练掌握倒数的定义． 【详解】解：． ∴的倒数是． 故选：D． 4．（2026·江西上饶·二模）计算：______． 【答案】 【详解】解：. 5．若，求的算术平方根． 【答案】3 【分析】此题主要考查了算术平方根．利用算术平方根的定义可以得，求出x的值，即可得出的算术平方根． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴的算术平方根为3． 算术平方根——算术平方根的估算题型02 1．（25-26七年级下·天津·期末）估计的值（     ） A．在4到5之间 B．在3到4之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 【答案】C 【分析】使用夹逼法估计无理数的大小，只需找到与29相邻的两个完全平方数，即可确定的取值范围． 【详解】解：，，且， ，即， 因此的值在5到6之间． 2．的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是______． 【答案】18（答案不唯一） 【分析】由可得，再确定整数即可． 【详解】解：根据题意知：， ∴， ∵是整数， ∴可以取18（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了算术平方根，求出的取值范围是解答本题的关键． 3．= __________； 【答案】 【分析】根据“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”即可解答． 【详解】∵ ∴， 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及数的算术平方根的估算，正确的进行平方根的估算及掌握“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值为0”是关键． 4．已知，若是整数，则＝_____． 【答案】-1，2，-2. 【分析】根据题意可知m是整数，然后求出m的范围即可得出m的具体数值，然后根据是整数即可求出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴m是整数， ∵， ∴m2≤4， ∴-2≤m≤2， ∴m=-2，-1，0，1，2 当m=±2或-1时，是整数， 故答案为：-1，2，-2 【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是根据条件求出m的范围，本题属于中等题型． 5．如图，顺次连结方格四条边的中点，得到一个正方形．设每一个小方格的边长为1个单位． （1）正方形的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由． （2）如果把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位长度就是小方格的边长，请写出点B在数轴上所表示的数． 【答案】（1）2和3之间， 由方格可得：正方形ABCD的面积为：， ∴， ∵， ∴介于2和3之间； （2）或 【分析】（1）根据方格可得正方形ABCD的面积为8，然后由正方形面积计算公式可求解边长，然后利用算术平方根可求解； （2）由（1）及题意可分当点B在原点的左侧和右侧两种情况，然后问题可求解． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得：，由点A与原点重合，则有： 当点B在原点的左侧时，则点B表示的数为， 当点B在原点的右侧时，点B表示的数为； 综上所述：点B在数轴上所表示的数为或． 【点睛】本题主要考查算术平方根及数轴，熟练掌握算术平方根及数轴是解题的关键． 算术平方根——算术平方根的实际应用题型03 1．（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，大正方形网格由25个边长为1的小正方形组成，若把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，则新正方形的边长是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的剪拼算术平方根的应用，求出阴影部分面积是解题的关键．先计算阴影部分的面积，也就是新组成的四边形的面积，根据面积就可求得新正方形的边长． 【详解】解：新正方形的面积为 ∴新正方形的边长是 故选：C． 2．（25-26七年级·青海西宁·期末）面积为的房间恰好被块相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长是__________． 【答案】 【分析】先求出每块正方形地砖的面积，再根据正方形面积与边长的关系求出边长． 【详解】解：由题意得，每块地砖的面积为， ∵正方形面积等于边长的平方，地砖边长为正数， ∴每块地砖的边长为． 3．物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是．有一物体从米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为_____秒． 【答案】5 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，解决实际问题时字母取值一般都是大于等于0． 把代入求得t的值即可． 【详解】解：把代入中可得：，则， ∵25的算术平方根为5，即， ∴到达地面需要的时间为5秒． 故答案为：5． 4．在某次学校运动会上，324名学生排成一个的方阵，每排有多少名学生？ 【答案】每排有18名学生． 【分析】根据方阵总人数等于每排人数的平方，计算324的算术平方根即可得解． 【详解】解：设每排有名学生．由题意得． ∵， ∴． 答：每排有18名学生． 5．小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知能否裁得出来，正在发愁．小华见了说：“别发愁， 一定能用一块面积大的纸片直接裁出一块面积小的纸片．”你同意小华的说法吗? 请说出你的理由． 【答案】 解：不同意小华的说法，理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为， 由题意得：， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴长方形纸片的长是，宽为， ∵正方形纸片的面积为， ∴正方形纸片的边长为， ∵， ∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长， ∴不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片． 【分析】本题考查了算术平方根的意义，设长方形纸片的长为，则宽为，由题意得出，求出长方形纸片的长是，宽为，结合正方形纸片的边长为，比较即可得出答案． 【详解】略 平方根——求一个数的平方根题型04 1．64的平方根是（    ） A．8 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，64的平方根是 故选：C 2．（25-26八年级上·内蒙古·期中）的平方根为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，平方根，关键是掌握算术平方根，平方根的定义． 先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：的平方根为． 故选：B． 3．阅读，一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．如：，，所以和2叫做4的平方根，4的平方根记为，，又如：若，则2的平方根是：，填空：25的平方根是_____________，的平方根是_____________，5的平方根是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意一个正数有两个平方根． 根据开方运算，可得一个正数的平方根． 【详解】解：∵，， ∴25的平方根是， ∵，， ∴的平方根是． ∴5的平方根是． 故答案为：；；． 4．