3.1 平方根 分节讲练测-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

3.1 平方根 分节讲练测 浙教版《数学》七年级上册（2024年新版）· 第3章 实数 · 第1课时（满分100分） 第一部分 知识梳理 一、平方根与算术平方根 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根（square root），也叫作 a 的二次方根。例如，因为 ，所以 1.2 是 1.44 的平方根；又因为 ，所以 −1.2 也是 1.44 的平方根。 一个正数 a 的正平方根用“”表示（读作“根号 a”）；a 的负平方根用“”表示；因此一个正数 a 的平方根用“”表示（读作“正、负根号 a”），其中 a 叫作被开方数。 正数的正平方根称为算术平方根，0 的算术平方根是 0。一个数 a（a ≥ 0）的算术平方根记作 。例如 9 的算术平方根是 3，即 。 二、平方根的性质 ① 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； ② 零的平方根是零； ③ 负数没有平方根。 因此只有非负数（a ≥ 0）才有平方根；其中算术平方根只有一个，且总是非负的，即 （a ≥ 0）。 三、开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此可以运用平方运算求一个数的平方根。 例如求 4 的平方根，因为 、，所以 4 的平方根是 ±2。 图1 面积为 1.44 m² 的正方形，其边长为 1.2 m 第二部分 典例精讲 例1　求下列各数的平方根（教材例1）： （1）9；（2）；（3）0.36；（4）。 【分析】求一个数的平方根，就是找出平方等于这个数的所有数，可逆向运用平方运算。 【解答】（1）因为 、，所以 9 的平方根是 ±3，即 ； （2）因为 ，所以 的平方根是 ； （3）因为 ，所以 0.36 的平方根是 ±0.6； （4）因为 ，所以 的平方根是 。 【点拨】正数有两个平方根且互为相反数，书写时不要漏掉负的那个。 例2　先说出下列各式的意义，再计算（教材例2）： （1）；（2）；（3）。 【分析】“”表示 a 的算术平方根（结果非负）；“”表示 a 的负平方根；“”表示 a 的两个平方根。 【解答】（1） 表示 的平方根，等于 ； （2） 表示 225 的算术平方根，等于 15； （3） 表示 的负平方根，等于 。 【点拨】辨析三种符号是本节最容易出错的地方：（a ≥ 0）只表示算术平方根，结果不能带负号。 例3　“9 的算术平方根是 3”，用数学式子表达为（　　）（杭州市拱墅区期末）： A．　　B．　　C．　　D． 【分析】“算术平方根”指的是正的那个平方根，用符号 （a ≥ 0）表示，结果是非负数，不能带“±”号，也不能带负号。 【解答】“9 的算术平方根是 3”即 ，选 B。 【点拨】A 项 把算术平方根写成了平方根；C 项 表示“9 的平方根”；D 项表示“9 的负平方根”。只有 B 正确。 例4　已知一个正数的两个平方根分别是 a+2 与 2a−11，求这个数（河南淮滨县期中）： 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，故它们的和为 0，可先列方程求 a，再求这个数。 【解答】由题意得 ，解得 。此时两个平方根为 与 ，所以这个数是 。 【点拨】“两个平方根互为相反数”是本题型的通法：两式相加等于 0。 例5　算术平方根的非负性（安顺期末）： 已知 ，求 的值。 【分析】算术平方根与绝对值都是非负数，几个非负数的和为 0，只有它们同时为 0。 【解答】由题意得 且 ，所以 ，，故 。 【点拨】“几个非负数的和为 0”是常考模型，常见的非负形式有绝对值、、偶数次幂。 例6　已知一个长方形的长是宽的 3 倍，面积为 27 cm²，求这个长方形的周长（义乌市期末）： 【分析】设宽为 x cm，则长为 3x cm，由面积列方程，再用平方根求边长，注意边长取正值。 【解答】设宽为 x cm，则长为 3x cm。由 得 ，因为 x > 0，所以 ，长为 9 cm。所以周长为 （cm）。 【点拨】实际问题中的平方根要结合题意取舍：求长度、面积等量时，只取正的平方根。 例7　求下列各式中 x 的值（岳麓区校级月考）： （1）；（2）。 【分析】先把方程化成 或 的形式，再用平方根的定义求解，不要漏掉负的平方根。 