3.2 从有理数到实数 分节讲练测-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

3.2 从有理数到实数 分节讲练测 浙教版《数学》七年级上册（2024年新版）· 第3章 实数 · 第2课时（满分100分） 第一部分 知识梳理 一、从正方形到 2 的算术平方根 合作学习：如图 1，依次连结 2×2 方格四条边的中点 A，B，C，D，得到一个阴影正方形。 图1 2×2 方格中，连结四边中点所得阴影正方形的面积为 2，边长为 √2 （1）阴影正方形的面积：大正方形面积为 4，四个角上的直角三角形的面积各为 ，故阴影正方形面积为 。 （2）阴影正方形的边长：设边长为 x，则 ，所以 x 是 2 的算术平方根，即 x = 。 （3）边长的大小：因为 ，所以 。可见 既不是整数，也不是分数。 二、用“逐步逼近”的方法估计 2 为了得到 的更加精确的近似值，我们逐步计算它的十分位、百分位、千分位上的数： 因为 ，所以 ； 因为 ，所以 ； 继续下去，可得 、……每算一次，就得到一系列越来越接近 的近似值。 事实上，，它是一个无限不循环小数。 三、无理数 像 这种无限不循环小数叫作无理数（irrational number）。 无理数广泛存在着，例如 ，。任意写一个无限不循环小数，如 1.010 010 001…（两个“1”之间依次多一个“0”），它也是无理数。 和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。例如 ，， 都是正无理数，，， 都是负无理数。 四、有理数、无理数与实数 如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。 有理数和无理数统称实数（real number）。也就是说，实数由有理数和无理数两部分组成。 五、实数的分类 ① 按定义分：实数分为有理数和无理数；其中有理数又分为正有理数、零、负有理数，无理数又分为正无理数和负无理数。 ② 按正负分：实数分为正实数、零、负实数。 六、实数与数轴 我们已经知道，每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，例如 ，， 和 都可以表示在数轴上。 那么，数轴上的每一个点都表示一个有理数吗？答案是否定的。如图 2，通过画图 1 中正方形 ABCD 的边长，就能准确地把 和 表示在数轴上。 图2 在数轴上表示 −2，−0.5，1/4，2 与 √2，−√2 在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。 七、实数的相反数与绝对值 把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。例如 与 互为相反数，。 一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 八、实数的大小比较 有理数的大小比较法则也适用于实数： ① 正实数都大于零，负实数都小于零，正实数大于一切负实数； ② 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 第二部分 典例精讲 例1　有理数与无理数的判别（教材课内练习1）： 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？，，0.36，，，0，。 【分析】有理数是有限小数与无限循环小数的统称（整数、分数都算）；无理数是无限不循环小数。带根号的数要先化简再判断。 【解答】有理数：，，0.36，0，；无理数：，。 【点拨】“带根号就是无理数”是典型误区——、 都是有理数；判断前要先化简。 例2　用“逐步逼近”估计 2 的大小（教材表3-1）： 估计 的十分位：它在哪两个相差 0.1 的数之间？ 【分析】先定整数位，再逐步比较小数点后一位：找一个一位小数，使它的平方小于 2，下一个一位小数的平方大于 2。 【解答】因为 ，所以 ；又因为 ，，所以 ，即 的十分位是 4（）。 【点拨】“逐步逼近”是估计无理数的通法：不断平方、逐步逼近，“能用有理数估计一个无理数的大致范围”是本节的目标。 例3　估计无理数的范围（教材课内练习3）： 用“＜”“＞”或数字填空： （1）因为 ，所以 ，所以 　　　　（精确到 0.1）。 （2）因为 ，所以 ，所以 　　　　（精确到 0.01）。 【分析】精确到 0.1 就看百分位上的数，精确到 0.01 就看千分位上的数；用“逐步逼近”确定无理数所在的范围后再取近似值。 【解答】（1）√3 在 1.73 与 1.74 之间，精确到 0.1 得 1.7；（2）√6 在 2.449 与 2.450 之间，精确到 0.01 得 2.45。 例4　在数轴上表示实数并比较大小（教材例题）： 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）：，，1.5，。 【分析】对于 、 等无理数，可取适当的近似值把它们近似地表示在数轴上，如取 ，。 【解答】把 ，，1.5， 表示在数轴上，如图3。所以 。 图3 把 8/3，−π，1.5，−√3 表示在数轴上（−π＜−√3＜1.5＜8/3） 【点拨】比较实数大小，可在数轴上表示出来直观判断：右边的数总比左边的数大。 例5　实数的相反数与绝对值（教材课内练习2）： （1） 的相反数是 　　　；（2） = 　　　；（3）一个数的绝对值是 ，这个数是 　　　。 【分析】实数的相反数、绝对值的意义与有理数一致；只有符号不同的两个数互为相反数，绝对值表示数到原点的距离。 【解答】（1）；（2）；（3）。 【点拨】第（3）问易漏解：绝对值等于 的数在原点两侧各有一个，应是 。 例6　用正方形的边长在数轴上表示无理数（杭州拱墅区期末）： 如图 4，以 2 个单位长度作正方形，连结各边中点作小正方形。