如果一个自然数的平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义；先根据平方根的定义求出这个自然数，再根据平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵一个自然数的平方根为， ∴这个自然数为9， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为10， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是， 故答案为：． 5．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是求解一个数的平方根，根据平方根的含义逐一求解即可． （1）由，可得答案； （2）由，可得答案； （3）由，可得答案； （4））由，可得答案； （5）由，，可得答案； （6）由，可得答案； 【详解】（1）解：的平方根是； （2）解：的平方根是； （3）解：的平方根是； （4）解：的平方根是； （5）解：∵， ∴的平方根是； （6）解：的平方根是． 平方根——平方根的理解题型05 1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）“6的平方根”可用数学式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：6的平方根表示为， 故选：A． 2．若是16的一个平方根，则x的值为(    ) A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系可列出方程，即可求出． 【详解】解：∵是16的一个平方根， ∴或 解得：或， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的应用，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 3．下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，平方数的非负性，掌握平方根仅对非负数有定义，利用平方数的非负性判断式子的正负是解题的关键． 平方根仅对非负数有定义，因此需找出无论取何值恒为负数的选项． 【详解】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意； B、当时，的值为，有平方根，不符合题意； C、恒成立，总有平方根，不符合题意； D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意． 故选：D． 4．若是x的一个平方根．则x的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根求这个数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵是x的一个平方根， ∴， 故答案为：． 5．下列说法正确吗？为什么？如果不正确，请予以改正． (1)16的平方根是4； (2)． 【答案】(1)不正确，因为正数有两个互为相反数的平方根， ∵， ∴16的平方根是； (2)不正确，因为算术平方根为非负数， ∵表示25的算术平方根， ∴ 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 平方根——利用平方根解方程题型06 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴是 的平方根 ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若x的平方等于5，则x等于（     ） A．25 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 3． ，则x=_______． 【答案】 【分析】由题意根据算术平方根和平方根的性质进行分析求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴则，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根和平方根的性质，熟练掌握一个数的平方根互为相反数． 平方根——平方根的实际应用题型07 1．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 【答案】B 【分析】将所给数据代入求解即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴， ∴（负值不符合实际情况，舍去） ∴电流的值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了求代数式的值，平方根的应用，掌握实数的运算法则是解题的关键 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知正方形中阴影面积为8，则正方形的边长为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方根以及图形的割补思想，熟练掌握平方根运算和通过割补转化图形面积关系是解题的关键．利用平方根和三角形的面积关系，通过图形的割补，得出阴影部分面积与正方形面积的联系，进而求解边长． 【详解】解：通过观察图形，将阴影部分进行割补，可发现阴影部分的面积恰好是正方形面积的一半． 设正方形的边长为，则正方形的面积为． 阴影面积为，且阴影面积是正方形面积的一半 解得（边长不能为负，舍去 ） 故答案为： ． 3．（25-26七年级·陕西榆林·月考）在月球上，物体自由下落的高度）与下落时间（单位：）的关系是，那么，在月球上，当物体自由下落的高度为时，其下落的时间是多少？ 【答案】 【分析】将代入，求出时间即可． 【详解】解：将代入， 得，即， 得， ，或（舍） 下落的时间是． 4．（25-26八年级上·山西临汾·月考）在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【答案】 解：王叔叔没有超速．理由如下： 将代入，得． ， ， 是正数， ． ， 王叔叔没有超速． 【分析】本题考查平方根的实际应用，熟练应用平方根的性质计算是解题的关键．根据题意，将代入，求出速度，即可解答． 【详解】略 5．工人师傅准备从一块面积为16平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为12平方分米的长方形工件，若要求裁下来的长方形的长和宽的比为，问这块正方形工料能否裁出．（参考数据：，） 【答案】否，见解析 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的应用，分别求出正方形的边长和长方形的长是解题的关键．根据正方形的面积公式求出正方形的边长，设长方形的长宽分别为分米、分米，根据长方形的面积公式，列出方程，求出，再比较即可得出答案． 【详解】解：∵正方形的面积是16平方分米， ∴正方形的边长为：（分米）， 设长方形的长，宽分别为分米、分米，根据题意得： ， ∴， ∴，（舍去）， ∵， ∴这块正方形工料不能裁出符合要求的长方形． 算术平方根——根据算术平方根进行化简题型01 1．计算：_______． 【答案】5 【详解】解：． 2．化简：______ 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，利用二次根式的性质化简即可，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（25-26七年级·广东汕尾·月考）按要求解答问题： (1)计算：_________，_________． (2)根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于吗？_________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_________；_________． 【答案】(1)； (2)①不一定；②； 【分析】（1）根据公式：，计算即可． （2）①由（1）中可知不一定等于；②根据的取值范围得到和的取值范围，进而得到答案. 