【解答】（1）由 得 ，所以 ； （2）由 得 ，所以 或 。 【点拨】解 （a ≥ 0）型方程，把 x+m 整体看作 a 的平方根，得 。 第三部分 分层训练 说明：本部分按基础、提升、拓展三个层次编排，共 13 题，满分 100 分。题目均选自近三年各地期末、期中考试真题，题源标注于题后，全部限定在“平方根”这一课时的考查范围内，答案与提示见第四部分。 A组 基础过关（每小题 5 分，共 30 分） 1.（5分）下列语句不正确的是（　　）（山东淄博市张店区期末） A. 0 的平方根是 0　　B. 正数的两个平方根互为相反数　　C. 的平方根是 ±2　　D. a 是 的一个平方根 2.（5分）下列计算正确的是（　　）（杭州市萧山区、临平区期末） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.（5分）正数 a 的一个平方根为 −3，它的另一个平方根是 　　　　　　。（杭州市滨江区期末） 4.（5分） 的算术平方根是（　　）（四川邻水县期末） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5.（5分）若 x+4 是 4 的一个平方根，则 x 的值为（　　）（山东青岛市城阳区期中） A. −2　　B. −2 或 −6　　C. −3　　D. ±2 6.（5分）下列说法正确的是（　　）（四川宜宾市江安县期中） A. −4 的平方根是 ±2　　B. −4 的算术平方根是 −2　　C. 的平方根是 ±4　　D. 0 的平方根与算术平方根都是 0 B组 能力提升（每小题 10 分，共 50 分） 7.（10分）已知 a，b 分别是 2023 的两个平方根，求 的值。（四川南充市高坪区月考） 8.（10分）公园里有一个边长为 8 m 的正方形花坛，现在想扩大花坛的面积，使花坛的面积增加 80 m² 后仍然是正方形，求边长应该延长多少米？（北京市顺义区期末） 9.（10分）已知实数 a、b 满足 。（1）求 a、b 的值；（2）求 的平方根。（北京市海淀区期中） 10.（10分）求下列各式中 x 的值（福建厦门市思明区月考）： （1）；　　（2）；　　（3）。 11.（10分）已知 的平方根是 ±3， 的平方根是 ±4，求 的平方根。（甘肃陇南市礼县月考） C组 拓展探究（每小题 10 分，共 20 分） 12.（10分）小明制作了一张面积为 256 cm² 的正方形贺卡想寄给朋友。现有一个长方形信封，长、宽之比为 3∶2，面积为 420 cm²。（1）求这个长方形信封的长和宽；（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断。（河北承德市承德县期末） 13.（10分）已知实数 x、y 满足 ，求 的值。（重庆市永川区期末） 第四部分 参考答案 （本答案与试题分离，供批阅与自查使用） 【典例精讲·例1—例7】 例1（1）±3；（2）；（3）±0.6；（4）。 例2（1）；（2）15；（3）。 例3B。算术平方根的结果是非负数，，故选 B。 例4由 得 ，两个平方根为 5 与 −5，故这个数是 25。 例5x = 2，，所以 。 例624 cm。 例7（1）；（2） 或 。 A组 基础过关 1．C因为 ，负数没有平方根，故 C 不正确；A、B、D 均正确。 2．BA 中 ；B 正确；C 中 ，不是 ±2；D 中 。故选 B。 3．3。一个正数的两个平方根互为相反数，故另一个平方根是 3。 4．C因为 ，所以 的算术平方根是 ，故选 C。 5．B4 的平方根是 ±2，故 或 ，解得 或 ，选 B。 6．D负数没有平方根，A、B 错；，4 的平方根是 ±2，C 错；D 正确。 B组 能力提升 7．因为 a，b 是 2023 的两个平方根，所以 ，，故 。 8．原花坛面积为 （m²），扩大后面积为 （m²）。因为 ，所以扩大后边长为 12 m，边长应延长 （m）。 9．（1）由非负性得 且 ，所以 ，； （2），所以它的平方根是 ±6。 10．（1）；（2），；（3）由 得 ，所以 或 。 11．由 得 ；由 得 ，所以 。故 ，它的平方根是 ±3。 C组 拓展探究 12．（1）设信封宽为 2k cm，则长为 3k cm，由 得 ，。因为 k > 0，所以 ，即长为 cm、宽为 cm； （2）能将贺卡不折叠放入。理由：贺卡边长为 （cm）；信封的宽为 ，因为 ，所以 ，即信封的宽大于贺卡的边长，故能把贺卡不折叠放入信封。 13．由非负性得 且 ，所以 ，，故 。 / 学科网（北京）股份有限公司 $