在数轴上以 对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点 A，则点 A 所表示的数是（　　） 图4 以 2 为单位长度作正方形，连结各边中点得小正方形，以 −1 为圆心、小正方形边长为半径画弧交数轴于 A A. 　　B. 　　C. 　　D. 【分析】以 2 为单位长度作的正方形，连结各边中点所得小正方形的边长为 （与图 1 中阴影正方形同理）；点 A 在 的右侧，且与 的距离等于小正方形边长 。 【解答】点 A 表示的数为 ，故选 A。 【点拨】在数轴上表示无理数，关键是借助图形（正方形）把“长度”转化为“数”，再用大小比较确定点的位置与符号。 例7　估计无理数更接近哪个整数（杭州上城区期末）： 估计 的值更接近（　　）A. 3　　B. 4　　C. 9　　D. 10 【分析】先确定 在哪两个整数之间，再看它离哪个整数更近。 【解答】因为 ，所以 ；又 ，故 ，更接近 3。故选 A。 【点拨】估算到十分位即可比较“更接近哪一个整数”，本题 ，与 3 相差约 0.16。 第三部分 分层训练 说明：本部分按基础、提升、拓展三个层次编排，共 13 题，满分 100 分。题目以教材例、课内练习、作业题与近三年杭州各区期末真题为主，答案与提示见第四部分。 A组 基础过关（每小题 5 分，共 30 分） 1.（5分）下列实数中是无理数的是（　　）（杭州上城区期末） A. 　　B. 　　C. −3.14　　D. 2.（5分）在 0，，，，，0.101 101 110…（每两个 0 之间多一个 1）中，无理数的个数是（　　）（杭州文澜中学期末） A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 5 3.（5分）在实数 −2.3，，0，，0.15（5 循环）， 中，有理数的个数为 a，无理数的个数为 b，则 a−b = 　　　　。（浙江金华婺城区期末） 4.（5分）√3 的相反数是 　　　　　　。（浙江宁波模拟） 5.（5分）若 x 的相反数是 6，y 的绝对值是 8，则 x+y 的值为 　　　　　　。（杭州上城区期末） 6.（5分）下列说法中，错误的是（　　）（上海杨浦区期末） A. 实数可分为有理数和无理数　　B. 无理数可分为正无理数和负无理数　　C. 无理数都是无限小数　　D. 无限小数都是无理数 B组 能力提升（每小题 10 分，共 50 分） 7.（10分）指出下列各数是有理数还是无理数：1，，，3.141 59，，，3.131，3.131 331 333 133 331…（两个“1”之间依次多一个“3”）。（教材作业题） 8.（10分）把下列实数表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＜”连接：0.6，，，，0。（教材作业题） 9.（10分）分别求下列各数的绝对值和相反数：（1）；（2）；（3）。（教材作业题） 10.（10分）仿照本节考察 近似值的方法，求 的近似值（精确到十分位）。（教材作业题） 11.（10分）已知数轴上的三个点 A，B，C 所表示的数分别为 a，1，c，其中 且 。求 A，B，C 三点在数轴上从左到右的顺序。（杭州上城区期末） C组 拓展探究（每小题 10 分，共 20 分） 12.（10分）请写出四个无理数，并把其中两个正无理数表示在数轴上（标注大致位置），再用“＜”把它们与 −1，0，2 连接起来。（教材作业题） 13.（10分）我们知道 是无理数。请解决下列问题：（1）估计 在哪两个相邻整数之间；（2）在数轴上作出表示 的点（简述作图方法）；（3）比较 与 1.5 的大小，并说明理由。（教材合作学习改编） 第四部分 参考答案 （本答案与试题分离，供批阅与自查使用） 【典例精讲·例1—例7】 例1有理数：，，0.36，0，；无理数：，。 例2，十分位是 4。 例3（1）1.7；（2）2.45。 例4（如图 3）。 例5（1）；（2）；（3）。 例6A。小正方形边长为 ，点 A 在 的右侧且与之相距 ，故 A 表示 。 例7A（，更接近 3）。 A组 基础过关 1．B、−3.14 是有限小数（有理数）， 是整数，均为有理数； 开不尽方，是无限不循环小数，为无理数。选 B。 2．B0、 是有理数， 是分数（有理数）；无理数有 、、0.101 101 110…，共 3 个。选 B。 3．2。有理数有 −2.3、0、、0.15（5 循环），共 4 个（a=4）；无理数有 、，共 2 个（b=2）。故 。 4．。只有符号不同的两个数互为相反数。 5．2 或 −14。由 ，，当 时 ；当 时 。 6．D无限小数包括无限循环小数与无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，故 D 错误。A、B、C 均正确。选 D。 B组 能力提升 7．有理数：1，，，3.141 59，，3.131；无理数：，3.131 331 333 133 331…。 8．在数轴上表示后，从小到大为 。 9．（1），相反数是 ；（2），相反数是 ；（3），相反数是 。 10．因为 ，，所以 ，取 （精确到十分位）。 11．由 知 a 与 c 到 1 的距离相等，又 ，即 a 到原点的距离更大。若 a、c 在 1 的同侧，则 ，与 矛盾，故 a、c 在 1 的两侧，且 a 为较大的数。所以 ，三点从左到右依次为 C，B，A。 C组 拓展探究 12．例如四个无理数 、、、；把 、 表示在数轴上（约 1.41、3.14 处），连接得 。（表示与排序合理即可） 13．（1）因为 ，所以 ，即 在 1 与 2 这两个相邻整数之间； （2）作图方法：画一个边长为 1 的正方形，它的对角线长为 ；以原点为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即表示 ； （3） 与 1.5 的大小：因为 ，，且 ，所以 。 / 学科网（北京）股份有限公司 $