【详解】（1）解：根据， 可得：，； （2）解：①∵，当时，，当时，， ∴不一定等于； ②∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴. 算术平方根——算术平方根的非负性题型02 1．（2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根满足且，因此必为非负数，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∴必为非负数， 故选：． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的加法运算． 由于平方、绝对值和算术平方根都具有非负性，且它们的和为零，因此每个部分都必须为零，从而可求出，，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：B． 3．代数式的最小值为____． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，得到的最小值为，即可求出原代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， 当时，， ∴代数式的最小值为． 4．若，则的算术平方根是______． 【答案】5 【分析】本题考查的知识点为：算术平方根定义，属于基础题型．根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：根据题意得，且， 解得：且， ∴， ， ∴， ∵25的算术平方根是5， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 5．（25-26八年级上·江苏江阴·月考）若，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 算术平方根——根号a有意义的条件题型03 1．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义，在实数范围内，被开方数必须是非负数，否则无意义．逐一分析各选项的被开方数即可判断． 【详解】选项A：，被开方数为，是负数，故无意义． 选项B：，被开方数为，有意义． 选项C：，被开方数为，非负，有意义． 选项D：，被开方数为，非负，有意义． 故选：A． 2．若有意义，则a应满足_______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的被开方数是非负数即可求解 【详解】解：若有意义，则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，理解被开方数为非负数是解题的关键． 算术平方根——整数部分与小数部分题型04 1．的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴的小数部分为． 2．（25-26八年级上·上海·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估计无理数的大小是解题的关键． 先估算的值，确定的整数部分，然后小数部分为原数减整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵ ，即， ∴， ∴整数部分为3， ∴小数部分为． ∴的整数部分为3，小数部分为． 故选B． 3．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）的整数部分值为________． 【答案】2 【分析】确定介于哪两个相邻整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：， ，即， 的整数部分为． 4．（25-26七年级下·广东江门·月考）已知是的整数部分，是的小数部分，求___________． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，得到整数的值，再估算出的取值范围，得到小数部分的值，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， ∵ 是的整数部分， ∴ ， 不等式两边同时加，得 ， ∵ 是的小数部分， ∴ ， ∴ ． 5．已知a为的整数部分，b－1是400的算术平方根，求的值． 【答案】6 【详解】解：∵a为的整数部分，＜＜， ∴a＝15， ∵b－1是400的算术平方根， ∴b－1＝20， 解得：b＝21， ∴＝＝6． 平方根——开平方的化简题型05 1．（25-26七年级下·广东惠州·期末）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根与算术平方根的定义逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项利用算术平方根定义计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 平方根——求代数式的平方根题型06 1．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 【答案】D 【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出，从而进一步即可得出答案． 【详解】由题意得：这个自然数a为：， ∴, 故的平方根用m表示为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键． 由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根. 【详解】解：∵ ， ∴ . 当时，，的平方根为； 当时，，的平方根为. ∴的平方根是或. 故选：C． 3．已知是的整数部分，，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 4．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 平方根——已知一个数的两个平方根求这个数题型07 1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）若与是同一个正数的平方根，则x的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【分析】根据同一个正数的平方根有两个，它们相等或互为相反数，据此可列出方程求解． 【详解】解：由题意得，与是同一个正数的平方根， 得或， 解得：或， 故选：C． 2．若一个正数的两个平方根分别是和，则为________． 【答案】3 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题题主要考查了平方根的定义，要注意：一个正数有正、负两个平方根，这两个平方根互为相反数． 3．（25-26八年级上·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【答案】25 【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根求这个数，平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，则，解方程求出x的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴这个正数是， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； （2）先求出的值，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， 又25的平方根是， ∴的平方根为． 5．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知正数b的两个平方根是，． (1)求a，b的值； (2)若的整数部分为m，小数部分为n，求m，n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； （2）夹逼法求出即可. 【详解】（1）解：由题意，， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，即， ∴. 平方根——平方根与算术平方根的综合问题题型08 1．81的算术平方根是__________，81的平方根是__________，的平方根是__________． 【答案】 9 【分析】根据算术平方根和平方根的定义，依次计算三个空的值，第三个空先化简再求平方根. 【详解】解：∵ ，且， ∴ 的算术平方根是. ∵ ， ∴ 的平方根是. ∵ ， ∴ 求的平方根就是求的平方根， ∵ ， ∴ 的平方根是. 2．（25-26七年级·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 【答案】 ①②④ 【分析】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可. 【详解】解：①由表格可知，； ∴，即； 因此的平方根是，故①正确； ②由表格可知，，， ∵， ∴，故②正确； ③由表格可知，， ∴，即； ∴， ∵且， ∴，. ∴，故③错误； ④∵， ∴，即； 满足条件的整数为，共个，故④正确. 综上，合理的推断为①②④. 3．已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a＝5，b＝4； (2)． 【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4． ∴，，解得a＝5，b＝4． （2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为， 即ab+5的平方根是． 【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． 4．数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或， ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 【答案】 解：∵一个数的算术平方根为，平方根为， ∴或． ①当时，解得， ∴． ∵算术平方根为非负数， ∴不符合题意； ②当时，解得， ∴， ∴这个数为． 综上所述，这个数为． 【分析】本题考查算术平方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义进行判断并改正即可． 【详解】略 5．（25-26七年级下·湖南·期中）已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； (1)求a，b，c，m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；；或；或 (2)或 【分析】（1）根据平方根定义列出关于x的方程，求出x的值，再求出m；根据非负数的性质求出a、b的值即可；根据算术平方根定义求出c的值即可； （2）先求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵与是m的平方根， ∴或， 解得：或， 当时，； 当时，； ∵， ∴，， 解得：，； ∵c的算术平方根等于它本身， ∴或； （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴此时的平方根为； 当时，， ∵4的平方根为， ∴此时的平方根为； 综上，的平方根为或． 算术平方根——算术平方根的小数点移动规律题型01 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 【详解】∵， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 2．下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推出相应的计算规律，根据规律进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向右移动两位，那么对应的算术平方根的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，那么____________________． 【答案】 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律题．通过观察已知条件，利用平方根的性质，被开方数扩大10000倍，平方根扩大100倍，将所求式子转化为已知近似值的形式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．观察：已知，，填空： (1)__________，__________； (2)若，则__________． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）依据被开放数小数点向左或向右移动位，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动n位求解即可． （2）依据被开放数小数点向左或向右移动位，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动n位求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 算术平方根——材料阅读问题题型02 1．（24-25七年级下·广东潮州·期中）在探索型纸的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到，，，，纸的长和宽的数据如表中所示，试猜想型纸的长与宽的比为（   ） 类型 长（） 宽（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类变化规律，根据所给数据，依次求出，，，，纸的长和宽的比值，然后发现规律即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：计算各类型长宽比： ：； ：； ：； ：； ：； 所有比值均接近； ∴型纸的长与宽的比为， 故选：． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）设为正数，已知，当很小（此处约定）时，，所以，于是．利用可以求某些数的算术平方根的近似值，如．计算的近似值为____．（结果精确度到） 【答案】 【分析】理解题目给出的近似计算公式，将被开方数拆分为一个完全平方数与一个较小正数的和，确定和的值，代入近似公式计算即可得到结果． 【详解】解： 由近似公式得 ． 3．（25-26八年级上·四川巴中·期末）在数学活动课《神奇的加密术》中，小明设计了一种“平方根加密法”，规则如下：明文字母明文数字：将26个英文字母按顺序对应1到26的整数（如，，……，）； 明文数字→加密数字：若设明文数字为： ①计算的算术平方根，取其整数部分为； ②计算差值：； ③加密数字为：． 若收到的加密数字分别：“34、10、44、24”，则明文字母按序组成的单词为_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，一元一次方程的应用；根据加密规则，对每个加密数字反向推算明文数字，再转换为字母即可． 【详解】解：∵，，……，， ∴，且为整数， ∴， ∵为的整数部分， ∴，且为整数， ∴， ∴， 当加密数字为34时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是3，符合题意， ∴加密数字34对应的明文数字为13，对应的字母为M， 当加密数字为10时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是1，符合题意， ∴加密数字10对应的明文数字为1，对应的字母为A， 当加密数字为44时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是4，符合题意， ∴加密数字44对应的明文数字为20，对应的字母为T， 当加密数字为24时，，当时，，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴整数部分正好是2，符合题意， ∴加密数字24对应的明文数字为8，对应的字母为H， 综上：明文字母按序组成的单词为． 故答案为：． 4．我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 【答案】（1）；（2）120 【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义得出答案； （2）直接利用得出答案． 【详解】解：， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以； （1）根据题意，当时， 则； （2）． 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． (1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； (2)仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）． 【答案】(1)， (2)，过程见解析 (3) 【分析】（1）先判断及，进而可求解； （2）设，其中，画出示意图，可得，当时，可忽略，得，可求得，进而可求解； （3）设，根据正方形的面积为 ，由，，当较小时，省略，得 ，进而可求解； 【详解】（1）解：①， ， 整数部分的值为； ②， ， 整数部分的值为． （2）∵面积为10的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． （3）∵面积为的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得边长为的正方形的面积：． ∵， ． 当时，显然，可忽略，得，得到， ． 算术平方根——规律探究问题题型03 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知，，，，…，依上述规律， A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用，数字规律的探索．根据式子得出，，，，由此得出规律，即可得出答案． 【详解】解：，，，…， ， 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第n行第列：n为偶数时，n为奇数时，由此规律即可求解． 【详解】解：第2行第1列， 第3行第2列， 第4行第3列， 第5行第4列， …… 第n行第列： n为偶数时， n为奇数时， 当时，第101行第100列为． 故选：B． 3．请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为_______． 【答案】55 【分析】根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可． 【详解】解：； ； ； ，…， ∴， ∴ ． 故答案为：55． 【点睛】此题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键． 4．（25-26八年级上·四川成都·期末）在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的估算和应用，关键是通过对数的规律的探究，表达出前个数中的平方数的个数． ①先列出原始正整数序列：，识别其中的平方数，去除平方数后，按顺序计数到第项，直接得到即可； ②设第个非平方数，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为．根据题意可得方程，变形为，则的整数部分为，尝试，代入得，验证满足条件，然后计算附近的平方数：，，得到的最小值即可． 【详解】解：将正整数从小到大排成一排为，其中平方数为，，，．去除平方数后，剩余数为 由此可知； 设第个非平方数为，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为． 令，则，则的整数部分为，且， 当时，，的整数部分为，满足条件，故． ∵， ∴，即， ，，且， 的最小值为； 故答案为：；． 5．阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 平方根——新定义问题题型04 1．对于任意不相等的两个正数a，b，定义一种运算※，如下：a※b=，如3※2=，那么12※4=_________ ． 【答案】4 【分析】根据题意中的新定义运算，进行计算即可得出结论． 【详解】∵a※b=， ∴12※4＝． 故答案为：4 【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解本题的关键在理解题中新定义的运算法则． 2．定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________． 【答案】35 【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 3．喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数______三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值______． 【答案】 是 【分析】①根据“和谐组合”的定义求解即可； ②根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可； 本题考查了新定义问题，算术平方根，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． 【详解】解：①∵，，， ∴三个数是“和谐组合”， 故答案为：是； ②分三种情况：①当时， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ②当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ③当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得； 综上所述，的值为， 故答案为：． 4．设表示不大于的最大整数，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，算术平方根的估算，根据，可得1到100这100个数的算术平方根的范围，进而可得到的值，再求和即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，共3个数 ，共5个数， ，共7个数 ……， ，共19个数， ， ∴ ， 故答案为：． 5．（25-26七年级下·湖南常德·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“优美数组”．例如：这三个数，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数是“优美数组”． (1)这三个数是“优美数组”吗？请说明理由； (2)若三个数是“优美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值； (3)若三个数是“优美数组”，将所有满足条件的的取值按从大到小的顺序排列，第1个取值记为，第2个取值记为，以此类推．求的第个取值的表达式（用含的代数式表示）． 【答案】(1) 解：，，这三个数是“优美数组”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“优美数组”； (2) (3)，为正整数 【分析】（1）根据“优美数组”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“优美数组”的定义进行判断即可． （3）令（为正整数，且），为整数，设，则（为偶数），令（t为正整数），则，此时也为整数，故，再枚举，找出规律即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，； （3）解：∵三个数是“优美数组”， ∴是负整数，且， ∵是整数， ∴只需是整数即可， 令（为正整数，且） 则， ∵为整数，设，则（为偶数）， 令（t为正整数），则， 此时也为整数， ∴（排除，此时；排出，此时）， ∴时，； 时，； 时，； 以此类推，，为正整数． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $